RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

REGLA DE CRAMER.

A lo largo del curso hemos planteado el método habitual para resolver sistemas, que consiste únicamente en introducir el sistema como un vector de ecuaciones y luego resolver (soLve).
Sin embargo es preciso introducir un método estandar para resolver sistemas compatibles determinados es la llamada REGLA DE CRAMER.
Consideremos a continuación un ejemplo para resolver sistemas usando regla de Cramer.

PROPOSICIÓN (Regla de Cramer)
Dado un sistema lineal de n-ecuaciones y n-incógnitas

tal que  (es decir se trata de un sistema compatible determinado) se verifica que el vector solución del sistema donde 
siendo B_i la matriz que se obtiene a partir de la matriz A, sustituyendo en A la columna i-ésima por el vector de términos independientes, es decir 
 
EJEMPLO.
Resolver el siguiente sistema usando la Regla de Cramer.

Definamos en primer lugar la matriz de coeficientes

Si calculamos su determinante

Resulta que tenemos un sistema compatible determinado con 3 ecuaciones y 3 incógnitas.
Según el método tendremos que ir generando tres submatrices:

A partir de ellas, ya es fácil determinar las incógnitas pues
X1 se obtiene efectuando:

X2 se obtiene efectuando:

X3 resulta de:

Luego la solución es:(x1,x2,x3)=(-1,0,2)
 
 
EJERCICIO IV-15
Resolver utilizando la Regla de Cramer los sistemas:

¿Qué sucede si tenemos un SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO? ¿Podremos utilizar la REGLA DE CRAMER?
La contestación es afirmativa, pero previamente deberemos convertir el sistema en otro sistema equivalente, de tal forma que algunas incógnitas se conviertan en parámetros, a fin de obtener una matriz de coeficientes cuadrada de rango completo. Veamos esto con un ejemplo
EJEMPLO
Sea el siguiente sistema:

Si estudiamos su matriz de coeficientes tenemos

Y su matriz ampliada es

Estudiemos su rango

Por tanto se trata de un sistema compatible indeterminado.
¿Cuál sería el sistema fundamental equivalente?
Si consideramos la submatriz de a2

Su rango es

Por tanto esta submatriz determina el rango.En consecuencia el sistema equivalente contiene tan solo las dos primeras ecuaciones.

¿Qué incógnitas pueden ser parámetros?
Tomemos de un determinante no nulo de C1, por ejemplo las dos primeras columnas

Entonces las variables x1 y x2 quedan como incógnitas y la variable x3 puede pasar como parámetro, tendremos entonces el sistema equivalente

Ahora tenemos un sistema compatible determinado con un parámetro en los términos independientes. Para resolver por Cramer consideremos las matrices
De coeficientes:

Matrices auxiliares Bi

Los valores de x1 y x2 se obtendrán con:
X1:

X2:

(x1,x2) = (2-x3, (x3-1)/3)
 
EJERCICIO IV-16
Resolver el siguiente sistema compatible indeterminado utilizando la REGLA DE CRAMER:

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
El método de Cramer suele ser bastante tedioso con sistemas de más de 4 ecuaciones, por ello suele ser adecuado intentar obtener un sistema triangular equivalente mediante transformaciones de Gauss-Jordan.
Las transformaciones de Gauss-Jordan admisibles recordemos que consisten en:

• Intercambiar dos ecuaciones
• Sustituir una ecuación por la combinación lineal de esta con otras ecuaciones
• Multiplicar una ecuación por un número.

A partir de estas transformaciones se puede llegar a sistemas triangulares de la forma:
que evidentemente ya están resueltos.
Para llegar a estos sistemas hemos de realizar transformaciones de Gauss-Jordan. Este proceso se realiza sobre la matriz ampliada de forma similar a lo que hacíamos en el cálculo de la inversa.EJEMPLO
Construir un sistema diagonal equivalente al sistema

Consideremos las matrices ampliada:

Para obtener la matriz de coeficientes basta eliminar de ésta la última columna:

Podemos comprobar que la hemos definido bien efectuando

Comprobemos que se trata de un sistema compatible:

Luego es un sistema compatible determinado.
¿Cómo aplicar el método de Gauss-Jordan?
Tomamos la matriz ampliada y efectuamos sobre ella transformaciones, por ejemplo
Dejamos la primera fila tal cual
Restamos de la segunda fila dos veces la cuarta
Sumamos a la tercera fila 5 veces la cuarta
Restamos a la cuarta fila 1/5 veces la primera
Eso obtenemos con la siguiente matriz

Multiplicandola por la matriz ma5 y resulta

Así iriamos efectuando productos.
Sin embargo, para automatizar este proceso está definida una función en DERIVE, que efectua este proceso de forma automática. La función que efectúa lo mismo es ROW_REDUCE, que es capaz de transformar una matriz en otra equivalente según transformaciones de Gauss-Jordan.
De esta forma bastaría realizar

Y obtenemos como sistema diagonal equivalente:

Soluciones del sistema.
¿Qué sucede si el sistema es compatible indeterminado?
El proceso se aplica de igual forma, por ejemplo
 
EJEMPLO
Calcular con el método de Gauss-Jordan la solución de

Definimos la matriz ampliada

Si efectuamos el proceso de Gauss-Jordan sobre esta matriz tendremos
Obsérvese que las ecuaciones tercera y cuarta han desaparecido, lo cual quiere decir que eran ecuaciones redundantes respecto de las dos primeras.

Por tanto el sistema equivalente sería:

lo cual quiere decir que tenemos infinitas soluciones que serían de la forma
x₁=(8/3)x₅-(2/3)x₂-(2/3)x₄
x₃=-3x₅
Por tanto el conjunto de soluciones tiene la forma
X₁=(8/3) a – (2/3) b – (2/3) c
X₂ = b
X₃= -3 a
X₄= c
X₅= a
Luego las soluciones están generadas por los vectores
{(8/3,0,-3,0,1), (-2/3,1,0,0,0), (-2/3,0,0,1,0)}
 
 
EJERCICIO IV-17
Obtener las soluciones de los siguientes sistemas utilizando el Método de Gauss-Jordan.

 TOMADO DE: http://www.uam.es/personal_pdi/economicas/portega/web-algebra/capitulo-4/teoria-4-5/4-5-resolucion-sistemas.htm

Teorema de Rouché-Fröbenius

Con el enunciado del teorema debido al francés Eugène Rouché y al alemán Georg Ferdinand Fröbenius se hace posible resolver cualquier tipo de sistema de ecuaciones de primer grado, tenga o no solución. En esencia, este teorema se basa en el análisis del rango de las matrices representativas del sistema.

Enunciado del teorema de Rouché-Fröbenius

Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, cuya expresión general sería:

se pueden definir su matriz de coeficientes C y su matriz ampliada A como:

Según el teorema de Rouché-Fröbenius, la condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas sea compatible (tenga solución) es que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al rango de la matriz ampliada.

Discusión y clasificación de sistemas lineales

Como consecuencia de la aplicación del teorema de Rouché-Fröbenius, los sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas se pueden discutir y resolver con cierta rapidez. Así, se tiene que:

• Si los rangos de las matrices de los coeficientes y ampliada son iguales, el sistema es compatible (tiene solución). Si el número de incógnitas es igual a dicho rango, será determinado (una solución), y si el número de incógnitas es mayor que el rango, el sistema es indeterminado (infinitas soluciones).
• Cuando los rangos de las matrices de los coeficientes y ampliada son distintos, el sistema es incompatible (no tiene solución).

Discusión de un sistema por el teorema de Rouché-Fröbenius.

Resolución por el teorema de Rouché-Fröbenius

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales basándose en el teorema de Rouché- Fröbenius, se procede del modo siguiente:

• Se discute el sistema, analizando los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada.
• Si el sistema es compatible determinado, se toma el menor de la matriz de los coeficientes que ha dado el rango.
• El sistema equivalente que resulta se resuelve por la regla de Cramer (ver t18).

Sistemas lineales homogéneos

Los sistemas lineales en los que los términos independientes son siempre cero se llaman homogéneos. Un sistema homogéneo tiene siempre la solución trivial o impropia en la que todas las incógnitas son iguales a cero. Sin embargo, las raíces de interés en el análisis del sistema son todas las demás, si existieren, que se dicen soluciones propias.

Si se aplica el teorema de Rouché-Fröbenius a estos sistemas, se obtiene que:

• Cuando el rango de las matrices es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y por tanto su única solución es la trivial.
• Si el número de incógnitas es mayor que el rango, el sistema es compatible indeterminado y posee infinitas soluciones.

Un sistema lineal homogéneo nunca puede ser incompatible.

Discusión de un sistema lineal homogéneo por el teorema de Rouché-Fröbenius.

Sistemas dependientes de parámetros

En los sistemas de ecuaciones que dependen de uno o dos parámetros no existe un método fijo de resolución. Sin embargo, sus soluciones pueden discutirse con mayor facilidad por medio del teorema de Rouché-Fröbenius.

Normalmente, al calcular los determinantes de las matrices de coeficientes y ampliada, se obtiene una dependencia de los parámetros, de manera que del estudio de sus posibles valores se deduce si el sistema es compatible (determinado o indeterminado) o incompatible.

tomado de: http://www.hiru.com/matematicas/teorema-de-rouche-frobenius

Propiedades de los determinantes

El uso de determinantes simplifica de forma muy notable la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para ello, se aplican propiedades generales que permiten acometer la discusión y la resolución de tales sistemas mediante un procedimiento riguroso.

Cálculo de determinantes

En el manejo de determinantes se pueden establecer algunas propiedades que facilitan las operaciones de cálculo. Tales propiedades son:

• 1. Una matriz cuadrada con una fila o una columna en la que todos los elementos son nulos tiene un determinante igual a cero.
• 2. El determinante de una matriz con dos filas o dos columnas iguales es nulo.
• 3. Cuando dos filas o dos columnas de una matriz son proporcionales entre sí (una se puede obtener multiplicando la otra por un factor), su determinante es cero.
• 4. Al intercambiar dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo.
• 5. Al multiplicar todos los elementos de una fila o una columna de una matriz por un número, el determinante de la matriz resultante es igual al de la original multiplicado por ese mismo número.
• 6. El determinante de una matriz triangular o una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.
• 7. Cuando a una fila (o columna) de una matriz se le suma o resta una combinación lineal de otras filas (o columnas), el valor de su determinante no se altera.

Propiedad 4.

Otras propiedades de los determinantes

• 1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al de su traspuesta: |A| = |A^t|.
• 2. El determinante de un producto de matrices coincide con el producto de los determinantes de cada matriz:|A × B| = |A| ×|B|.
• 3. Cuando una matriz tiene inversa, su determinante es distinto de cero; análogamente, si el determinante de una matriz no es nulo, dicha matriz tiene inversa.
• 4. El determinante de la inversa de una matriz es igual al inverso del determinante de la matriz. 
• 5. La suma de los productos de los elementos de una fila o columna de una matriz por los adjuntos de otra fila o columna es siempre nula.
• 6. La matriz de los adjuntos de una matriz A dada de dimensión n tiene un determinante igual al determinante de A elevado a n-1.

El método de Gauss

La aplicación de las propiedades de los determinantes permite obtener el valor de un determinante dado a través de su transformación en otro de igual valor. Un procedimiento particularmente interesante es el llamado método de Gauss, que consiste en:

• Elegir el primer elemento de la diagonal principal del determinante.
• Aplicar las propiedades de cálculo de los determinantes hasta lograr que todos los elementos de la columna del elegido, salvo él mismo, sean iguales a cero.
• Elegir el segundo elemento de la diagonal principal y aplicar las propiedades de los determinantes para obtener que todos los elementos de su columna situados debajo de él sean nulos.
• Aplicar sucesivamente este método hasta obtener un determinante triangular o diagonal, cuyo valor será el producto de los elementos de su diagonal principal.

Rango de una matriz

Dada una matriz cuadrada A de orden n, es posible considerar múltiples submatrices también cuadradas de orden h, siendo h£ n. El determinante de cada una de estas submatrices se dice menor de orden h de la matriz A.

Entonces, se llama rango de una matriz al máximo orden de sus menores no nulos. El rango se simboliza por rang (A).

TOMADO DE: http://www.hiru.com/matematicas/propiedades-de-los-determinantes

ARQUÍMEDES: El Manuscrito Perdido

RAMANUJAN: Letters from an Indian Clerk

LA DERIVADA, EL LENGUAJE DEL MOVIMIENTO

Galileo, al describir por vez primera una función que relacionaba el espacio y el tiempo en la caída de los cuerpos, había dejado abierta la necesidad del Cálculo Diferencial; el cálculo con derivadas.

La derivada, en general, expresa el ritmo de cambio instantáneo en cualquier fenómeno funcional.

Pero, cuando se trata de cuerpos en movimiento, esta interpretación es especialmente precisa e interesante. De hecho, históricamente fue la que dio origen al estudio de las derivadas.

U En cualquier movimiento, el espacio recorrido s es función del tiempo transcurrido:  s = s (t)

La tasa de variación entre dos instantes t = a  y  t = b es el espacio recorrido en ese intervalo de tiempo: s (b) – s (a)

La tasa de variación media en ese mismo intervalo es conocida como  velocidad media:   

Cuando el intervalo de tiempo [a , b] es infinitesimal, casi cero, ésa es la velocidad instantánea:

 

A este límite se le llama derivada. Es decir: la velocidad instantánea en un momento dado, es la derivada del espacio como función del tiempo en ese momento:

Vi (a) = s’(a)

U A su vez, la velocidad cambia a lo largo del tiempo, también es función del tiempo: v_i (t) = s’(t)

La tasa de variación entre dos instantes t = a  y  t = b es la aceleración experimentada en ese intervalo de tiempo:

A _{a , b} = Vi (b) – V_i (a) = s’ (b) – s’ (a)

La tasa de variación media en ese mismo intervalo es conocida como aceleración media:   

Cuando el intervalo de tiempo [a , b] es infinitesimal, casi cero, ésa es la aceleración instantánea:

Es decir: la aceleración instantánea es la derivada de la velocidad como función del tiempo en un  momento dado. Y por ser derivada de una derivada, se dice que es la derivada segunda del espacio con respecto al tiempo en ese momento:

A_i (a) = Vi’ (a) = [ s’]’(a) = s”(a) 

Ejemplo.- Un movimiento viene dado por la siguiente ecuación:  s (t) = 2t² – 5. Vamos a calcular la velocidad  instantánea cuando  t = 1 seg.

En este ejemplo, para calcular la derivada no vamos a usar tablas de valores, sino que razonaremos con expresiones algebraicas. Además, al intervalo de tiempo  [1 , b]  lo llamaremos  [1 , 1 + h]. Será lo mismo decir que  b !  1  o que  h ! 0 .

Velocidad media en [1 , 1 + h]:

            

Velocidad instantánea en t = 1 :

   

LA LEY DE CAÍDA DE LOS CUERPOS

Volvemos al intento de Galileo por demostrar que todos los cuerpos caen con la misma aceleración, en el punto donde él no pudo seguir.

Si en el primer intervalo de tiempo el espacio recorrido era  C, Galileo había comprobado que:    

s (t) = C · t ²

¿Con qué rapidez cambia  s(t) ?. Calculemos sus velocidades media e instantánea:

Velocidad media en [t , t + h]:

           

Velocidad instantánea en t :

 

Aceleración media en [t ,t + h]:

Aceleración instantánea en t :

En definitiva, Galileo tenía razón: la aceleración de los cuerpos  que caen es constante (2·C).

U Se comprobó que la aceleración de los cuerpos en caída libre, sin rozamientos, es: g = 9,8 m/seg²,  valor llamadoaceleración de la gravedad

Entonces:  g = 2·C    Þ   C = ½ · g    Þ    s (t) = ½ · g · t²

es la expresión del espacio recorrido por un cuerpo en caída libre.

U ¿Quiénes fueron capaces de completar la tarea de Galileo?... Isaac Newton y W.G. Leibnitz, ambos por separado y casi a la vez, lo cual originó una fuerte disputa entre ellos.

Newton y Leibnitz iniciaron el Cálculo Diferencial y, al medir el ritmo de cambio de los fenómenos físicos, naturales e incluso sociales, abrieron las puertas al espectacular desarrollo científico y tecnológico que ha transformado el mundo en 3 siglos tanto o más que en toda la historia anterior. Parecía que por fin se había cumplido el sueño pitagórico: explicar el mundo con Matemáticas.

TOMADO DE:http://catedu.es/matematicas_mundo/HISTORIA/historia_derivada.htm

LA NECESIDAD DEL CÁLCULO DIFERENCIAL

Necesidades matemáticas en el s. XVII.

Galileo quería demostrar que la aceleración es la misma para todos los cuerpos en caída libre. Aquí puedes ver cómo llegó a formular la función que relaciona el espacio recorrido con el tiempo:

 s (t) = C· t ²

Pero para conseguir su propósito, pensemos en todo lo que aún le faltaba:

Había que comenzar por plantearse: ¿qué es la aceleración? ... el ritmo de cambio de la velocidad.

Lo cual nos lleva a otra pregunta: ¿qué es la velocidad? ... el ritmo de cambio de la posición del cuerpo (del espacio recorrido)

*Así que, era necesario estudiar el ritmo de cambio de una función

(años más tarde se le llamaría derivada)

Vamos a hacer una primera aproximación a ese estudio:

Para simplificar, supongamos que el cuerpo recorre un espacio de 1 m. en el primer segundo. Entonces: 

t (segundos)	1	2	3	4	5
s (t) = t 2 (metros)	1	4	9	16	25

Supongamos que queremos estudiar la velocidad en   t₀ = 2 . Para ello comparemos la situación en ese momento con la de un momento posterior, cada vez más cercano: 

t (segundos)	5	4	3
) t incremento de t desde t 0 = 2 hasta t	5 – 2 = 3 seg.	4 – 2 =  2 seg.	3 – 2 = 1 seg.
) s incremento de s desde t 0 = 2 hasta t	25 – 4 = 21 m.	16 – 4 = 12 seg.	9 – 4 = 5 seg.
) s / ) t velocidad media desde t 0 = 2 hasta t	21 / 3 = 7 m./seg.	12 / 2 = 6 m./seg.	5 / 1 = 5 m./seg.

Como vemos, la velocidad media no es la misma según la amplitud del intervalo de tiempo considerado. Así que, como nos interesa es la velocidad en t₀ = 2, vamos a acercarnos más:

t (segundos)	2,5	2,2	2,1
) t incremento de t desde t 0 = 2 hasta t	2,5 – 2 = 0,5 seg.	2,2 – 2 = 0,2 seg.	2,1 – 2 = 0,1 seg.
) s incremento de s desde t 0 = 2 hasta t	2,5 2 – 4 = 2,25 m.	2,2 2 – 4 = 0,84 m.	2,1 2 – 4 = 0,41 m.
) s / ) t velocidad media desde t 0 = 2 hasta t	2,25 / 0,5 = 4,5 m./seg.	0,84 / 0,2 = 4,2 m./seg.	0,41 / 0,1 = 4,1 m./seg.

Resumiendo resultados: 

t (segundos)	5	4	3	2,5	2,2	2,1
) s / ) t velocidad media desde t 0 = 2 hasta t	7 m./seg.	6 m./seg.	5 m./seg.	4,5 m./seg.	4,2 m./seg.	4,1 m./seg.

Vemos que al reducir el intervalo de tiempo considerado, la velocidad media cada vez varía menos: parece acercarse ilimitadamente a un número (¿4 m./seg.?). El último cálculo se refiere a un intervalo de tiempo muy breve: desde t₀ = 2 hasta t = 2,1 ... sólo una décima de segundo.

Pero nosotros no queremos saber la velocidad media de décima en décima de segundo, ¡sino al instante! (como en el velocímetro del coche, donde la vemos cambiar continuamente). Y ¿cuánto es  un instante?: diremos que un ) t casi cero. Desde luego, en ese instante, ) stambién será casi cero.

Así que también era necesario estudiar:

* El cociente del incremento de una función entre el incremento de su variable independiente (en el ejemplo, ) s / ) t).

Se le llama tasa de variación media

* El cálculo con cantidades muy pequeñas, que son “casi cero”

A esas cantidades se les llama infinitésimos y al cálculo con ellos, paso al límite.

Como ves, en Matemáticas, para resolver un problema surge la necesidad de dominar nuevos conceptos que están “por debajo” de él. Sólo asegurando esos “cimientos” se puede construir luego un “edificio” de razonamientos que llegue hasta la solución del problema inicial.

Galileo no pudo completar esta obra, pero dejó marcado el camino a sus sucesores, Isaac Newton y Wilhelm G. Leibnitz, quienes estudiaron esos conceptos necesarios, desarrollando el concepto de derivada y el Cálculo Diferencial. 

TOMADO DE:http://catedu.es/matematicas_mundo/HISTORIA/historia_CDiferencial.htm