¿Cómo encontramos el área de una región limitada por los ejes coordenados positivos si conocemos la expresión analítica de la función que la limita?

El desafío es encontrar el área bajo la gráfica de f(x) = +    de   x = 0   a   x = 3.

Debemos encontrar el valor del área representada gráficamente.

Si tenemos en cuenta la forma de trabajo usada por Arquímedes una aproximación de esta región se puede encontrar usando dos rectángulos. La altura del primer rectángulo es f(0) = 3 y la altura del segundo rectángulo es f(1,5) = . El ancho de cada rectángulo es 1,5

El área total de los dos rectángulos es:

A = 3 . 1,5 +  . 1,5  8,397114317 unidades cuadradas.

Como observamos en la gráfica esta aproximación es mayor que el área real. Para lograr una mejor aproximación podemos dividir el intervalo [0, 3] en tres partes iguales, cada uno de una unidad de ancho.

La altura del primer rectángulo es f(0), la del segundo es f(1) y la del tercero f(2). En todos los casos el ancho del subintervalo es 1 es decir, la medida de la base es 1 unidad.

El área total de los tres rectángulos es:

Área = 1 . f(0) + 1 . f(1) + 1 . f(2) = 1 . 3 + 1 .  + 1 . 

Área 8,064495102 unidades cuadradas.

Aquí podemos observar que esta aproximación se ve mejor que la anterior pero aún es mayor que el área real buscada.

Para mejorar la aproximación podemos dividir el intervalo en seis partes con anchos iguales, es decir considerar como medida de la base de cada rectángulo 0,5 unidades.

Rectángulo	x	f(x)	Ancho de la base	Área
1	0	3	0,5	1,5
2	0,5		0,5	1,479019946
3	1		0,5	1,414213562
4	1,5		0,5	1,299038106
5	2		0,5	1,118033989
6	2,5		0,5	0,829156197
				Área total = 7,63946180

De la misma forma analizamos el área total considerando rectángulos de medida de base 0,25 unidades.

Este proceso de aproximar el área bajo una curva usando más y más rectángulos para obtener cada vez una mejor aproximación puede generalizarse. Para hacer esto podemos dividir el intervalo de x = 0 a x = 3 en n partes iguales. Cada uno de esos intervalos tiene ancho de medida  =  y la altura determinada por el valor de la función en el lado izquierdo del rectángulo es decir f_i donde i = 1, 2 , 3, ....., n. Si utilizamos el ordenador podemos hacer los cálculos tomando cada vez más rectángulos.

n	Área
150	7,09714349
2500	7,0703623
10000	7,069030825
45000	7,068683193
175000	?
720000	?

¿Debemos seguir haciendo tantos cálculos o intentamos buscar otra forma más sencilla para resolver este problema ...?

Si visualizamos gráficamente esta situación, a medida que el número n de rectángulos es cada vez más grande observamos que la suma de sus áreas se acerca cada vez más al área real de la región.

En este caso podemos decir que el área real es el límite de esas sumas cuando n crece indefinidamente, lo que puede escribirse:

Área =  (suma de las áreas de los n rectángulos)

Esta situación se puede visualizar en la animación siguiente.

Es bueno saber que el método de aproximación usado es básico para la comprensión intuitiva del Cálculo Integral.

Si calculamos el área utilizando la fórmula del área de un círculo y teniendo en cuenta que el área sombreada es la cuarta parte del área del círculo de radio 3 con centro en el origen resulta:

Área = A =  = 9 @ 7,068583471.

Investigue por su cuenta qué hubiese pasado si se elige como altura el valor de la derecha o un punto intermedio del intervalo.

Para tener en cuenta: para hallar el área debajo de una curva necesitamos resolver un tipo especial de límite.

TOMADO DE:http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/problemadelarea.htm