SOLUCIÓN
6) Tres estudiantes, Antonio, Berta y Carlos, participan en una serie de exámenes. En cada prueba, el que queda primero recibe x puntos, el segundo recibe y puntos y el tercero z puntos, donde x, y, z, son números enteros mayores que cero tales que x > y > z. No hay empates.
En total, Antonio acumuló 20 puntos, Berta 10 puntos y Carlos 9 puntos. Antonio quedó el segundo en el exámen de Algebra.
¿Quién quedó segundo en el exámen de geometría?.
En total, Antonio acumuló 20 puntos, Berta 10 puntos y Carlos 9 puntos. Antonio quedó el segundo en el exámen de Algebra.
¿Quién quedó segundo en el exámen de geometría?.
SOLUCIÓN
El número total de puntos acumulado en las pruebas es 20+10+9 = 39 puntos. Como 39 = 13*3, la suma x+y+z debe valer uno u otro factor. Descartemos el 3, pues entonces debería ser x=2; y=1; z=0, en contra de lo supuesto. Por tanto x+y+z = 13. Puesto que se han celebrado tres pruebas, el mejor puntuado no superará los máximos de cada una, es decir que 3x>=20. Luego x>=7. Análogamente 3z<=9 o sea que z<=3.
Si x=7, la puntuación de A exigiría que y=6, lo que no puede ser (pues entonces z=0). Probemos con x=8. Entonces y=4 y z=1. Las pruebas se desarrollaron así:
Si x=7, la puntuación de A exigiría que y=6, lo que no puede ser (pues entonces z=0). Probemos con x=8. Entonces y=4 y z=1. Las pruebas se desarrollaron así:
| PRUEBA | A | B | C |
| 1 | 8 | 1 | 4 |
| 2 | 4 | 8 | 1 |
| 3 | 8 | 1 | 4 |
No caben más posibilidades, pues si x=9, sería y=2, z=1, y las condiciones impuestas no se cumplen.
7) Un paralelepípedo de dimensiones 150 x 324 x 375 se construye pegando cubitos de 1 x 1 x 1. Una diagonal interior del sólido pasa a través del interior de ¿cuántos cubitos unitarios?.
Nótese que se pide contar sólo los cubitos a través de cuyo interior pasa la diagonal, aquellos que sólo son tocados en una arista o un vértice no cuentan.
SOLUCIÓN
Empecemos por el caso bidimensional (rectángulo de lados m x n), y contemos las celdas que va atravesando la línea. Cada vez que atraviesa un plano, se añade una celda al cómputo, salvo si atraviesa dos o más a la vez. Al final, esto se habrá producido en un número de casos igual al máximo común divisor de m y n, por lo que fácilmente concluímos que:
N = m+n-mcd(m,n)
En el caso de tres es análogo. Cada vez que se atraviesa una arista deja de añadirse una celda al cómputo, y esto ocurre para los mcd de (m,n), de (m,p) y de (n,p). Pero cuando pasamos por un nudo de la red estamos restando tres unidades cuando sólo deberíamos restar 1, por lo que hay que restablecer las casillas indebidamente restadas, resultando al final:
N = m+n+p-mcd(m,n)-mcd(m,p)-mcd(n,p)+mcd(m,n,p)
N = m+n-mcd(m,n)
En el caso de tres es análogo. Cada vez que se atraviesa una arista deja de añadirse una celda al cómputo, y esto ocurre para los mcd de (m,n), de (m,p) y de (n,p). Pero cuando pasamos por un nudo de la red estamos restando tres unidades cuando sólo deberíamos restar 1, por lo que hay que restablecer las casillas indebidamente restadas, resultando al final:
N = m+n+p-mcd(m,n)-mcd(m,p)-mcd(n,p)+mcd(m,n,p)
8)Averiguar sin ayuda de calculadora el valor de la expresión:
(10 + 324)4.(22 + 324)4.(34 + 324)4.(46 + 324)4.(46 + 324)4.(58 + 324)4
x = -----------------------------------------------------------------------
(4 + 324)4.(16 + 324)4.(28 + 324)4.(40 + 324)4.(52 + 324)4
SOLUCIÓN
Todo numéro de la forma:
descomponiendo numerador y denominador de esta forma, y eliminando los factores comunes nos queda:
a + 324 = [a(a-6)4+18][a(a+6)+18]
x = (58.64+18) / (-2.4+18) = 373
TOMADO DE:http://www.mensa.es/juegosmensa/e006010.html
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