Angulos y distancias

Distancia entre dos puntos

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

Vector normal a un plano

Primero calculamos la ecuación del plano que pasa por un punto A y es perpendicular a un vector n tal como se muestra en la figura. El vector u va del punto P(x,y,z) y el punto A(x₀,y₀,z₀)

El producto escalar de los vectores n y u deberá ser cero.

u=(x-x₀)i+(y-y₀)j+(z-z₀)k

n=ai+bj+ck

u·n=a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)=0

ax+by+cz=d

que es la ecuación del plano. Las componentes del vector n normal al plano son los coeficientes a, b, c de x, y y zen la ecuación del plano. El vector unitario normal al plano es

nˆ=aa2+b2+c2−−−−−−−−−−√iˆ+ba2+b2+c2−−−−−−−−−−√jˆ+ca2+b2+c2−−−−−−−−−−√kˆ

Angulo entre dos planos

El producto escalar nos permite determinar el ángulo entre dos vectores u y v.

u⋅v=u⋅v⋅cosθu⋅v=uxvx+uyvy+uzvzcosθ=u⋅vu⋅v

Si n₁ y n₂ son los vectores perpendiculares a cada uno de los dos planos, el ángulo θ entre estos dos vectores es el mismo que el ángulo entre los dos planos. El ángulo entre los dos planos se calcula mediante la siguiente fórmula

a1x+b1y+c1z=d1 n1=a1iˆ+b1jˆ+c1kˆa2x+b2y+c2z=d2 n2=a2iˆ+b2jˆ+c2kˆcosθ=∣∣∣n1⋅n2n1⋅n2∣∣∣