CURIOSIDADES MATEMÁTICAS 3

¿Qué pasaría si...

.quisiéramos calcular la longitud de la “hipotenusa” en este “triángulo” rectángulo?

¿Qué fórmula obtendríamos?

 Respuesta: La longitud de la “hipotenusa” es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados. Aquí va la justificación.

Indiquemos las tres longitudes con a, b, c, como se ve en la Figura 1:

Figura 1.

Independientemente de cómo construyamos los escalones que forman el “lado” c, la suma de las longitudes de todos los segmentos verticales debe ser igual a b; de la misma manera, las longitudes de todos los segmentos horizontales debe darnos a. ¡O sea que

c = a + b !

Observemos que esto no puede cumplirse en ningún triángulo rectángulo (Figura 2),

Figura 2.

pues por una parte tendríamos  a + b = c, mientras que el teorema de Pitágoras nos diría que

a² + b² = c².

 O sea,

a² + b² = a² + 2ab + b²,

lo cual implicaría que 2ab = 0 ó que uno de los lados, a ó b,  debe tener longitud cero. Es decir, que no tendríamos un verdadero triángulo.

Recordemos que lo que sí es verdad en cualquier triángulo, rectángulo o no, es que la longitud de cada lado no puede ser mayor que la suma de las longitudes de los otros dos lados. Es decir (Figura 3),

c ≤  a + b.

Figura 3.

Podemos preguntarnos si habrá algún triángulo para el cual esta desigualdad se convertirá en una igualdad. La respuesta es que no, si queremos tener un verdadero triángulo. Efectivamente, el teorema del coseno (Figura 4) nos dice:

c² = a² + b² – 2ab cos θ.

Figura 4.

 Si fuera  c = a + b, tendríamos

a² + 2ab + b² =  a² + b² – 2ab cos θ .

O sea,

ab  =  – ab cos θ .

Como las longitudes a y b son ambas mayores que cero debe ser cos θ = – 1, de donde resulta que el ángulo θ  tiene que valer 180º. Es decir, que el triángulo tiene que reducirse a:

Figura 5.

	Sobre la autora
	Josefina (Lolina) Álvarez es Professor of Mathematics en New Mexico State University (USA). Especialista en análisis armónico y funcional, se doctoró en Matemáticas por la Universidad de Buenos Aires (Argentina) TOMADO DE: http://www.matematicalia.net/index.php?option=com_content&task=view&id=387&Itemid=234