MATEMÁTICA PARA TODOS
miércoles, 2 de julio de 2014
Conceptos de poliominós
El interés de los polióminos radica en que su aparente simplicidad no tiene nada que ver con la potencial fuente de problemas de inteligencia que estos suponen, algunos de los cuales aún sin solución.
Aunque hay distintos tipos de juegos con polióminos (y en especial con pentóminos) la parte principal de este trabajo serán los problemas de recubrimiento de tableros con pentóminos.
No obstante el applet desarrollado comprende tres tipos de problemas: recubrimiento de tableros, rectificado de poliominós y recubrimientos de pentominós a escala, si bien estos últimos se pueden considerar un subtipo de los problemas de recubrimiento.
Introducción
El nombre de poliominós se debe al matemático norteamericano Salomon W. Golomb de quién partió la idea hacia 1954.
Lo que hace radicalmente diferente a este tipo de rompecabezas de otro tipo como los puzzles es que si bien hay puzzles complicadísimos de, pongamos 1.000 piezas, una vez resueltos no hay más que hacer y acaba la diversión.
Este no es el caso de los juegos con poliominós que entrarían en este sentido en la misma familia de juegos que el cubo de Rubik, aunque como se verá más adelante con muchos puntos de contacto con los puzzles.
Otros puntos que distinguen a este tipo de juegos son la carga matemática que contienen y la variedad de problemas que con ellos se pueden plantear.
¿Qué es un poliomonó? Conceptos básicos
Los poliominós son polígonos construidos a base de adosar cuadrados unitarios a lo largo de sus lados.
Puesto que una pieza de dominó se compone, desde el punto de vista geométrico, de la unión de dos cuadros, podemos llamar triminós a la unión de tres cuadrados, tetróminos a la de cuatro y así sucesivamente
Pero de un modo formal se pueden definir como un conjunto de cuadrados conectados entre sí por uno de sus lados de tal modo que no queden huecos en el interior de la estructura resultante.
Así las siguientes piezas (unos posibles heptómino y pentómino) no serían consideradas como tales.
Además sólo se considerarán poliominós distintos a aquellos que no se pueden obtener a partir de otro dado con una simple función de rotación o deinversión/reflexión. Estas funciones se contemplan a continuación. En ambos casos el poliominó obtenido no se considerará distinto del que teníamos, sino una variación del original:
La figura anterior representa un N-poliominó tras aplicarle la función de rotación o inversión que transforma el poliominó dado (parte izquierda del diagrama) en su imagen especular (parte derecha), basándose en el eje dibujado.
La rotación de una pieza es de 90º y el poliominó resultado son la misma pieza.
Es fácil imaginar que el número de piezas irá creciendo exponencialmente pero un tema curioso y a simple vista factible es el de ver cuantos polióminos diferentes existen de orden n.
Con 2 cuadros tenemos un sólo dominó, es lógico y con 3 cuadros tenemos dos posibles triminós, pero generalizando:
¿Cuantos posibles polióminos de n cuadros existen?
Consideremos ahora las siguientes funciones dependientes del orden del poliominó tratado:
G(n).- Número de poliominós de orden n, sin contar rotaciones ni reflexiones/inversiones (2 dominós, 5 tetrominós, ...).
H(n).- Número de poliominós de orden n sin contar los poliominós resultado de rotaciones, pero contando como distintos los poliominós resultados de invertir otros poliominós.
T(n).- Número total de poliominós de orden n, contando como distintos tanto las rotaciones como las reflexiones de otros poliominós.
S(n).- Número de poliominós de orden n que son invariables frente a la función de reflexión (pudiendo aplicar la rotación).
La siguiente tabla muestra los valores de estas funciones para un valor de n entre 1 y 12:
Existen algunas relaciones entre estas funciones. Por ejemplo es fácil ver que S(n) = 2*G(n) – H(n)
Se pueden contemplar más funciones y relaciones entre ellas de las aquí expuestas. En la bibliografía citada se encuentran algunos estudios más profundos sobre este tema, pero como aproximación da una idea de la complejidad del problema.
Si contemplamos la función T(n), nos da una idea del número de combinaciones del que dispondríamos para, en el caso de problemas de recubrimientos, recubrir un tablero de heptominós.
Problemas de recubrimiento
Un tipo de problemas muy interesantes son los problemas de recubrimiento de tableros con poliominós: Dado un tablero similar al de ajedrez (resultado de poner o quitar en él más cuadros) que alterna cuadros blancos y negros se debe recubrir con piezas de orden n.
TOMADO DE: http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/matrecreativa/juegos/poliominos/inicio.html
Aunque hay distintos tipos de juegos con polióminos (y en especial con pentóminos) la parte principal de este trabajo serán los problemas de recubrimiento de tableros con pentóminos.
No obstante el applet desarrollado comprende tres tipos de problemas: recubrimiento de tableros, rectificado de poliominós y recubrimientos de pentominós a escala, si bien estos últimos se pueden considerar un subtipo de los problemas de recubrimiento.
Introducción
El nombre de poliominós se debe al matemático norteamericano Salomon W. Golomb de quién partió la idea hacia 1954.
Lo que hace radicalmente diferente a este tipo de rompecabezas de otro tipo como los puzzles es que si bien hay puzzles complicadísimos de, pongamos 1.000 piezas, una vez resueltos no hay más que hacer y acaba la diversión.
Este no es el caso de los juegos con poliominós que entrarían en este sentido en la misma familia de juegos que el cubo de Rubik, aunque como se verá más adelante con muchos puntos de contacto con los puzzles.
Otros puntos que distinguen a este tipo de juegos son la carga matemática que contienen y la variedad de problemas que con ellos se pueden plantear.
¿Qué es un poliomonó? Conceptos básicos
Los poliominós son polígonos construidos a base de adosar cuadrados unitarios a lo largo de sus lados.
Puesto que una pieza de dominó se compone, desde el punto de vista geométrico, de la unión de dos cuadros, podemos llamar triminós a la unión de tres cuadrados, tetróminos a la de cuatro y así sucesivamente
Pero de un modo formal se pueden definir como un conjunto de cuadrados conectados entre sí por uno de sus lados de tal modo que no queden huecos en el interior de la estructura resultante.
Así las siguientes piezas (unos posibles heptómino y pentómino) no serían consideradas como tales.
La rotación de una pieza es de 90º y el poliominó resultado son la misma pieza.
Es fácil imaginar que el número de piezas irá creciendo exponencialmente pero un tema curioso y a simple vista factible es el de ver cuantos polióminos diferentes existen de orden n.
Con 2 cuadros tenemos un sólo dominó, es lógico y con 3 cuadros tenemos dos posibles triminós, pero generalizando:
¿Cuantos posibles polióminos de n cuadros existen?
Consideremos ahora las siguientes funciones dependientes del orden del poliominó tratado:
G(n).- Número de poliominós de orden n, sin contar rotaciones ni reflexiones/inversiones (2 dominós, 5 tetrominós, ...).
H(n).- Número de poliominós de orden n sin contar los poliominós resultado de rotaciones, pero contando como distintos los poliominós resultados de invertir otros poliominós.
T(n).- Número total de poliominós de orden n, contando como distintos tanto las rotaciones como las reflexiones de otros poliominós.
S(n).- Número de poliominós de orden n que son invariables frente a la función de reflexión (pudiendo aplicar la rotación).
La siguiente tabla muestra los valores de estas funciones para un valor de n entre 1 y 12:
n
|
G(n)
|
H(n)
|
T(n)
|
S(n)
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
2
|
1
|
1
|
2
|
1
|
3
|
2
|
2
|
6
|
3
|
4
|
5
|
7
|
19
|
4
|
5
|
12
|
18
|
63
|
6
|
6
|
35
|
60
|
216
|
10
|
7
|
108
|
196
|
760
|
20
|
8
|
369
|
704
|
2.725
|
34
|
9
|
1.285
|
2.500
|
9.910
|
70
|
10
|
4.655
|
9.189
|
16.446
|
121
|
11
|
17.073
|
33.896
|
135.268
|
250
|
12
|
63.600
|
126.759
|
505.861
|
441
|
Existen algunas relaciones entre estas funciones. Por ejemplo es fácil ver que S(n) = 2*G(n) – H(n)
Se pueden contemplar más funciones y relaciones entre ellas de las aquí expuestas. En la bibliografía citada se encuentran algunos estudios más profundos sobre este tema, pero como aproximación da una idea de la complejidad del problema.
Si contemplamos la función T(n), nos da una idea del número de combinaciones del que dispondríamos para, en el caso de problemas de recubrimientos, recubrir un tablero de heptominós.
En la figura siguiente se muestra una tabla con las diferentes piezas válidas que existen de orden n (hasta cinco, pentominós). Se corresponde con la funciónG(n) estudiada en el punto anterior, poliominós distintos sin aplicar funciones de rotación o inversión sobre otros poliominós.
Un tipo de problemas muy interesantes son los problemas de recubrimiento de tableros con poliominós: Dado un tablero similar al de ajedrez (resultado de poner o quitar en él más cuadros) que alterna cuadros blancos y negros se debe recubrir con piezas de orden n.
TOMADO DE: http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/matrecreativa/juegos/poliominos/inicio.html
lunes, 30 de junio de 2014
domingo, 29 de junio de 2014
jueves, 26 de junio de 2014
Las noventa manzanas
Un campesino tenía tres hijas y como quisiese, cierta vez, hacer una prueba de inteligencia a las jóvenes, las llamó y les dijo:
- Aquí hay 90 manzanas que ustedes deberán vender en el mercado. María, que es la mayor, llevará 50; Clara recibirá 30 y Lucía se quedará con las 10 restantes. María deberá vender siete manzanas por un tostão[8], las otras deberán vender también por el mismo precio, es decir siete manzanas por un tostão; si María resuelve vender a 300 reales cada una, ese será el precio al que Clara y Lucía deberán vender las manzanas que poseyeren. El negocio debe ser hecho de modo que todas lleguen de retorno a casa con la misma cantidad de dinero.
-¿Y yo puedo dar de regalo alguna las manzanas que llevo?- preguntó María.
- De modo alguno, replicó el viejo campesino. La condición por mi impuesta es esa: María de vender 50, Clara debe vender 30, y Lucía sólo podrá vender 10. Las otras deben imitar el precio que venda María. Hagan la venta de modo que al final tengan todas iguales cuentas.
Y como las jóvenes se sintieron atrapadas, resolvieron consultar el complicado problema, con el profesor de la escuela que vivía en la vecindad.
El maestro de escuela de puede meditar algunos minutos dijo:
- Ese problema es muy sencillo. Vender las manzanas conforme a lo que el viejo determinó y llegarán al resultado que él les pidió.
La jóvenes fueron al mercado y vendieron las manzanas; María vendió 50; Clara vendió 30 y Lucía, 10. El precio fue el mismo para todas y cada una reunió la misma cantidad de dinero.
Díganos ahora el lector como las jóvenes resolvieron la cuestión.
- Aquí hay 90 manzanas que ustedes deberán vender en el mercado. María, que es la mayor, llevará 50; Clara recibirá 30 y Lucía se quedará con las 10 restantes. María deberá vender siete manzanas por un tostão[8], las otras deberán vender también por el mismo precio, es decir siete manzanas por un tostão; si María resuelve vender a 300 reales cada una, ese será el precio al que Clara y Lucía deberán vender las manzanas que poseyeren. El negocio debe ser hecho de modo que todas lleguen de retorno a casa con la misma cantidad de dinero.
-¿Y yo puedo dar de regalo alguna las manzanas que llevo?- preguntó María.
- De modo alguno, replicó el viejo campesino. La condición por mi impuesta es esa: María de vender 50, Clara debe vender 30, y Lucía sólo podrá vender 10. Las otras deben imitar el precio que venda María. Hagan la venta de modo que al final tengan todas iguales cuentas.
Y como las jóvenes se sintieron atrapadas, resolvieron consultar el complicado problema, con el profesor de la escuela que vivía en la vecindad.
El maestro de escuela de puede meditar algunos minutos dijo:
- Ese problema es muy sencillo. Vender las manzanas conforme a lo que el viejo determinó y llegarán al resultado que él les pidió.
La jóvenes fueron al mercado y vendieron las manzanas; María vendió 50; Clara vendió 30 y Lucía, 10. El precio fue el mismo para todas y cada una reunió la misma cantidad de dinero.
Díganos ahora el lector como las jóvenes resolvieron la cuestión.
Solución
María inició la venta fijando el precio de cierre manzana por un tostão. Vendió ese modo 49 manzanas, quedando con una restante y obtuvo de esta primera venta 700 reales. Clara, obligada vender por el mismo precio, vendió 28 por 400 reales quedándose con un resto de dos manzanas. Lucía que disponía 10 manzanas, vendió 7 por un tostado quedando con tres restantes.
A continuación, María vendió una manzana por un precio de 300 reales. Clara según la condición impuesta por su padre, vendió las dos manzanas que todavía tenía por el nuevo precio, es decir 300 reales cada una, obteniendo 600 reales, y Lucía vendió sus tres manzanas restantes por 900 reales, es decir, a 300 reales cada una.
Terminó el negocio es fácil verificar que cada una la jóvenes obtuvo 1000 tostãos
María inició la venta fijando el precio de cierre manzana por un tostão. Vendió ese modo 49 manzanas, quedando con una restante y obtuvo de esta primera venta 700 reales. Clara, obligada vender por el mismo precio, vendió 28 por 400 reales quedándose con un resto de dos manzanas. Lucía que disponía 10 manzanas, vendió 7 por un tostado quedando con tres restantes.
A continuación, María vendió una manzana por un precio de 300 reales. Clara según la condición impuesta por su padre, vendió las dos manzanas que todavía tenía por el nuevo precio, es decir 300 reales cada una, obteniendo 600 reales, y Lucía vendió sus tres manzanas restantes por 900 reales, es decir, a 300 reales cada una.
Terminó el negocio es fácil verificar que cada una la jóvenes obtuvo 1000 tostãos
[8] Tostão" era una moneda no oficial de Brasil, que equivalía a 100 reales
TOMADO DE: http://www.librosmaravillosos.com/matematicadivertidaycuriosa/seccion02.html#_1._Una_resta
El problema de las piñas
Dos campesinos, A y B, encargaron a un feriante vender dos partidas de piñas.
El campesino A entregó 30 piñas que debían ser vendidas a razón de tres por $ 1000; B entregó, también 30 piñas para las cuales estipuló un precio un poco más caro, esto es a razón de 2 por $1000.
Está claro que, efectuada la venta, el campesino A debía recibir $ 10.000 y el campesino B, $15.000. El total de la venta sería, por tanto, de $ 25.000.
Al llegar, sin embargo, a la feria, el feriante se sintió dudoso.
- Si yo comenzara la venta por las piñas más caras, pensó, pierdo la clientela; si inicio el negocio por las más baratas, encontraré después, dificultades para vender las otras. Lo mejor que tengo que hacer es vender las dos partidas al mismo tiempo.
Llegando esa conclusión, el aproblemado feriante reunió las 60 piñas y comenzó a venderlas en grupos de a cinco por $ 2000. El negocio era justificado por un raciocinio muy simple: si yo debía vender a 3 por $1000, y después a 2 por $ 1000, esto es a razón de 400 reales cada una.
Vendidas las 60 piñas el feriante obtuvo $24.000.
¿Cómo pagarles a los dos campesinos si el primero debe recibir $10.000 y el segundo $15.000?
Había una diferencia de $ 1000 que el pobre hombre no sabía cómo explicar, pues había hecho el negocio con el máximo de cuidado.
Intrigadísimo repetía decenas de veces el raciocinio hecho, sin descubrir la razón de la diferencia:
-¡Vender 3 por $ 1000 y después vender 2 por $ 1000 es la misma cosa que vender cinco por $ 2000!
Hay una diferencia de 10 centavos en el valor de cada piña para cumplir correctamente con el total. El feriante amenazaba a la matemática con plagas terribles.
SOLUCIÓN:
La solución del caso es simple y aparece perfectamente indicada en la figura de abajo. En el rectángulo superior están indicadas las piñas del campesino A, y en el rectángulo inferior, las del campesino B.
El feriante sólo disponía, como muestra la figura, que podían ser vendidos, sin perjuicio, 10 grupos a razón de 5 por $2000. Vendidos esos 10 grupos restaban 10 piñas que pertenecían exclusivamente al campesino B y que por tanto no podían ser vendidas sino que a 500 reales cada una.
El campesino A entregó 30 piñas que debían ser vendidas a razón de tres por $ 1000; B entregó, también 30 piñas para las cuales estipuló un precio un poco más caro, esto es a razón de 2 por $1000.
Está claro que, efectuada la venta, el campesino A debía recibir $ 10.000 y el campesino B, $15.000. El total de la venta sería, por tanto, de $ 25.000.
Al llegar, sin embargo, a la feria, el feriante se sintió dudoso.
- Si yo comenzara la venta por las piñas más caras, pensó, pierdo la clientela; si inicio el negocio por las más baratas, encontraré después, dificultades para vender las otras. Lo mejor que tengo que hacer es vender las dos partidas al mismo tiempo.
Llegando esa conclusión, el aproblemado feriante reunió las 60 piñas y comenzó a venderlas en grupos de a cinco por $ 2000. El negocio era justificado por un raciocinio muy simple: si yo debía vender a 3 por $1000, y después a 2 por $ 1000, esto es a razón de 400 reales cada una.
Vendidas las 60 piñas el feriante obtuvo $24.000.
¿Cómo pagarles a los dos campesinos si el primero debe recibir $10.000 y el segundo $15.000?
Había una diferencia de $ 1000 que el pobre hombre no sabía cómo explicar, pues había hecho el negocio con el máximo de cuidado.
Intrigadísimo repetía decenas de veces el raciocinio hecho, sin descubrir la razón de la diferencia:
-¡Vender 3 por $ 1000 y después vender 2 por $ 1000 es la misma cosa que vender cinco por $ 2000!
Hay una diferencia de 10 centavos en el valor de cada piña para cumplir correctamente con el total. El feriante amenazaba a la matemática con plagas terribles.
SOLUCIÓN:
La solución del caso es simple y aparece perfectamente indicada en la figura de abajo. En el rectángulo superior están indicadas las piñas del campesino A, y en el rectángulo inferior, las del campesino B.
El feriante sólo disponía, como muestra la figura, que podían ser vendidos, sin perjuicio, 10 grupos a razón de 5 por $2000. Vendidos esos 10 grupos restaban 10 piñas que pertenecían exclusivamente al campesino B y que por tanto no podían ser vendidas sino que a 500 reales cada una.
De ahí resultó la diferencia que el campesino verificó al terminar el negocio y que nunca pudo explicar.
TOMADO DE: http://www.librosmaravillosos.com/matematicadivertidaycuriosa/seccion01.html#_4._El_problema
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