CUATRO PROBLEMAS INTERESANTES 7

Problema 1.

Demostrar que en todo conjunto de 5 números naturales siempre hay tres cuya suma es múltiplo de 3.

Problema 2.

En una reunión de 2009 personas, demostrar que hay dos personas que le han dado la mano al mismo número de persona

Problema 3.

Si a un tablero de ajedrez (8×8) le quitamos las casillas de dos esquinas opuestas, ¿es posible rellenar las 62 casillas restantes con fichas de tamaño 2×1?

Problema 4.

Sobre los vértices de un hexágono regular, se colocan, en sentido antihorario, los números {1,0,1,0,0,0} y se permite realizar la siguiente operación: sumarle o restarle 1 a dos vértices consecutivos. ¿Se puede, usando reiteradamente esta operación, llegar a que en todos los vértices haya un cero?


SOLUCIONES

1.  Organicemos los cinco números según tengan resto cero, uno o dos al dividirlos entre tres. Si hay tres que tienen el mismo resto, entonces la suma de esos tres es múltiplo de 3 y, si no hay tres que tengan el mismo resto, entonces debe haber tres que tengan cada uno un resto distinto, en cuyo caso la suma de esos tres es un múltiplo de 3.

2. A cada persona le asignamos un número: el número de personas a las que le ha dado la mano. Este número ha de estar comprendido entre 
0 y 2008 (lo que hace un total de 2009 posibilidades para cada persona). Sin embargo, no puede ocurrir que una persona le haya dado la mano a todo el mundo y otra no se la haya dado a nadie, es decir, no puede haber una persona a la que se le ha asignado el 0 y a otra el 2008. Como hay 2009 personas y 2008 números que se le pueden asignar a cada una, tiene que haber dos que compartan el mismo número, esto es, que le hayan dado la mano al mismo número de personas.
3. Observemos que el tablero de ajedrez tiene 32 casillas blancas y 32 casillas negras y que las esquinas opuestas tienen el mismo color. Entonces, al quitar las casillas de dos esquinas opuestas nos quedan 32 casillas de un color y 30 de otro. Como todas las fichas de tamaño 
2×1 ocupan exactamente una casilla blancan y otra negra, no es posible rellenar este espacio.

4. Llamemos v1,v2,v3,v4,v5,v6 al valor de cada uno de los seis vértices (al comienzo tenemos que v1=v3=1, v2=v4=v5=v6=0 y observemos que la cantidad v1−v2+v3−v4+v5−v6 no cambia cuando a dos números consecutivos le sumamos o restamos uno. Por tanto, hagamos las operaciones que hagamos, dicha cantidad va a permanecer invariante. Como al principio su valor es 2 y el valor en el caso de que en todos los vértices haya un cero es 0, es imposible alcanzar esta situación.

TOMADO DE: http://wdb.ugr.es/~jmmanzano/preparacion/problemas.php