PILOGE: SUCESIONES

martes, 26 de agosto de 2014

SUCESIONES

Diversos conjuntos numéricos.

En Matemáticas empleamos diversos conjuntos de números, los más elementales son:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números naturales, o números que sirven para contar.

Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números enteros, o números que sirven para designar cantidades enteras(positivas o negativas).

Q = {...., -7/2,..., -7/3, ..., -5/4,... -5/1, ...0, ..., 2/133, ... 4/7 ... } . El conjunto de los numeros racionales, o números que pueden ser expresados como un cociente (quotient) entre dos enteros, fracción, p/q. Observen que algunos números con infinitos decimales tal como el 2,33333... pertenece a este conjunto, puesto que: 2,33333... = 7/3.
No obstante, en Q no se hallan algunos números como 1,4142136... (raíz cuadrada de 2) , o el 3,141592... (el número p) que poseen infinitos decimales pero no pueden expresarse en la forma p/q. A estos números se les llama "números irracionales".

R = Q U {"números irracionales"} . El conjunto de los números reales, formado por la unión de Q y de todos los números irracionales. Este conjunto suele denominarse recta real , pues los puntos de una recta pueden ponerse en correspondencia con los infinitos números de R.

En ocasiones expresamos a uno de estos conjuntos con un asterisco, para indicar que se trata de todo él excepto el 0. Por ejemplo, por N^*nos referimos a los números naturales excepto el 0:

N^*= {1,2,3,4,5,...}

3.2 Sucesiones de número reales.

Se llama sucesión de números reales, a una agrupación infinita de elementos del conjunto R (conjunto de los números reales),

A cada uno de estos números se le llama término (primer término, segundo, etc.). De una manera matemática una sucesión se suele definir como una aplicación de N^* en R, dada por:

es decir, para n=1 tenemos el primer término, para n=2 el segundo, ...

A las sucesiones se las suele representar por su término general, que es un término genérico dependiente de n, tal que al ir dando a n los sucesivas valores de N* vamos obteniendo todos los términos de ella. Por ejemplo, la sucesión:

es la formada por:

una sucesión que vamos a tomar para nuestros ejemplos. En concreto, en esta sucesión hay dos aspectos destacables, observémosla más detenidamente dibujándola sobre la recta real:

Por una parte, podemos notar que todos sus infinitos términos se encuentran comprendidos entre 0 y 1. Esto es,

cuando esto sucede se dice que la sucesión está acotada (superiormente por el 1, e inferiormente por el 0). En caso de que esto no fuera así, se hablaría de una sucesión no-acotada (bien superiormente, bien inferiormente, o incluso puede ser no-acotada en ambos lados).

El segundo aspecto destacable es que cada término es inferior al que le antecede (los términos se encuentran colocados sobre la recta real de derecha a izquierda) lo cual indica que la sucesión es decreciente. En caso opuesto como sucede con la sucesión (2, 4, 6, 8, 10, ...) se dice que la sucesión escreciente.

3.3 Límite de una sucesión.

Si nos fijamos nuevamente en la sucesión (1/n) representada gráficamente, podemos comprobar que los términos son cada vez más pequeños, en otras palabras, los términos convergen hacia 0.

Esta convergencia a 0 de una sucesión se define matemáticamente de una forma muy precisa:

* Sucesión convergente a 0:

Dada una sucesión de números reales {xn} decimos que esta sucesión "converge al número 0" (también se dice que la sucesión "tiene por límite 0") si:

(esta rigurosa definición se debe a Cauchy)

En este caso se suele expresar en la forma:

Por ejemplo, la sucesión:

converge a 0, lo cual gráficamente significa que sus términos se aproximan paulatinamente hacia el 0, al que llegarían solamente para n=

Para nuestro ejemplo tenemos:

Lo cual matemáticamente significa: que para cualquier valor real positivo (todo lo pequeño que queramos) e, siempre podemos hallar un valor entero p, tal que a partir de él en adelante todos los términos de la sucesión son menores que e.

Por ejemplo, tomemos un e suficientemente pequeño, digamos e=0.001, entonces existe una valor entero p, a partir del cual los siguientes términos son menores que ese pequeño e. En nuestro caso este p es 1001, pues veamos:

Etcétera, tal como lo hemos indicado en el diagrama siguiente:

y esto sucede para cualquier valor e que tomemos, por ejemplo para e=0,000001 (algo más pequeño) podemos encontrar el p que ahora vale p=1000001 (algo más grande). En realidad este valor de p puede hallarse por la expresión:

(por los corchetes nos referimos a la parte entera de un número, así por ejemplo [3,14]=3 ) una expresión que ha sido obtenida de considerar la condición:

y hallar el n más pequeño que cumpla esta desigualdad, a cuyo valor se le llama p. Una vez obtenido este p tenemos:

* Sucesión convergente a x:

Dada una sucesión de números reales {xn} decimos que esta sucesión "converge al número x" (también se dice que la sucesión "tiene por límite x") si:

Otra forma de decirlo es que la sucesión {xn-x}converge a 0:

Por ejemplo la sucesión:

converge hacia el número 2:

* Sucesión divergentes (convergente a infinito):

Toda sucesión que es creciente y está acotada superiormente es convergente a un número x. De forma similar, toda sucesión que es decreciente y está acotada inferiormente es convergente a un número x.

Ahora vamos a ocuparnos de aquellas sucesiones que siendo crecientes o decrecientes (llamadas "monótonas") no están acotadas. Para ello necesitamos aclarar lo que se llama "entorno del infinito":

Un número x decimos que pertenece al "entorno del infinito", lo cual se expresa:

si para cualquier número positivo, A, todo lo grande que uno desee, x es mayor que A:

De forma análoga, un número x se dice que pertenece al "entorno del infinito negativo",

, si para cualquier número positivo, A, todo lo grande que uno desee, tenemos que x es menor que (-A):

Así definidos los entornos del infinito, el concepto de límite de una sucesión puede ser generalizado.

* Sucesión convergente a infinito:

Es decir, los términos de la sucesión (para valores de n altos) pertenecen al entorno de infinito. Como ejemplo considérese la sucesión de números pares:

(2 n) = 2, 4, 6, 8, 10, ...., 10000000, .......

* Sucesión convergente a -infinito:

Es decir, los términos de la sucesión (para valores de n altos) pertenecen al entorno de infinito negativo. Como ejemplo considérese la sucesión de números pares negativos:

(-2 n) = -2, -4, -6, -8, -10, ...., -10000000, .......

Existe un tercer caso, de sucesiones alternas, con términos positivos y negativos alternándose, como por ejemplo la sucesión de término general (-2)ⁿ, cuyos términos son: -2, 4, -8, 16, -32, 64, .... En este caso decimos que la sucesión tiene por límite infinito, ¥, (sin especificar el signo). Para hacer el estudio de este tipo de sucesiones alternas se suele considerar el valor absoluto de sus términos.

3.4 El número e.

Consideremos una sucesión muy útil y práctica en los trabajos científicos, se trata de la sucesión cuyo término general es:

Esta sucesión está acotada superiormente (ningún termino puede ser superior a 3), por otra parte es creciente como puede apreciarse en la siguiente tabla.

       n               (1+1/n)ⁿ
       1                 2
       2                 2,25
       3                 2,370371
       4                 2,441406
       5                 2,488320
       6                 2,521626
       7                 2,546501
       8                 2,581176
       9                 2,593743

es decir, se trata de una sucesión monótona creciente y acotada, por lo tanto es convergente hacia un cierto número. A este número que es su límite se le llama número e (en honor de Euler):

El número e es un número irracional, una aproximación de su valor se obtiene introduciendo en la expresión de arriba un valor grande de n, entonces aparece:

e = 2,71828182.....

Pero el número e además puede ser expresado en la forma:

siendo (xn) una sucesión tal que

, o sea, tiene por límite infinito, ya sea positivo o negativo.

3.5 Propiedades de límites de sucesiones.

Consideremos dos sucesiones convergentes a ciertos límites x e y:

entonces es fácil demostrar que se cumplen las siguientes propiedades:

a) Límite de una suma:

-- Excepto para el caso +

+(-

) --

b) Límite de una resta:

-- Excepto para el caso

c) Límite de un producto:

- Excepto para los casos 0 ×

× 0 --

d) Límite de un cociente:

- Excepto para los casos 0/0,

e) Límite de expresiones exponenciales:

-- Excepto para los casos

f) Límite de exponenciales:

Para cualquier número positivo a:

g) Límite de logaritmo:

-- Sin excepciones siempre que x>0 --

3.6 Cálculo de límites de sucesiones

En general para calcular el límite de una sucesión {xn} sustituiremos en n el valor +

, pero si al hacer esto nos encontramos con alguna indeterminación del tipo

, 0/0, entonces deberemos tratar de modificar la forma del término general antes de realizar esta sustitución. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1: Hallemos el límite de la sucesión

Solución: Si sustituimos directamente n por

, nos encontramos con la indeterminación

, y en estos casos lo que se suele hacer es dividir numerador y denominador por la mayor potencia del denominador:

Ejemplo 2: Hallemos el límite de la sucesión

Solución: Si sustituimos directamente n por

, nos encontramos con la indeterminación

, en estos casos se procura dejar el término general en forma de un cociente, en concreto:

o sea, 0.

Ejemplo 3: Hallemos el límite de la sucesión

Solución: Si sustituimos directamente n por

, tanto en el paréntesis como en el exponente, en principio tenemos:

lo que nos lleva a una indeterminación en la forma

, la cual siempre se puede transformar en una forma del número e:

Ahora teniendo en cuenta lo anteriormente dicho, que para una sucesión {xn} tendiendo a infinito (positivo o negativo) se tiene:

en nuestro caso tenemos:

por lo tanto el límite será:

Ejemplo 4: Hallemos el límite de la sucesión

Solución: Si sustituimos directamente n por

, nos queda la forma indeterminada

º. Pero en este caso podemos realizarlo así:

En realidad, el resultado de este límite se puede generalizar para el caso de la raíz n-ésima de una suma de números elevados a n, de tal manera que en ele(

) se tiene la equivalencia:

donde k es el mayor de estos números elevados a n.

3.7 Criterios de convergencia para límites especiales.

En algunas ocasiones deben tenerse en cuenta ciertos criterios para asegurar que una sucesión es o no convergente, y en el primer caso poder conocer su límite. El más utilizado de ellos es el llamado "criterio de Stolz" (debido a Otto Stolz):.

* Criterio de Stolz.

Sean dos sucesiones {a_n} y {b_n}, siendo {b_n} monótona (creciente o decreciente), tales que se cumple una de estas dos cosas:

1) Las dos sucesiones convergen a 0.

2) La sucesión {b_n} es divergente, es decir lim{b_n}=±¥.

En este caso si:

entonces también tendrá por límite L:

Ejemplo 5: Hallemos el límite de la sucesión

Solución: La sucesión del denominador, al menos, es divergente (tiende a infinito) por tanto podemos utilizar el criterio de Stolz:

Si llamamos,

podemos expresar:

Ejemplo 6: Hallemos el límite de la sucesión

Solución: En este caso, tanto la sucesión {a_n} como la {b_n} convergen a 0, por lo que podemos aplicar el criterio de Stolz:

por lo que el límite será:

* Otros criterios de convergencia para sucesiones:

- Criterio de la media aritmética:

- Criterio de la media geométrica:

- Criterio de la raíz:

Ejemplo 7: Hallemos el límite de la sucesión,

Solución: En el numerador tenemos una suma de n términos, y en el denominador tenemos a "n", por lo tanto se trata de un "media aritmética", según este criterio su límite es simplemente:

Ejemplo 8: Hallemos el límite de la sucesión,

Solución: utilizamos el criterio de la raíz, entonces tenemos:

3.8 Equivalencia "límites de sucesiones límites de funciones en

En principio para las indeterminaciones 0/0 ó

no puede aplicarse la regla de L'Hôpital, que está definida sólo para límites de funciones, sin embargo hay que remarcar el siguiente concepto que en muchas ocasiones facilita obtener límites de sucesiones con estos tipos de indeterminaciones:

< existe, entonces también existe

, y ambos límites coinciden >>.

Esto significa que que nosotros sí podemos utilizar la la regla de L'Hôpital o el concepto de infinitos equivalentes utilizando las técnicas descritas en el tema de límites de funciones.

Es también necesario recordar algunas equivalencias para realizar sustituciones a la hora de hacer ciertos límites:

El alumno puede practicar intentando resolver los siguientes ejercicios:

Sección 1:

Hallar cada uno de estos límites de sucesiones:

Sección 2:

Hallar estos dos límites de sucesiones del tipo

, pasándolos a la forma adecuada del número e:

Sección 3:

Hallar estos dos límites especiales por el criterio de Stolz:

EJERCICIOS RESUELTOS:

1) Demostrar que se verifican los siguientes límites de sucesiones:

Solución:

a) Debemos comprobar el cumplimiento de la condición de límite (finito):

Para este caso es:

Para llegar a demostrar la existencia de ese entero p debemos partir de la expresión:

, y despejar n:

A partir de aquí podemos eliminar las barras del valor absoluto (puesto que la cantidad de su interior es positiva):

, podemos invertir los dos miembros (al invertir cambia el sentido de la desigualdad):

, finalmente multiplicamos por 7 ambos miembros y terminamos de despejar n:

Tomamos logaritmos decimales en ambos miembros:

Y ya está despejado n. Esto significa que podemos llamar p a la cantidad:

b) Debemos comprobar el cumplimiento de la condición de límite (infinito positivo):

que para este caso será:

Partimos de la inecuación de la derecha para despejar n:

Finalmente, como el logaritmo base 3 de 3 es 1:

Por lo tanto, p será:

c) No resuelto aún.

d) Debemos comprobar el cumplimiento de la condición de límite (infinito negativo):

que para este caso será:

Partimos de la inecuación de la derecha para despejar n:

1 - 2 n < - A

Restamos 1 a ambos miembros:

- 2 n < - A - 1.

Finalmente se divide a ambos miembros entre (-2) : al multiplicar o dividir a una inecuación por un número negativo cambia el sentido de la desigualdad .

n > (A + 1)/2

A este valor de n (convenientemente pasado a número entero) lo llamamos p:

p = [(A + 1)/2] + 1.

e) Debemos comprobar el cumplimiento de la condición de límite (finito):

Para este caso es: