jueves, 2 de octubre de 2014

PROBLEMAS DE CONCURSO SOLUCIONADOS

1.- Calcular la suma de los cuadrados de los cien primeros términos de una progresión aritmética, sabiendo que la suma de ellos vale -1, y que la suma de los términos de lugar par vale +1.

SOLUCIÓN

Sea la progresión a, a + d, a + 2d, ......, a + 99d, entonces tenemos que hallar:

S = a2 + (a + d)2 + (a + 2d)2 +.....+ (a + 99d)2 =100a2  + 2ad (1 + 2 + ...+ 99) +d2 (12 + 22 +....+ 992).

Para calcular a y d resolvemos el sistema: (a+a+99d)50= -1 y  (a+d+a+99d)25 = 1  que operado y resuelto sale:
a = -2,98;   d = 0,06.
El resto es fácil de calcular. Los paréntesis son progresiones de primer y segundo orden.

1 + 2 + ...+ 99 =  4950;    12 + 22 +....+ 992  = 328350.

El resultado final es S = 299,98


2.- Un cuadrado de lado 5 se divide en 25 cuadrados unidad por rectas paralelas a los lados. Sea A el conjunto de los 16 puntos interiores, que son vértices de los cuadrados unidad, pero que no están en los lados del cuadrado inicial.
¿Cuál es el mayor número de puntos de A que es posible elegir de manera que TRES cualesquiera de ellos NO sean vértices de un triángulo rectángulo isósceles?.

SOLUCIÓN

Numeremos los puntos como indica la figura

13
14
15
16
9
10
11
12
5
6
7
8
1
2
3
4

Por simple tanteo se obtiene un conjunto de seis puntos verificando la condición del enunciado, por ejemplo {1, 2, 3, 8, 12, 16}.
Supongamos que hubiera un conjunto M de 7 puntos verificando la condición del enunciado. Notemos que si cuatro puntos forman un cuadrado, a lo sumo figurarán dos de ellos en M. Los puntos de los conjuntos 
{1, 4, 16, 13}, {2, 8, 15, 9}, {3, 12, 14, 5}

forman cuadrados y su unión forma el “contorno exterior” de A, luego a los sumo 6 de los puntos elegidos deben estar en M y por tanto al menos un punto de M debe ser del conjunto “interior” de A: {6, 7, 10, 11}. Por la simetría de la figura supongamos que es el 7.
Como {7, 16, 9} y {1, 7, 14} forman triángulos rectángulo isósceles, a lo sumo 2 de los puntos del conjunto {1, 9, 14, 16} deberán figurar en M. Además {5, 7, 13, 15} forman un cuadrado por tanto a lo sumo podremos elegir dos números entre {5, 13, 15} , de ello se deduce en M deben figurar al menos tres puntos de {2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 12} . Si descomponemos este conjunto en dos subconjuntos “cuadrados” y disjuntos
:
{3, 6, 11, 8} y {2, 4, 10, 12}

forzosamente de uno de ellos habremos de tomar dos puntos y uno de otro.
Si tomamos dos puntos del primero las únicas posibilidades son {3, 11}{6, 8} ambas incompatibles con cualquier elección del punto restante en el segundo conjunto.
Si los dos puntos se eligen del segundo las ínicas maneras son {2, 12} y {4, 10}, de nuevo incompatibles con cualquier elección del punto que falta en el primer conjunto.

En resumen el número máximo de elementos es 6.

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