viernes, 29 de julio de 2016

IMPORTANCIA DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS

La teoría de conjuntos es resultado de las ideas de George Cantor, sabiendo que estas ideas partieron de una obra titulada: “Paradojas de lo infinito” de Bernhard Bolzano. Si bien las ideas de cantor eran afines a la relación entre los conjuntos numéricos y su característica infinita, llegando a conclusiones que lo llevó a ser reconocido posteriormente o mejor dicho después de la dura oposición por parte del matemático Kronecker, la “Teoría de Conjuntos” tiene muchos usos en diversos problemas.

Pero lo relevante es la aplicación común y corriente que se le da a la teoría de conjuntos. Si consideramos los problemas planteados en la escuela, donde los problemas se refieren: ¿a cuántos les gusta jugar fútbol o básquet? o ¿cuántos solo realizan solo una de las dos actividades?, veremos que solo se trata de una parte de todo lo que la “Teoría de Conjuntos”, ayuda a la solución de problemas en distintas áreas de la ciencia:



            a)       En LÓGICA de PREDICADOS
                    Los silogismos son formas de razonamiento que se basan en la deducción que es un método inferencial, es decir, de ciertas premisas se llega a una conclusión o a una premisa de mayor categoría. Pero esos silogismos necesitan ser validados y los diagramas de VENN ayudan a validar gráficamente éstos silogismos, vemos la presencia de conjuntos que representan en dibujo lo más importante de los silogismos.
                 
                   Ejemplo:
   Premisa 1:   Todos los vegetarianos son pacíficos.
   Premisa 2:   Todos los habitantes del Perú son pacíficos.
   Conclusión: Todos los vegetarianos viven en el Perú.




 La solución se la dejamos, el gráfico permite determinar si la conclusión es verdadera o falsa, y esto gracias a los diagramas de Venn que permiten representar con curvas cerradas a los diversos conjuntos que intervienen en los enunciados. 


             b)     En PROBABILIDADES: 
                     La “Teoría de Conjuntos “es importante en esta rama de las matemáticas porque los sucesos son representados formalmente utilizando la notación de conjuntos, es decir, denotar los elementos separados por comas y encerrados entre signos de colección, frecuentemente las llaves {}. El espacio muestral se representa mediante el conjunto universo y el experimento imposible de realizarse o que no puede darse según las condiciones establecidas se representa con el conjunto vacío.
Estos sucesos según su característica también se relacionan usando las operaciones de unión, intersección, diferencia y/o complemento.
                  Ejemplo:
                  En el experimento "lanzar un dado de seis caras" sean los eventos:
                  A = sale par, B = sale primo.
                  El evento "A ó B" = A 
 B: "sale par o primo" se describe:

       

           Este es un sencillo ejemplo de la aplicación de los diagramas de Venn y de las operaciones entre conjuntos, se puede ahondar en el tema y conocer toda la importancia que tiene este tema en la teoría de probabilidades.


         c)     En la TEORÍA DE FUNCIONES:  
                      Sabemos lo importante que son las funciones en el desarrollo de la ciencia sobre todo al relacionar magnitudes y modelarlas usando las matemáticas. Pero esto no sería posible sin antes conocer los conjuntos acotados que son consecuencia de conocer inicialmente las definiciones de cotas superiores e inferiores, finalmente llegamos a los intervalos que permiten establecer de una forma más sencilla el dominio y el rango. Además, los intervalos también se pueden simplificar haciendo uso de las operaciones de unión, intersección, diferencia, complemento o diferencia simétrica, dependiendo de las condiciones que se presenten en el problema.
                      Ejemplo:
           Determinar Dominio y Rango de:

           
            

            
                      Dom f(x)= R – 8 = <- span="">∞; 8> U <8> 

    He tratado de mencionar en forma muy simple y solo describiendo algunos aspectos muy básicos en los cuales  vemos la aplicación de tan importante teoría. Consideremos que al ahondar un tanto más veríamos el alcance tan amplio que tiene y como auxilia de una forma imprescindible tantas áreas de la ciencia y sobre todo de la matemática.



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