Aplicaciones de la integral definida

Aplicaciones de la integral definida

Hasta ahora hemos visto el cálculo de las integrales. Ahora veremos que la integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc., con gran aplicación en diversas ramas de las ciencias naturales, sociales y la ingeniería. Abordaremos algunas de las más importantes de acuerdo a su plan de estudios.

Determinación del trabajo

Si una fuerza constante F actúa sobre un objeto desplazándolo una distancia x, a lo largo de una línea recta, y la dirección de la fuerza coincide con la del movimiento, entonces el trabajo realizado W se expresa como el producto de la fuerza F por el camino recorrido, es decir:

W = F× x

Sin embargo, cuando la fuerza no es constante, por ejemplo, cuando se contrae o estira un resorte, el trabajo no se puede expresar en forma tan simple, pues la fuerza dependerá de la posición que ocupe el objeto sobre el cual actúa. Si conocemos la función que relaciona a la fuerza con la posición, F = f(x) (dejando para su estudio personal el planteamiento formal de dividir el intervalo en que actúa la fuerza en segmentos, etc.), podemos plantear entonces que:

El alargamiento o la compresión de un resorte helicoidal, nos proporciona un ejemplo del trabajo realizado por una fuerza variable. La ley de Hooke indica que la fuerza necesaria para estirar un resorte helicoidal, es proporcional a la elongación del resorte. Así, la fuerza necesaria para producir una elongación de x unidades, está dada por la expresión F = kx, donde k es la constante de proporcionalidad, que depende del material, del calibre (grosor), del alambre, de la temperatura, etc.

Ejemplo: Para producir una elongación de 0.01 m en un resorte de hacer se necesita aplicar una fuerza de 0.1 newton. Determine el trabajo necesario para comprimir el resorte 2 cm.

La determinación de la constante en la ley de Hooke se reduce a:

Nos interesa abordar con Ustedes el trabajo relacionado con la compresión o expansión de un gas en un cilindro con un pistón. Esto se relaciona, por ejemplo, con el trabajo que se realiza en los motores térmicos de combustión interna (motores de gasolina, motores diesel), o sea con el trabajo que realizan los gases calientes, productos de la combustión, sobre el émbolo del pistón que mueve al cigüeñal y, mediante los mecanismos de transmisión, mueven en definitiva las ruedas de un vehículo u otras partes mecánicas que nos dan un trabajo e una aplicación en la tecnología. Esto será visto en termodinámica, por lo que consideraremos un caso sencillo en este momento.

Supongamos que tenemos un gas ideal en un cilindro como el que se muestra en la siguiente figura y que es comprimido utilizando una presión P, manteniendo la temperatura constante:

Consideremos un desplazamiento muy pequeño del pistón, Dl, que en el límite será muy pequeño e igual a dl, para la ecuación del trabajo ya vista tendremos que:

Ejemplo. Asumiendo comportamiento ideal, determine el trabajo necesario para comprimir 3 kg de nitrógeno de 3 a 1.5 l.

Ya se verá en termodinámica que el signo negativo que se obtiene indica que el trabajo se realiza sobre el sistema.

Determinación de fuerza hidrostática.

Otra aplicación de la integral definida de aplicación en problemas de la Tecnología de Alimentos, consiste en determinar la fuerza ejercida por la presión de un líquido sobre una placa sumergida en él o sobre un lado del recipiente que lo contiene.

La presión de un líquido es la fuerza por unidad cuadrada de área ejercida por el peso del líquido. Así, si r es la densidad del líquido, entonces la presión ejercida por el líquido en un punto a h unidades debajo de la superficie del líquido es P unidades, donde  P  =  r× h.

El principio de Pascal establece que la presión a una profundidad h es la misma en todas las direcciones. Por tanto, si se sumerge una placa plana en un fluido de densidad ρ, la presión sobre un lado de la placa es ρ×h en cualquier punto. Resulta irrelevante si la placa se sumerge horizontal, vertical o de cualquier otro modo.

Consideremos una placa de forma irregular (por facilidad en el dibujo le dimos forma trapezoidal), sumergida en un líquido de densidad r, y cuyo ancho es función de la profundidad, dado por w(x). La orientación del eje x por conveniencia la consideramos con el origen en la superficie del líquido (ver la figura que sigue).

Consideremos un elemento muy pequeño y transversal de la placa. En el límite, cuando Dx sea infinitamente pequeño, su área será w(x)×dx, y podemos aproximar la presión ejercida por el líquido sobre ese elemento por el de uno similar pero orientado horizontalmente, ya que dx es infinitamente pequeño, que será ρ×x y por tanto la fuerza ejercida en ese diferencial de área por el líquido será dF = PdA = ρx w(x)dx. Evidentemente, integrando entre la profundidad del extremo superior de la placa y la profundidad del extremo inferior de la placa tendremos la fuerza total que se ejerce sobre la misma:

Ejemplo. 

Un recipiente de forma trapezoidal de 100 cm de profundidad, está lleno de un líquido viscoso cuya densidad es de 1.13 g/cm³. En la superficie el ancho del recipiente es de 100 cm y en el fondo es de 50 cm. Si la superficie del líquido se encuentra a 10 cm del borde del recipiente, determine la fuerza total ejercida por el líquido sobre una pared del recipiente.

La anchura es una función lineal de la profundidad, con w(0) = 100 y w(100) = 50.

La pendiente es:

Ejercicio:

Se tiene un depósito cilíndrico horizontal de 4 m de diámetro lleno exactamente en un 50 % con agua. Determine la fuerza hidrostática sobre las paredes laterales del cilindro.

Pista: Recuerde que resolviendo para y la ecuación de una semicircunferencia se tiene que:

Longitud de un arco.

El problema general que vamos a plantearnos es el cálculo de la longitud de arco de la curva y = f(x) en el intervalo [a, b]. Suponemos que f es continua en [a, b] y derivable en (a, b).

Haciendo una partición del intervalo [a, b] en n subintervalos de igual longitud: a = x₀ < x₁ < … < x_n = b, donde

Entre cada par de puntos consecutivos de la curva, (x_i–1, f (x_i–1)) y (x_i, f (x_i)), aproximamos la longitud de arco s_i por la distancia recta entre ellos (vea la figura). Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos:

Este resultado lo puede comprobar utilizando GraphicaMK (materiales auxiliares), utilizando la función (1+4x^2)^0.5 e integrando entre 1 y 2.

Igual resultado se puede obtener integrando en y. Si la función g y su derivada g´ son continuas en el intervalo cerrado [c,d], entonces la longitud del arco de la curva x = g(y) a partir del punto (g( c ),c) hasta el punto (g(d),d) está dada por:

Ejercicio: Determine la longitud del arco de la curva y = x^2/3 desde el punto (1,1) hasta el punto (8,4). Respuesta: 7.634.

Otras aplicaciones de la integral definida.

Además de la determinación de áreas planas, las integrales definidas tienen otras aplicaciones que exceden lo previsto para este curso. Las mismas están relacionadas con el cálculo de áreas y volúmenes de revolución. No obstante se les remite a un material sobre las mismas (tomado de http://www.satd.uma.es/matap/javi/Calit/Temas/T5.pdf) y a la bibliografía disponible en la biblioteca.

Tarea:

Hallar el área bajo las gráficas de las funciones siguientes:

Evaluar las integrales:

Se aplica una fuerza f(x)=e^2x, en newtons, para mover una caja desde la posición x=2 hasta x=6 (en metros) sobre el piso. Evalúe el trabajo realizado.

Un resorte requiere una fuerza de 3 newtons para ser estirado un metro. Calcule el trabajo necesario para estirarlo 2 metros más.

La rapidez de cambio en la población de un cultivo de bacterias en el tiempo t (en horas) se modela por: P´(t) = e^2t. Si la población inicial se estima como P₀ = 10², determine la población P(t) a las 10 horas y el incremento de la población entre las 5 y las 10 horas.

tomado de: http://navarrof.orgfree.com/Docencia/MatematicasII/M2UT4/aplicaciones_integral.htm