CUATRO PROBLEMAS INTERESANTES 6

1. Raymond Smullyan, matemático de la City Univeristy of New York, es el responsable de estos acertijos lógicos con "Buenos" y "Malos", y tal vez algunas personas más. En todos, el "Bueno" siempre dice la verdad y el "Malo" siempre miente. En el último problema cada uno de los personajes es o Bueno o Malo. 

1. A dice "B es bueno" y B dice "A no es bueno". Pruébese que uno dice la verdad pero no es bueno.
2. A dice  "B es bueno" y B dice "A es malo". Pruébese que, o bien uno de ellos dice la verdad pero no es bueno, o bien uno miente pero no es malo.
3. C dice: "B es malo" y B dice "A y C son del mismo tipo (ambos buenos o ambos malos)". ¿Qué es A?

SOLUCIÓN:

Para los dos primeros hay tres clases de personas: los buenos (siempre dicen la verdad), los malos (siempre mienten) y los demás. Llamaré "Normales" a los que no son ni buenos ni malos. 
Antes de empezar quiero aclarar que el lenguaje natural es muy traicionero y que hay problemas de interpretación en los dos primeros acertijos, sobre todo en lo referente a los que se quiere decir con "uno". Es bastante diferente interpretarlo como "al menos uno" o como "exactamente" uno. También es opinable como debe interpretarse en términos lógicos "pero". 

Primer acertijo: A dice "B es bueno", B dice "A no es bueno". Pruébese que uno dice la verdad pero no es bueno. 

Tomemos el caso en que A es "Normal" y que le ha dado por decir la verdad y que B es bueno. En esta situación ambos dicen la verdad. Es cierto que uno de los que dice la verdad no es bueno, pero la equivalencia de esto con lo que se proponía probar es cuestionable. Creo que sería más preciso pedir que se probase que uno es "Normal" que dice la verdad.
 

Segundo acertijo: A dice "B es bueno", B dice "A es malo". Pruébese que, o bien uno de ellos dice la verdad pero no es bueno, o bien uno miente pero no es malo.

Hay dos casos comprometedores:

a) A es un "Normal" que miente y B un "Malo"
b) A y B son dos "Normales" que mienten

Si se interpreta "uno" como "al menos uno" y "pero" como "y" lo que se pide probar es cierto.
 

Tercer acertijo: C dice "B es malo", B dice "A y C son del mismo tipo (ambos buenos o ambos malos)". ¿Qué es A?

Si C es bueno -> B es malo -> A y C diferentes -> A es malo
Si C es malo -> B es bueno -> A y C son iguales -> A es malo

Luego A es malo.

2. El señor y la señora Winter han ahorrado para comprar regalos navideños. Al romper la hucha calculan que los regalos de este año no deben costar, en media, más de 60 coronas. Merced a la buena suerte, los Winter encontraron una auténtica ganga: un encantador reno en nylon de color rosa que canta "Jingle Bells". Los Winter creen que el regalo gustará a gran parte de la familia, así que se gastan la mitad de sus ahorros en renos de color rosa. ¿Cuantos regalos más pueden comprar, sabiendo que cada reno cuesta 30 coronas y que cada miembro de la familia recibirá un sólo regalo?

SOLUCIÓN:

Ninguno. El matrimonio Winter había planeado gastarse 60 coronas en regalos para cada miembro de la familia. Puesto que sólo usaron la mitad de esa cantidad por regalo, pudieron comprar la misma cantidad de regalos por la mitad de dinero que habían reservado. Así que no tuvieron que comprar ni un regalo más.

3. Santa Claus se puso de muy mal humor cuando descubrió que alguien había pegado papel de lija en los esquíes de su trineo. Dos de los elfos dijeron la verdad en la investigación que llevó a descubrir al elfo bromista: 

Silly: Fue Puk el que lo hizo.
Stump: No, fuí yo.
Pip: No fue Puk.
Puk: Pip miente.
Roly: El culpable sólo pudo ser Stump o Jollly.
Poly: Fue Stump.
Jolly: No fuimos ni Stump ni yo.
Nick: Jolly dice la verdad y tampoco fue Puk.
 

¿Cuál de ellos le gastó tan pesada bromita a Santa Claus?

SOLUCIÓN:

Esto es lo que declararon los elfos: 

Silly -> Puk
Stump - > Stump
Pip -> NO Puk
Puk -> Puk
Roly -> Stump O Jolly
Poly -> Stump
Jolly -> NO Stump Y NO Jolly
Nick -> NO Stump y NO Jolly y NO Puk
La última proposción es falsa, porque de la información que dan los elfos es evidente que el culpable es Stump, Jolly o Puk.
Nick miente y como miente, lo que ha dicho Jolly no es cierto, de modo que el culpable es Stump o Jolly.
Silly y Puk también han mentido, porque Puk no puede ser el culpable y sabemos que Pip y Roly están diciendo la verdad (no puedo ser Puk y el culpable está entre Stump o Jolly). Como sólo hay dos elfos veraces Stump y Poly están mintiendo, así que Stump no ha podido ser culpable.
El culpable es Jolly.

4. El elfo encargado de empaquetar los regalos había envuelto 8 regalos para los niños de Villa Reno en cajas idénticas y con el mismo papel. ¡Pero se olvidó de poner las etiquetas!. Menos mal que sabe cuanto pesa el regalo de cada niño: 100 g, 200g, 400 g, 800 g, 1600 g, 3200 g, 6400 g y 12800 g. ¿Cuál es el número mínimo de pesadas que debe hacer con una balanza para identificar cada uno de los paquetes (entiéndase número de pesadas para cada uno de ellos)?

SOLUCIÓN:

Son necesarias tres pesadas. Como el paquete más pesado, pesa más que la suma de todos los demás, se forman dos grupos al azar. Se descartan los cuatro paquetes del platillo menos pesado y se repite la operación con dos y dos. Se descartan los menos pesados y ya solo quedan dos con lo cual el elfo de inmediato sabe cual es el más pesado de todos. 

A continuación repite la operación (dejando el paquete ya identificado aparte), para conocer cuál es el segundo más pesado. 

Cuando sólo queden cuatro paquetes por identificar bastará con hacer dos pesadas, mientras que para los dos últimos, lógicamente bastará una.

TOMADO DE: http://www.mensa.es/juegosmensa/e061065.html

TRIGONOMETRÍA TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS

TOMADO DE: http://math.kendallhunt.com/documents/dg3/condensedlessonplansspanish/dg_clps_12.pdf

Con ecuaciones o con tus propias estrategias

1.- Juliana recorre a velocidad constante una distancia de 300 km invirtiendo un determinado tiempo. Si la velocidad se incrementara en 25 km por hora, el tiempo requerido sería 2 horas menor que el anterior. ¿Cuál es el tiempo que invirtió Juliana?

SOLUCIÓN


La velocidad desarrollada por Juliana puede escribirse , si llamamos t al tiempo que empleó.
Ahora bien, si el tiempo empleado fuese 2 horas menos, es decir    t-2 , la nueva velocidad podría escribirse  .
Pero esta es 25 km/h mayor a la de Juliana, de modo que podemos poner
Velocidad de Juliana = Nueva velocidad – 25 km/h, o sea
Sigue que
y
Multiplicando    300(t-2)=(350-25t)t
De donde      300t-600=350t-25t²
Y         25t²-50t-600=0
Dividiendo por 25 queda t²-2t-24=0
Con la resolvente, se obtiene , de donde t₁=6 y t₂=-4 .

Dado que un tiempo negativo no puede ser solución de nuestro problema, respondemos que
Rpta. Juliana empleó 6 horas en su recorrido.




2.- Este problema, de origen árabe, data del siglo XI. A ambas orillas de un río crecen dos palmeras, una frente a la otra. Sus alturas son de 20 y 30 pies, y la distancia entre sus troncos (que suponemos verticales) es de 50 pies. En la copa de cada palmera hay un pájaro. Ambos descubren simultáneamente un pez en la superficie del río justo entre las palmeras. Los pájaros se lanzan a la vez y volando directamente hacia el pez, lo alcanzan al mismo tiempo. Si los pájaros vuelan a la misma velocidad ¿A qué distancia de la palmera más alta apareció el pez?

SOLUCIÓN


Hagamos un esquema que nos ayude:
Hemos designado con X lo que debemos calcular. A y B son las posiciones de los pájaros y P la del desdichado pez… cado .
Dado que los triángulos de la figura son rectángulos, podemos utilizar el Teorema de Pitágoras para escribir    AP²=30²+x²    y   BP²=20²+(50-x)² .
Pero sabemos que ambos pájaros alcanzan simultáneamente al pez, volando a igual velocidad, de donde podemos decir que AP=BP. Esto supone que   AP²=BP²  
y entonces resulta          30²+x²=20²+(50-x)²
Desarrollando el cuadrado y sumando    900+x²=400+2500-100x+x²
sigue que    100x=2000  
y entonces   x=20 .

Rpta. El pez apareció a 20 pies de la palmera más alta.

3.- La suma de tres números es 176. El primero es la cuarta parte del tercero y este supera al  segundo en 40 unidades. ¿Cuáles son esos números?

SOLUCIÓN


Si denominamos a, b y c a los números buscados podemos escribir


Despejando en la (3) queda     b=c-40
Reemplazando en la (1) 
resolviendo    
de donde       c=96.
Resulta que    b=56   y   a=24.

Rpta. Los números son 24, 56 y 96.

4.- Jorge reparte 35 revistas entre sus amigos, dándole a cada uno tantas revistas como amigos son, más 

dos revistas. ¿Cuántos amigos tiene Jorge?

SOLUCIÓN

Si simbolizamos con x a la cantidad de amigos de Jorge, la cantidad de revistas que reparte a cada uno es x+2. Como el total de revistas es 35, podemos poner

x(x+2)=35

que equivale a

x²+2x-35=0

Sigue que         

                          

de donde        

  x=5   o   x=-7

La solución negativa carece de sentido así que 

Rpta. Los amigos de Jorge son 5.

5.- En un campeonato internacional de ajedrez, cada maestro debió jugar exactamente una vez con cada uno de sus adversarios. Si en total se jugaron 45 partidas y la cantidad de maestros es un número par, ¿Cuál fue el número de maestros que participó del campeonato?"

SOLUCIÓN

El modelado de este problema no es fácil. Sólo aparece un dato numérico explicitado y no resultan obvias las vinculaciones entre el mismo, los demás datos y la pregunta.

Pero observaremos cómo todo esto se vuelve más claro en cuanto alguno de los alumnos (o bien el docente) plantea el isomorfismo entre esta situación problemática y el campeonato de Primera División "A" que organiza semestralmente la Asociación del Fútbol Argentino. La mayoría de los alumnos conoce que en este campeonato intervienen 20 equipos y que se juegan 19 fechas.

Los pares isomorfos, llamando x a la cantidad de maestros, serán:

1. (CANTIDAD DE EQUIPOS DE PRIMERA A, CANTIDAD DE MAESTROS) = (20, X)

2) (CANTIDAD DE PARTIDOS QUE SE JUEGAN EN UNA FECHA,

CANTIDAD MÁXIMA DE PARTIDAS QUE PUEDEN JUGARSE SIMULTÁNEAMENTE)

Pero el par anterior también puede pensarse2’) (MITAD DE LOS EQUIPOS, MITAD DE LOS MAESTROS) = (10, X/2)
Otro de los pares isoformos es:

3) (CANTIDAD DE FECHAS DE UNO DE ESTOS CAMPEONATOS DE A.F.A.,

CANTIDAD DE VECES EN QUE SE REÚNEN TODOS LOS MAESTROS A JUGAR)

Que también puede pensarse:

(CANTIDAD DE EQUIPOS MENOS UNO, CANTIDAD DE MAESTROS MENOS UNO) = (20 – 1, x – 1)

Por último puede colocarse el dato numérico del problema:

1. (CANTIDAD TOTAL DE PARTIDOS, CANTIDAD TOTAL DE PARTIDAS) = (190, 45)

Pero si ahora nos preguntamos ¿Cómo se obtuvo el número 190?, la respuesta será: multiplicando el número de fechas por la cantidad de partidos por fecha, o sea 19 por 10.

Dicho de otro modo: multiplicado la cantidad de equipos menos uno por la mitad de los equipos participantes.

Si recordamos que x es el número de maestros (incógnita del problema)el producto
isomorfo con 19 . 10 = 190 será:

que es una ecuación de segundo grado cuya única solución positiva es x = 10. Que será la respuesta al problema.

Nota: el dato que aparece en el problema, aclarando que el número de maestros es par, fue necesario por el modo de razonamiento elegido, de lo contrario no resulta relevante, como se verá en el próximo modo de resolución.

No descartamos la posibilidad de que el alumno resuelva tanteando, por ejemplo mediante un diagrama de árbol, la cantidad finita de posibilidades, que aquí es poca, en cuyo caso el docente, de ningún modo debe rechazar esta forma de trabajo.

Si se desea que el alumno tenga la necesidad del planteo de la ecuación simplemente se deberá buscar un número bastante mayor, por ejemplo 5.356 en lugar de 45 para el cual, el tanteo resultará bastante engorroso.

Acerca de este mismo problema podemos pensar una modelización bien diferente que nos resulta interesante, justamente por lo distinta de la anterior:

Se necesitan dos maestros (representados por los puntos A y B) para jugar una partida. Gráficamente podemos visualizarlo mediante un segmento:

Dos maestros juegan una partida, representada gráficamente por el segmento de extremos A y B. Si los maestros fuesen tres, el número de partidas está dado por la cantidad de segmentos que se pueden formar con tres puntos no alineados:

Si los maestros fueran cuatro:

Observemos que el número de partidas está dado por el número de lados más el número de diagonales del cuadrilátero.

Con cinco maestros:

Si ahora llamamos:

x: al número de lados, lo que además equivale al número de vértices (x>2).

d: al número de diagonales desde un vértice.

n: al número total de diagonales podemos "armar" el siguiente cuadro:

x	d	n	x + n
3	0	0	3
4	1	2	6
5	2	5	10
6	3	9	15
.	.	.	.
.	.	.	.
.	.	.	.
x	x – 3

luego debe ser:

= 45.

Claro está, es ésta una ecuación de segundo grado cuya única solución positiva es x = 10.

En este caso estamos en presencia de un caso especial del problema de calcular el número n de diagonales de un polígono de x lados

En caso de conocerse el tema: "Combinatoria", sólo a un nivel elemental, este problema podría resolverse con el planteo de la ecuación: C_{(x, 2)} = 45 lo que equivale a decir  que es la misma que quedó planteada.

Nuestra intención fue, mediante este ejemplo, mostrar cómo un problema que aparece en muchos libros de gran difusión, puede aprovecharse de distintos modos, según la temática en que se quiera insistir, o bien según la formación de nuestros alumnos.

6.- Se tiene un caño de forma cilíndrica de 12 m de largo, su sección es una circunferencia de 4 m de longitud. Una soga rodea al cilindro dando 4 vueltas exactas al mismo. Calcular el largo de la soga.

SOLUCIÓN

Si pensamos que se hace un corte longitudinal sobre el segmento que determinan los extremos de la soga en la superficie cilíndrica y luego se aplana se tiene un rectángulo:

Considerando cuatro rectángulos de 3m por 4 m, y calculando la longitud de la diagonal

Luego la longitud de la soga será de 20 m.

Muy frecuentemente nos encontramos con problemas que son casos particulares de otros o bien de propiedades conocidas, cuestión que tanto el docente como el alumno utilizan muy seguido.

TOMADO DE: http://www.unlu.edu.ar/~dcb/matemat/ecuaca3.htm

PLANO CARTESIANO

PROBLEMA DE LÓGICA

Elías miente los miércoles, jueves y viernes y dice la verdad el resto de los días de la semana mientras que Andrea miente los domingos, lunes y martes pero dice la verdad el resto de la semana. Si ambos exclaman “mañana es un día en el que yo miento” ¿Qué día de la semana será mañana?
SOLUCIÓN:

·              ELÍAS: Miente miércoles, jueves y viernes

·         ANDREA: miente los domingos, lunes y martes

No hay día que puedan mentir o decir la verdad juntos, por lo tanto debe ser un día en el que uno mienta y el otro diga la verdad, descartemos:

Si dicen: “mañana es un día en el que yo miento”

EL LUNES: Elías mentiría y no puede hacerlo, Andrea diría la verdad pero ese día no puede hacerlo.

EL MARTES: Elías diría la verdad y según la condición del problema puede hacerlo, Andrea mentiría y según la condición del problema, puede hacerlo.

EL MIÉRCOLES: Elías diría la verdad y según la condición del problema no puede hacerlo, Andrea mentiría y según la condición del problema, no puede hacerlo

EL JUEVES: Elías diría la verdad y según la condición del problema no puede hacerlo, Andrea mentiría y según la condición del problema, no puede hacerlo

EL VIERNES: Elías mentiría y no puede hacerlo, Andrea mentiría y según la condición del problema, no puede hacerlo

EL SÁBADO: Elías mentiría y no puede hacerlo, Andrea diría la verdad ese día y según la condición del problema  puede hacerlo.

EL DOMINGO: Elías mentiría y no puede hacerlo, Andrea mentiría y según la condición del problema, no puede hacerlo

 POR LO TANTO: EL DÍA ES MARTES.

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