FRACCIONES

FRACCIONES

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.          CONCEPTO:

Una fracción es considerada la parte o partes de un todo dividido en varias iguales.

Pero también es la relación de dos cantidades: el denominador, que indica en cuantas partes iguales se ha dividido “todo” y el numerador que determina cuántas se han considerado.

Haciendo un alcance más, la fracción también es una división de dos números, cuyo resultado es un número decimal. Esta idea es la que se va a utilizar para el desarrollo de operaciones entre fracciones.

2      OPERACIONES CON FRACCIONES:
           
         A)      IDEA DE NÚMERO MIXTO:

Ahora lo que indica el denominador es que se divida “todo” en cinco partes iguales y se tomen nueve y en este caso se necesitan 2 figuras divididas en cinco partes iguales cada una y de las cuales, para tomar nueve, se han pintado una totalmente y de los otros cuatro rectángulos pequeños, es decir: 4/5 de ella.

 Ahora podemos ver una equivalencia importante:

El método operativo es más sencillo de aplicar, para realizar la conversión en uno u otro sentido:

B)       ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES:

La adición de fracciones tiene métodos que hay que saber cuál utilizar según los términos que se están operando.

PRIMER CASO

Por ejemplo:

Si son dos fracciones con numeradores y denominadores menores que 10 es más fácil y práctico usar el método del aspa:

SEGUNDO CASO

Hay casos en que tenemos o podemos simplificar a una fracción equivalente, esto sucede cuando los denominadores de las fracciones tienen un factor o factores en común.

Por ejemplo:

                     dividimos numerador y denominador entre 4 y se obtiene:   

TERCER CASO

También se puede presentar que podemos convertir el resultado a número mixto

Por ejemplo:

 

CUARTO CASO

Si son dos fracciones con denominadores con varios factores en común es mejor utilizar el Método el Mínimo Común Múltiplo, cuyo objetivo es que las dos fracciones tengan el mismo denominador, en otras palabras, sean homogéneas.

     Por ejemplo:

si nos damos cuenta el primer denominador ha sido multiplicado por 5 y para obtener una fracción equivalente también debemos multiplicar por 5 a su numerador, es decir, se tendría: 5 x 7 = 35.

Para la segunda fracción el denominador ha sido multiplicado por 2 entonces a su numerador lo multiplicamos por 2, finalmente tendríamos las dos siguientes fracciones:

¿Qué pasaría si lo calculamos por el método el aspa?

ambos términos del resultado tienen factor 3 y 5 que podemos simplificar así:

El método del MCM es el más general y sirve cuando se tienen más de dos fracciones cuyos denominadores tienen factores comunes entre todos o parcialmente entre algunos.

Por ejemplo

Para el caso de sustracción como se trabajan dos fracciones, se aplica los casos mencionados, según convenga:

Por ejemplo:

Para el siguiente ejercicio aplicamos el método del MCM:

C)      MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES:

La multiplicación es más sencilla, porque se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador.

Por ejemplo:

Si se multiplica una fracción con un número entero este número se considera con denominador 1.

Por ejemplo:

El resultado ha sido simplificado, ese proceso de simplificación se pudo haber realizado al inicio de la operación:

dividimos entre cuatro al valor entero y al denominador. La simplificación, en la multiplicación de fracciones, siempre se realiza entre términos que se encuentran en el numerador y el denominador.

D)      DIVISIÓN DE FRACCIONES:

Para dividir fracciones se pueden usar cualquiera de estos métodos:

Primer método: Se multiplica como indican las flechas y se colocan los resultados según lo indicado

Segundo método: Se invierte la segunda fracción (divisor) y se procede como si fuese una multiplicación.

Tercer método:  Se procede según las flechas:

OPERACIONES CON FRACCIOMES - BÁSICO

OPERACIONES CON FRACCIONES 2- BÁSICO

Conceptos de Precálculo I; Trigonometría, Discovery

NÚMEROS TRANSFINITOS

NÚMEROS TRANSFINITOS

George Cantor conceptuó a un conjunto de la siguiente manera: “Es una colección de objetos concretos o abstractos definibles y distinguibles considerada como un todo”. A la definición le falta la formalidad necesaria para poder construir el verdadero edificio de la Teoría de Conjuntos, esta falencia lo hicieron ver, en su tiempo, muchos matemáticos notables, enfatizando la generalidad de la idea de conjunto y las inexactitudes que tenía para ser considerada como una verdadera definición.

Cantor tenía una obsesión por el infinito, y buscó la manera de poder demostrar que los diferentes conjuntos de números infinitos tenían la misma cantidad de elementos y también demostró que el conjunto de los números reales no es numerable; la base para él fue el conjunto de los enteros positivos con el cual pudo comparar los demás conjuntos: pares, impares, ´primos, etc. A esa comparación se le conoce como correspondencia biunívoca, es decir, uno a uno, elemento a elemento y tuvo como antecedente lo que había pensado Galileo, al encontrar esa correspondencia entre los números enteros positivos y sus cuadrados.

Ese inicio sirvió a Cantor para definir el conjunto infinito: “…es aquel que se puede poner en correspondencia uno a uno con alguna de sus partes”, claramente nos damos cuenta que esta definición entra en contradicción con el axioma de Euclides: “El todo es más grande que sus partes”, para Cantor este axioma no afectaba a las cantidades infinitas.

La forma de realizar esta comparación es la siguiente:

Primero: Números naturales y números pares

Números Naturales	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	…..
Números Pares	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	…..

Segundo: Números naturales y números enteros

Números Naturales	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	…..
Números Enteros	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8	-9	-10	-11	…..

Tercero: Números naturales y números primos

Números Naturales	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	…..
Números Pares	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	…..

En el caso de los números racionales, la demostración fue más que ingeniosa

Se desdoblan las fracciones siguiendo las flechas y considerando solo una de las que son equivalentes (1/1; 2/2; 3/3; ….)

Números Naturales	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	…..
Números racionales	1/1	2/1	1/2	1/3	3/1	4/1	3/2	2/3	1/4	1/5	5/1	6/1	5/2	4/3	3/4	…..

Para demostrar que los reales no son numerables Cantor uso un método muy ingenioso para lo cual acotó la demostración en un intervalo <0> y ordeno en forma aleatoria, es decir, al azar. Para hacerlo ejemplar tomaremos los decimales sin orden estricto:

Cantor para realizar su demostración formó un número decimal haciendo lo siguiente:

Tomó el primer decimal del primer número decimal, luego el segundo decimal del segundo número decimal, después el tercer decimal del tercer número decimal, y así sucesivamente. Las cifras decimales consideradas para formar este nuevo número decimal se encuentran encerradas en círculos en la tabla anterior.

Entonces el número decimal formado sería: 0,20187631…. pero, como podemos asegurar que no se encuentra en la lista, sería imposible. La solución que encontró Cantor a este problema fue así: modificando cada cifra del número formado para que no coincida con ninguno de los números anteriores y lo hizo muy sencillo aumentado aumentó en uno el valor de cada cifra (en caso que sea 9 se cambiaría a 0) aplicando se obtendría: 0,31298742…, con lo cual al compararlo con el primer número de la lista no sería igual porque hemos modificado la primera cifra, también no sería igual al segundo porque la segunda ha sido modificada, y así con la tercera, con la cuarta, etc. Y se llegaría a demostrar que el número obtenido no estaría en la lista.