La teoría de
conjuntos es resultado de las ideas de George Cantor, sabiendo que estas ideas
partieron de una obra titulada: “Paradojas de lo infinito” de
Bernhard Bolzano. Si bien las ideas de cantor eran afines a la relación entre
los conjuntos numéricos y su característica infinita, llegando a conclusiones
que lo llevó a ser reconocido posteriormente o mejor dicho después de la dura
oposición por parte del matemático Kronecker, la “Teoría de Conjuntos”
tiene muchos usos en diversos problemas.
Pero lo
relevante es la aplicación común y corriente que se le da a la teoría de
conjuntos. Si consideramos los problemas planteados en la escuela, donde los
problemas se refieren: ¿a cuántos les
gusta jugar fútbol o básquet? o ¿cuántos solo realizan solo una de las dos actividades?, veremos que solo se trata de
una parte de todo lo que la “Teoría de Conjuntos”, ayuda a la solución de
problemas en distintas áreas de la ciencia:
a)
En LÓGICA de PREDICADOS:
Los
silogismos son formas de razonamiento que se basan en la deducción que es un
método inferencial, es decir, de ciertas premisas se llega a una conclusión o a
una premisa de mayor categoría. Pero esos silogismos necesitan ser validados y
los diagramas de VENN ayudan a validar gráficamente éstos silogismos, vemos la
presencia de conjuntos que representan en dibujo lo más importante de los
silogismos.
Ejemplo:
Premisa 1: Todos los vegetarianos son
pacíficos.
Premisa 2: Todos los habitantes del Perú son
pacíficos.
Conclusión: Todos los vegetarianos viven en el Perú.
La
solución se la dejamos, el gráfico permite determinar si la conclusión es
verdadera o falsa, y esto gracias a los diagramas de Venn que permiten
representar con curvas cerradas a los diversos conjuntos que intervienen en los enunciados.
b) En PROBABILIDADES:
La “Teoría de Conjuntos “es importante en esta rama de las matemáticas
porque los sucesos son representados formalmente utilizando la notación de
conjuntos, es decir, denotar los elementos separados por comas y encerrados
entre signos de colección, frecuentemente las llaves {}. El espacio muestral se
representa mediante el conjunto universo y el experimento imposible de
realizarse o que no puede darse según las condiciones establecidas se
representa con el conjunto vacío.
Estos sucesos según su característica también se relacionan usando las
operaciones de unión, intersección, diferencia y/o complemento.
Ejemplo:
En el experimento "lanzar un dado de seis caras" sean los
eventos:
A = sale par, B = sale primo.
El evento "A ó B" = A
B:
"sale par o primo" se describe:
A = sale par, B = sale primo.
El evento "A ó B" = A
Este
es un sencillo ejemplo de la aplicación de los diagramas de Venn y de las
operaciones entre conjuntos, se puede ahondar en el tema y conocer toda la
importancia que tiene este tema en la teoría de probabilidades.
c) En la TEORÍA DE FUNCIONES:
Sabemos lo importante que son las funciones en el desarrollo de la
ciencia sobre todo al relacionar magnitudes y modelarlas usando las
matemáticas. Pero esto no sería posible sin antes conocer los conjuntos
acotados que son consecuencia de conocer inicialmente las definiciones de cotas
superiores e inferiores, finalmente llegamos a los intervalos que permiten
establecer de una forma más sencilla el dominio y el rango. Además, los
intervalos también se pueden simplificar haciendo uso de las operaciones de
unión, intersección, diferencia, complemento o diferencia simétrica,
dependiendo de las condiciones que se presenten en el problema.
Ejemplo:
Determinar
Dominio y Rango de:
Dom
f(x)= R – 8 = <- span="">∞; 8> U <8>
He tratado de
mencionar en forma muy simple y solo describiendo algunos aspectos muy básicos
en los cuales vemos la aplicación de tan importante teoría. Consideremos que al
ahondar un tanto más veríamos el alcance tan amplio que tiene y como auxilia de
una forma imprescindible tantas áreas de la ciencia y sobre todo de la matemática.
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