La paradoja de Russell

¿Qué es una paradoja? Una paradoja es una proposición en apariencia verdadera que conduce a una contradicción lógica o a una situación que va contra el sentido común.En este sentido la famosa paradoja de Russell demuestra que la teoría original de conjuntos formulada por Cantor y Frege es contradictoria.

Los conjuntos pueden ser de dos tipos: los que se contienen a sí mismos como miembros y los que no. Un ejemplo de los primeros, llamados conjuntos singulares, sería el conjunto de los objetos matemáticos, pues a su vez es un objeto matemático. Un ejemplo de los segundos sería el conjunto de los músicos, pues el conjunto en sí no es un músico y, por tanto, no pertenece como miembro.

La paradoja de Russell consiste en lo siguiente: si consideramos el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos, ¿está ese conjunto contenido en sí mismo como miembro? Si lo está, por definición no se contiene a sí mismo, luego no lo está. Pero si no lo está, por definición, debe estar.

Esto que parece un galimatías puede explicarse de una forma algo más clara. Imaginemos una biblioteca que contiene un número determinado de libros. Algunos de estos libros son relaciones de otros que se encuentran en la biblioteca; los llamaremos catálogos. Por ejemplo, habrá un catálogo que contenga una relación de todos los libros de matemáticas, otro que contenga los poemarios, otro las biografías, etc. Consideramos el conjunto de todos esos catálogos y lo denominamos de tipo A; serán catálogos de libros que no se incluyen a sí mismos. Un catálogo de libros de poesía no es un libro de poesía, y por lo tanto es autoexcluyente, y será del tipo A.

Ahora vamos a considerar como otro conjunto un catálogo general que contenga todos los catálogos de la biblioteca. Lo denominaremos de tipo B. La función de este catálogo es dar una lista de todos los catálogos de tipo A. Todo parece correcto, pero si lo vemos detenidamente el conjunto que recoge todos los catálogos del tipo A es paradójico. ¿No se ve con claridad? Podemos verlo mejor si formulamos la siguiente pregunta ¿El catálogo general es del tipo A o del tipo B? Si es del tipo A entonces no se incluye a sí mismo, porque como hemos dicho, los catálogos del tipo A son autoexcluyentes (libros que referencian otros de distinta índole). Pero hemos definido el catálogo general como una lista de los catálogos autoexcluyentes (tipo A), por lo tanto ha de estar en la lista... Pero eso no puede ser, porque el catálogo general (tipo B) sólo da una relación de los catálogos del tipo A, por tanto no se puede incluir a sí mismo en la lista si es del tipo B (catálogos que no son autoexcluyentes), y si no se incluye es del tipo A y debería estar incluido... Como se ve, llegamos a una contradicción.

Hay otra forma más amable y clara de representar esta paradoja:

En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas (todas las personas debían ser afeitadas por el barbero o por ellas mismas).

Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:

—En mi pueblo soy el único barbero. Si me afeito, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto no debería de afeitarme el barbero de mi pueblo ¡que soy yo! Pero si por el contrario, no me afeito, entonces algún barbero me debe afeitar ¡pero yo soy el único barbero de allí! El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió por siempre feliz.

Como vemos, el barbero del cuento se encuentra en la misma situación que el catálogo de la primera explicación: el intento de cumplir una de las condiciones lo lleva a incumplir la otra. 

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