La disputa entre Newton y Leibniz por la creación del cálculo I PARTE

En la historia de las matemáticas y las ciencias, pocos conflictos han alcanzado la notoriedad de la disputa entre Newton y Leibniz sobre la invención del cálculo infinitesimal. La cuestión principal del conflicto era cuál de los dos, Sir Isaac Newton o Gottfried Wilhelm Leibniz, merecía el crédito por la invención del cálculo diferencial e integral. Una cronología cuidadosamente reconstruida revela que Newton formuló los fundamentos de su cálculo en 1666, años antes de que Leibniz hubiera alcanzado el conocimiento matemático necesario para desarrollar su propio punto de vista sobre el cálculo.

Probablemente, lo que establece este caso particular, aparte de la importancia de los hombres involucrados, era la importancia de la obra que estaba en juego, el tiempo a través del cual la disputa se extendió, y la pura intensidad de la controversia. Aunque esta se originó por la cuestión de la prioridad sobre la invención del cálculo, el asunto se agravó por el hecho de que no coincidieron en el tema de la filosofía natural del mundo. Newton y su teoría de la gravitación era visto como un retroceso a los tiempos de ocultismo por Leibniz y muchos otros filósofos mecánicos de esa época. Esta mezcla de temas filosóficos empeoró la naturaleza de la controversia. Una de las razones por las cuales el conflicto asumió proporciones tan importantes y por qué Newton y Leibniz estaban ansiosos de ser considerados los inventores del cálculo era debido a la actitud hacia el plagio que reinaba en el siglo 17. En el siglo 17, la correspondencia e incluso la revelación en presencia de testigos fiables de manuscritos privados o instrumentos tenían un peso considerable, el trabajo no tenía por qué haber sido publicado.

Como la mayoría de los descubrimientos, el cálculo fue la culminación de siglos de trabajos. Matemáticos de todo el mundo contribuyeron a su desarrollo, sin embargo para la mayoría los dos descubridores reconocidos del cálculo fueron Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. El crédito se presta actualmente a estos dos hombres. Los historiadores de las matemáticas han concluido que el trabajo de Newton fue anterior al de Leibniz, pero que este último obtuvo sus resultados de una manera independiente a Newton. Se sabe, sin embargo, que ambos tuvieron la influencia de Barrow, quien se considera el matemático que había llegado más lejos en la comprensión de que la derivada y la integral tenían una naturaleza inversa, aunque con una óptica esencialmente geométrica.

 Isaac Newton

Isaac Newton nació en Woolsthorpe, cerca de Grantham en Lincolnshire,Inglaterra. Aunque por el calendario en uso en la fecha de su nacimiento él nació el día de Navidad de 1642, la fecha del 4 de Enero de 1643 es la que corresponde al 'corregido' calendario gregoriano que la pone en la línea de nuestro actual calendario. (El calendario gregoriano no fue adoptado en Inglaterra hasta 1752). Isaac Newton venía de una familia de granjeros pero nunca conoció a su padre, también llamado Isaac Newton, que murió en octubre de 1642, tres meses antes de que naciese su hijo. La madre de Isaac, Hannah Ayscough se volvió a casar con Barnabas Smith, el ministro de la iglesia de North Witham, un pueblo cercano, cuando Isaac tenía dos años de edad. El joven niño fue entonces dejado al cuidado de su abuela Margery Ayscough en Woolsthorpe.

A la muerte de su padrastro en 1653, Newton vivía en una amplia familia compuesta de su madre, su abuela, un medio hermano, y dos medio hermanas.

Un tío, William Ayscough, decidió que Isaac debería prepararse para ingresar en la universidad, a Isaac se le permitió regresar a la Escuela Libre de Gramática en Grantham en 1660 para completar su educación escolar. Newton ingresó en el viejo College de su tío, el Trinity College de Cambridge, el 5 de Junio de 1661.

Newton nunca asistió regularmente a sus clases, ya que su principal interés era la biblioteca. Se graduó en el Trinity College con una formación principalmente autodidacta, leyendo algunos de los libros más importantes de matemática y filosofía natural de la época.

Newton estudió la filosofía de Descartes, Gassendi, Hobbes, y en particular a Boyle. La mecánica de la astronomía copernicana de Galileo le atrajo y también estudió la Optica de Kepler. Registró sus pensamientos en un libro que tituló Quaestiones Quaedam Philosophicae (Cuestiones Filosóficas Ciertas). Es una relación fascinante de cómo las ideas de Newton se estaban ya formando alrededor de 1664.

Volvió entonces a releer el Clavis Mathemática de Oughtred y la Geometría de Descartes, de Frans van Schooten. La nueva geometría algebraica y analítica de Viète también. Otra obra importante de matemáticas que estudió en esta época fue la Opera mathematica de Viète, editadas por Van Schooten y, en 1664, la Aritmética de John Wallis, que le serviría como introducción a sus investigaciones sobre las series infinitas, el teorema del binomio y ciertas cuadraturas.

Sería fácil pensar que el talento de Newton comenzó a emerger a la llegada de Barrow a la cátedra Lucasiana de Cambridge en 1663 cuando se convirtió en un alumno del Trinity College. Ciertamente la fecha encaja con el inicio los estudios matemáticos profundos de Newton. Sin embargo, parecería que la fecha de 1663 es sólo una coincidencia y que no fue hasta algunos años después cuando Barrow reconoció al genio matemático entre sus alumnos.

A pesar de algunas pruebas de que su progreso no había sido particularmente bueno, Newton fue elegido becario el 28 de abril de 1665. Parecería que su genio científico todavía no había emergido, pero lo hizo de forma repentina cuando la peste cerró la universidad en el verano de 1665 y tuvo que regresar a Lincolnshire. Allí, en un periodo de menos de dos años, mientras Newton tenía todavía menos de 25 años, comenzó revolucionarios avances en matemáticas, óptica, física, y astronomía.

Mientras Newton permaneció en casa, sentó las bases para el cálculo diferencial e integral, varios años antes de su descubrimiento independiente por Leibniz. El 'método de flujos' (fluxions), como él lo llamó, estaba basado en su crucial y agudo análisis de que la integración de una función es simplemente el procedimiento inverso a su diferenciación. El De Methodis Serierum et Fluxionum de Newton fue escrito en 1671 pero Newton no consiguió publicarlo y no apareció en imprenta hasta que John Coilson produjo una traducción al inglés en 1736.

Newton regreso a la Universidad de Cambridge cuando reabrió tras la plaga en 1667. En Julio de 1669 Barrow intentó asegurarse de que los logros matemáticos de Newton eran dados a conocer al mundo. Envió el texto de Newton De Analysi a Collins.

Collins mostró a Brouncker, el Presidente de la Royal Society, los resultados de Newton (con el permiso del autor) pero después de esto Newton solicitó que se le devolviera su manuscrito. Collins no pudo dar una crónica detallada pero de Sluze y Gregory[[i]] aprendieron algo de la obra de Newton a través de Collins. Barrow dimitió de la cátedra Lucasiana en 1669, recomendando que Newton (todavía con sólo 27 años) fuera designado en su lugar.

La primera obra de Newton como profesor de la cátedra Lucasiana fue sobre óptica y éste fue el contenido de su primera clase del curso que empezó en 1670. Había alcanzado la conclusión durante los dos años de epidemia de que la luz blanca no es una entidad simple. Cuando pasó un fino haz de luz solar a través de un prisma de cristal, Newton percibió el espectro de colores que se formaba.

 

 Newton por Kneller en 1702.

Arguyó que la luz blanca es en realidad una mezcla de muchos tipos diferentes de rayos que se refractan a ángulos ligeramente diferentes, y que cada tipo diferente de rayo produce un diferente color espectral.

En 1672 Newton fue elegido miembro de la Royal Society tras donar un telescopio reflector. También en 1672 Newton publicó su primer artículo científico sobre la luz y el color en el Philosophical Transactions of the Royal Society. El artículo fue en general bien recibido pero Hooke y Huygens objetaron al intento de Newton de probar, sólo por la experimentación, que la luz se compone del movimiento de pequeñas partículas en lugar de por ondas. Newton temía las críticas y concluyó que la forma más fácil de evitar ser criticado era no publicar nada.

Las relaciones de Newton con Hooke se deterioraron aun más cuando, en 1675, Hooke afirmó que Newton había robado algunos de sus resultados en óptica. Aunque los dos hombres hicieron las paces con un intercambio de cartas corteses, Newton se encerró sobre sí mismo y se alejó de la Royal Society que él asociaba con Hooke como uno de sus líderes. 'Optiks' de Newton apareció en 1704. Trataba de la teoría de la luz y el color.

Otra disputa, esta vez con los Jesuitas Ingleses de Lieja sobre su teoría del color, condujo a un violento intercambio de cartas; después, en 1678, parece haber sufrido una depresión nerviosa. Su madre murió al año siguiente y él se replegó más sobre sí mismo, mezclándose lo menos posible con la gente durante unos cuantos años.

El mayor logro de Newton fue su obra sobre física y mecánica celeste, que culminó en la teoría de la gravitación universal. Alrededor de 1666 Newton tenía versiones tempranas de sus tres leyes de movimiento. Había descubierto también la ley que daba la fuerza centrífuga de un cuerpo que se movía uniformemente en una trayectoria circular.

La nueva idea de Newton de 1666 fue imaginar que la gravedad de la Tierra influenciaba a la Luna, contrarrestando su fuerza centrífuga. A partir de su ley de la fuerza centrífuga y de la tercera ley del movimiento planetario de Kepler, Newton dedujo la ley del cuadrado inverso.

Halley persuadió a Newton a escribir un tratado completo de su nueva física y su aplicación a la astronomía. Sobre un año después (1687) Newton publicó la Philosophiae naturalis principia mathematica o Principia como se le ha conocido siempre.

De entre el trabajo matemático de Newton, profundo y poderoso, se pueden distinguir algunos temas centrales. Estos son los desarrollos en serie de potencias, en especial el desarrollo del binomio, algoritmos para hallar raíces de ecuaciones y de inversión de series, relación inversa entre diferenciación e integración y el concepto de fluentes y fluxiones como variables que cambian en el tiempo. Newton estuvo muy interesado también en óptica, dinámica, alquimia, cronología de la historia y en la interpretación de las sagradas escrituras.

Newton analizó el movimiento de los cuerpos en medios resistentes y no resistentes bajo la acción de fuerzas centrípetas. Los resultados fueron aplicados a los cuerpos en órbita, proyectiles, péndulos, y a la caída libre cerca de la Tierra. Además demostró que los planetas eran atraídos hacia el Sol por una fuerza que varía con el cuadrado inverso de la distancia y generalizó que todos los cuerpos celestes se atraen mutuamente unos a otros.

Una generalización posterior llevó a Newton la ley de la gravitación universal.

“... toda la materia atrae a toda la otra materia con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos.”

Newton explicó un amplio rango de fenómenos previamente inconexos: las órbitas excéntricas de los cometas, las mareas y sus variaciones, la precesión del eje de la Tierra, y la perturbación del movimiento de la Luna por la gravedad del Sol. Este trabajo hizo a Newton un líder internacional en investigación científica. Los científicos continentales no aceptaban la idea de la acción a distancia y continuaban creyendo en la teoría del vórtice de Descartes en la que las fuerzas funcionan a través del contacto. Sin embargo esto no detuvo la admiración universal por la habilidad técnica de Newton.

Tras sufrir una segunda depresión nerviosa en 1693, Newton se retiró de la investigación. Las teorías acerca de su depresión han sido muchas: desde envenenamiento químico como resultado de sus experimentos alquímicos; frustración con sus investigaciones; el fin de una amistad personal con Fatio de Duillier, un matemático suizo residente en Londres hasta problemas resultantes de sus creencias religiosas. El propio Newton culpaba a la falta de sueño pero esto era casi con certeza un síntoma de la enfermedad más que su causa.

Newton decidió abandonar Cambridge para ocupar un puesto de gobierno en Londres convirtiéndose en el Guardián de la Casa Real de la Moneda en 1696 y en Maestre en 1699. Sin embargo, no dimitió de sus puestos en Cambridge hasta 1701.

En 1703 fue elegido presidente de la Royal Society y fue reelegido cada año hasta su muerte. Fue armado caballero en 1705 por la Reina Ana. Sin embargo la última parte de su vida no fue fácil, dominada en muchos aspectos por la controversia con Leibniz, en la que nos centraremos más adelante, sobre quién había inventado el cálculo infinitesimal.

Murió pacíficamente, entre la una y las dos de la mañana, el 31 de marzo de 1727, a los 85 años. Fue enterrado en la Abadía de Westminster.

Leibniz

Cuatro años era menor que Newton, nació en Leipzig el 1 de julio de 1646; vivió 70 años, y murió en Hanover el 14 de noviembre de 1716. Su padre, profesor de filosofía moral en Leipzig, procedía de una buena familia, que había servido al gobierno de Sajonia durante tres generaciones.

La madre de Leibniz fue Catalina Schmunk, hija de un abogado y tercera esposa de Friedrich Leibniz. Sin embargo, Friedrich Leibniz murió cuando Leibniz tenía sólo seis años y tuvo que ser educado por su madre.

A la edad de siete años, Leibniz ingresó en la Escuela Nicolai en Leipzig. Aunque se le enseñó latín en la escuela, Leibniz aprendió latín avanzado y algo de griego a la edad de 12 años por su cuenta. Parece haber estado motivado por el deseo de leer los libros de su padre. Mientras progresaba en la escuela aprendió la lógica aristotélica y la teoría del razonamiento categórico. Mientras seguía con sus clases en la escuela, Leibniz estudió los libros de su padre. Concretamente leyó libros de metafísica y de teología de escritores católicos y protestantes.

En 1661, a la edad de catorce años, Leibniz entró en la Universidad de Leipzig. Estudió Filosofía, que también se enseñaba en la Universidad de Leipzig, así como Matemáticas, que se enseñaba muy por encima. Se licenció en Filosofía y Letras en 1663 con la tesis De Principio Individui (Sobre el Principio del Individuo).

Hacia octubre de 1663 Leibniz se encontraba de vuelta en Leipzig para terminar sus estudios de Doctor en Leyes. Obtuvo el grado de Maestro en Filosofía con una disertación que combinó aspectos de la Filosofía y el Derecho estudiando las relaciones de estas materias con las ideas matemáticas que había aprendido. Unos pocos días después de presentar su disertación, la madre de Leibniz murió.

Después de obtener la Licenciatura en Derecho, Leibniz trabajó en su habilitación en Filosofía. Su obra fue publicada en 1666 como Dissertatio de Arte Combinatoria (Disertación sobre el Arte de la Combinatoria). En su obra, Leibniz llegó a reducir todos los razonamientos y descubrimientos a una combinación de elementos básicos tales como los números, las letras, los sonidos y los colores.

Sirvió como secretario en la Sociedad de Alquimia de Nuremberg por un tiempo y después conoció al barón Johann Christian von Boineburg. Hacia noviembre de 1667 Leibniz estuvo viviendo en Frankfurt, contratado por Boineburg. Durante los años siguientes Leibniz desarrolló varios proyectos científicos, literarios y políticos. También continuó su carrera de Derecho, instalándose en el Tribunal de Mainz antes de 1670. Una de sus tareas allí, tomada por mandato del Elector de Mainz, fue la mejora del Código Civil Romano de Mainz.

Boineburg era católico mientras que Leibniz era luterano, pero uno de las mayores ilusiones de la vida de Leibniz era la reunificación de las iglesias cristianas y con el apoyo de Boineburg, hizo el borrador de un cierto número de monografías de asuntos religiosos, principalmente para encontrar puntos de encuentro entre ambas iglesias.

Para Leibniz, otro de los mayores deseos de su vida era recopilar todo el conocimiento humano. Por supuesto vio su trabajo en el Código Civil Romano como parte de este esquema y, como una parte más de su plan, Leibniz trató de agrupar el trabajo de las sociedades para coordinar la búsqueda. Leibniz empezó por estudiar el movimiento y, aunque tenía en mente el problema de explicar los resultados de Wren y Huygens sobre las colisiones elásticas, empezó con ideas abstractas sobre el movimiento. En 1671 publicó la Hypothesis Physica Nova (Nueva Hipótesis Física). En su trabajo proclamó, al igual que hizo Kepler, que el movimiento depende de la acción de un espíritu. Se comunicó con Oldenburg, el secretario de la Royal Society de Londres, y dedicó algunos de sus trabajos científicos a la Royal Society y a la Academia de Paris.

Leibniz deseó visitar París para obtener más contactos científicos. Había comenzado la construcción de una máquina calculadora. También en París elaboró un plan político para persuadir a los franceses de que atacaran Egipto. En 1762 Leibniz fue a París en apoyo de Boineburg para intentar usar su plan de distraer a Luís XIV de atacar las zonas alemanas.

En París, Leibniz estudió matemáticas y física bajo la tutela de Christian Huygens, hecho que comenzó en otoño de 1762. También en otoño de 1762, el hijo de Boineburg fue enviado a Paris para estudiar bajo la tutela de Leibniz, lo cual le supuso asegurarse el apoyo financiero. El sobrino de Boineburg acompañaba al hijo de este en una misión diplomática para tratar de persuadir a Luís XIV de que celebrara un congreso de paz. Boineburg murió el 15 de diciembre pero Leibniz continuó siendo apoyado por la familia de este.

Gottfried Leibniz (1646-1716) por Christoph Bernhard Francke cerca de 1700.

En enero de 1763 Leibniz y el sobrino de Boineburg fueron a Inglaterra para intentar la misma misión de paz, al haber fallado el intento en Francia. Leibniz visitó la Royal Society e hizo una demostración de su máquina calculadora aún incompleta. También habló con Hooke, Boyle y Pell. Mientras explicaba sus resultados en las series a Pell, éste le dijo que podría encontrarlas en un libro de Mouton. Al día siguiente consultó el libro de Mouton y descubrió que Pell tenía razón. En la reunión de la Royal Society el 15 de febrero, a la cual Leibniz no acudió, Hooke hizo algunos comentarios desfavorables sobre la máquina calculadora de Leibniz. Leibniz volvió a París al escuchar la noticia de que el Elector de Mainz había muerto. Leibniz se dio cuenta de que sus conocimientos en matemáticas eran menores de lo que a él le hubiera gustado que fueran así que redobló sus esfuerzos en la materia.

La Royal Society de Londres admitió a Leibniz el 19 de abril de 1673. También volvió a coincidir con Huygens quien le dio una lista de libros para leer, entre los que se encontraban obras de Pascal, Fabri, Gregory, Saint-Vincent, Descartes y Sluze. Comenzó a estudiar la geometría de los infinitesimales[[ii]] y escribió a Oldenburg en la Royal Society en 1674. Oldenburg respondió que Newton y Gregory habían encontrado métodos generales. Sin embargo Leibniz no estaba en los mejores términos con la Royal Society desde que no mantuvo su promesa de terminar su máquina calculadora. En agosto de 1675 Tschirnhaus llegó a París y nació una gran amistad con Leibniz, que se demostró muy provechosa para ambos dentro de las matemáticas.

Fue durante este período en París que Leibniz desarrolló las bases de su versión del cálculo. En 1673 todavía se esforzaba en desarrollar una buena notación para sus cálculos ya que el primer cálculo diferencial era confuso. El 21 de noviembre de 1675 escribió un manuscrito empleando la notación    f(x) dx por primera vez. En el mismo manuscrito aparece la regla para la derivada del producto. En el otoño de 1676 Leibniz descubrió la famosa fórmula d(x^n ) =nx^(n-1) dx tanto para n entera como para n fraccional.

Leibniz aceptó un puesto del duque de Hanover, Johan Friedrich, de bibliotecario y de Canciller del Tribunal de Hanover. Abandonó París en octubre de 1676 realizando el viaje a Hanover a través de Londres y Holanda.

En Hanover se desarrollo como bibliotecario. Sin embargo emprendió una colección completa de otros proyectos. Por ejemplo uno de esos grandes proyectos empezó en 1678-79, e implicaba el desagüe de las minas de las montañas Harz. Su idea fue emplear energía eólica e hidráulica para accionar las bombas. Diseñó muchos tipos diferentes de molinos de pozos eólicos, bombas, engranajes pero cada uno de estos proyectos terminaba en fracaso. El mismo Leibniz creía que esto se debía a la obstrucción deliberada de los administradores y técnicos, y al temor de los trabajadores de que estas maquinas les costara sus empleos.

Leibniz había alcanzado importantes resultados científicos convirtiéndose en una de las primeras personas que estudiaran geología a través de las observaciones que recopilara para el proyecto Harz. Durante su trabajo fundó la hipótesis de que la Tierra estuvo en sus orígenes fundida.

Otro de los grandes logros de Leibniz en matemáticas fue el desarrollo del sistema binario de aritmética. Perfeccionó su sistema hacia 1679 pero no publicó nada hasta 1701 cuando envió el artículo Essay d'une nouvelle science des nombres (Ensayo sobre una nueva ciencia de los números) a la Academia de París para marcar su elección a la Academia. Otra de las principales obras matemáticas de Leibniz fue su trabajo sobre determinantes que surgió de su desarrollo de métodos para resolver los sistemas de ecuaciones lineales. Aunque no publicó su trabajo en vida, desarrolló muchos acercamientos diferentes al tema intentando muchas notaciones diferentes para averiguar cuál es la más útil. Un artículo inédito con fecha de 22 de enero de 1684 contiene una notación y unos resultados muy satisfactorios.

Otro gran proyecto en el que se embarcó Leibniz, en esta ocasión para el duque Ernst August, fue el escribir la historia de la familia Guelf, de la cual la Casa de Brunswick era parte. Hizo un largo viaje para buscar archivos de material en el que basar su historia.  Aunque Leibniz publicó nueve grandes volúmenes de material de archivo sobre la historia de la familia Guelf, nunca terminaría la obra que le fue encomendada.

En 1684 Leibniz publicó detalles de su cálculo diferencial en Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus en Acta Eruditorum, un diario establecido en Leipzig dos años antes. El artículo contenía la familiar anotación d, las reglas para el cálculo de las derivadas de potencias, productos y cocientes. Sin embargo no contenía demostraciones y Jacobo Bernoulli lo llamó un enigma más que una explicación.

En 1686 Leibniz publicó, en Acta Eruditorum, un artículo en el que trataba el cálculo integral con la primera aparición en imprenta de la notación .

Otra parte importante de la obra matemática emprendida por Leibniz fue su trabajo de dinámica.

Criticó las ideas de Descartes sobre mecánica y examinó lo que eran efectivamente la energía cinética, la energía potencial y el momento. Este trabajo comenzó en 1676 pero volvió a él varias veces, particularmente mientras estaba en Roma en 1689.

Leibniz puso muchas energías en promocionar las sociedades científicas; además  tuvo más de 600 corresponsales, no es exagerado decir que Leibniz mantuvo correspondencia con la mayoría de los eruditos de Europa, muchos de ellos matemáticos. Leibniz además debatió sobre los logaritmos de los números negativos con Johann Bernoulli.

En 1710 Leibniz publicó Théodicée, un trabajo filosófico que intenta enfrentar el problema del mal en un mundo creado por un Dios bueno. Leibniz afirma que el universo tuvo que ser imperfecto, o de otro modo no sería distinto de Dios. En 1714 Leibniz escribió Manadologia, que sintetizaba la filosofía de su primer trabajo, el Théodicée.

Gran parte de la actividad matemática de los últimos años de Leibniz trató sobre la disputa prioritaria de la invención del cálculo diferencial.

Iniciadores en el desarrollo del cálculo

Se atribuye la invención del cálculo a Newton y Leibniz. Sin embargo, ambos hombres deben muchísimo a sus predecesores inmediatos en el desarrollo del mismo.

No entraremos en detalles aquí sobre cómo se fue desarrollando el cálculo sino que mencionaremos algunos de los hitos más importantes.

Ya los griegos se habían preocupado de cómo tratar el infinito. Para los griegos el infinito aparece de dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Ya apareció de algún modo en la inconmensurabilidad de la diagonal de cuadrado; también, claro está, lo tenemos en la famosa paradoja de Zenón sobre Aquiles y la tortuga, por ello no es de extrañar que alguien intentara regularlos.

Zenón de Elea, alrededor de 450 a. C., planteó una serie de problemas que estaban basados en el infinito. Por ejemplo, argumentó que el movimiento es imposible:

Si un cuerpo se mueve de A a B entonces, antes de llegar a B pasa por el punto medio, B1, de AB. Ahora bien, para llegar a B1 debe primero pasar por el punto medio B2 de AB1. Continuando con este argumento se puede ver que A debe moverse a través de un número infinito de distancias y por lo tanto no puede moverse.

Fue Eudoxo, discípulo de Platón y contemporáneo  de Aristóteles quien hizo el primer uso "racional" del infinito en las matemáticas. Eudoxo postuló que «toda magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada». Es el famoso principio de Arquímedes que éste toma prestado a Eudoxo y que sirvió a aquel para superar la primera crisis de las Matemáticas -debida al descubrimiento de los irracionales-.

Sin embargo, Arquímedes, alrededor de 225 a. C. hizo uno de las contribuciones griegas más significativas. Su primer avance importante fue demostrar que el área de un segmento de parábola es 4/3 del área del triángulo con los mismos base y vértice y es igual a 2/3 del área del paralelogramo circunscrito. Arquímedes construyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área A y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas.

A, A + A/₄, A + A/₄ + A/₁₆, A + A/₄ + A/₁₆ + A/₆₄, ...

El área del segmento de la parábola es, por lo tanto:

A(1 + ¹/₄ + ¹/₄² + ¹/₄³ + ...) = (⁴/₃)A.

Este es el primer ejemplo conocido de suma de una serie infinita. Arquímedes usó el método exhaustivo para encontrar la aproximación al área de un círculo. Esto, por supuesto, es un ejemplo temprano de integración que llevó a valores aproximados de π.

Entre otras 'integraciones' de Arquímedes estaban el volumen y la superficie de una esfera, el volumen y área de un cono, el área de una elipse, el volumen de cualquier segmento de un paraboloide de revolución y un segmente de un hiperboloide de revolución.

La genial idea de siracusano fue considerar las áreas como una colección -necesariamente infinita- de segmentos.

Esquema de Arquímedes

No hubo más progresos hasta el siglo XVI cuando la mecánica empezó a llevar a los matemáticos a examinar problemas como el de los centros de gravedad.

Fueron Fermat, Roberval y Cavalieri en hacer las siguientes contribuciones importantes. Este último llegó a su 'método de los indivisibles' por los intentos de integración de Kepler. No fue riguroso en su acercamiento y es difícil ver con claridad cómo se le ocurrió su método. Al parecer Cavalieri pensó en un área como formada por componentes que eran líneas y luego sumó su número infinito de 'indivisibles'. Demostró, usando estos métodos, que la integral de x^n entre 0 y a era a^(n+1)/(n+1) mostrando el resultado para ciertos valores de n e infiriendo el resultado general.

Roberval consideró problemas del mismo tipo pero fue mucho más riguroso que Cavalieri. Roberval se fijó en el área entre una curva y una línea como formada por un número infinito de rectángulos infinitamente delgados.

Fermat también fue más riguroso en su acercamiento pero no dio demostraciones. Fermat investigó máximos y mínimos considerando dónde la tangente a la curva es paralela al eje X. Le escribió a Descartes dando el método esencialmente como se usa hoy, es decir, encontrando los máximos y los mínimos calculando dónde la derivada de la función es 0. De hecho, debido a este trabajo Lagrange afirmó claramente que él consideraba a Fermat como el inventor del cálculo.

Descartes produjo un importante método para determinar normales en La Géometrie en 1637 basado en la doble intersección. De Beaune extendió sus métodos y los aplicó a las tangentes; en este caso la doble intesección se traduce en raíces dobles. Hudde descubrió un método más sencillo, llamado la Regla de Hudde, que básicamente involucra a la derivada. El método de Descartes y la Regla de Hudde tuvieron una influencia importante sobre Newton.

Huygens criticó las pruebas de Cavalieri diciendo que lo que se necesita es una demostración que al menos convenza de que puede construirse una prueba rigurosa. Huygens tuvo gran influencia sobre Leibniz y por lo tanto jugó un papel importante en la producción de un acercamiento más satisfactorio al cálculo.

El siguiente paso importante lo dieron Torricelli y Barrow. El segundo dio un método de tangentes a una curva en el que la tangente está dada como el límite de una cuerda cuando los puntos se acercan uno a otro y que es conocido como el triángulo diferencial de Barrow.

Tanto Torricelli como Barrow estudiaron el problema del movimiento con velocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa nos lleva de la velocidad a la distancia. De aquí empezó a evolucionar naturalmente una concienciación de la inversa de la diferenciación y que Barrow estuviera familiarizado con la idea de que integral y derivada son inversas una de otra. De hecho, aunque Barrow nunca afirmó explícitamente el teorema fundamental del cálculo, estaba trabajando hacia el resultado y Newton continuaría en esta dirección y daría explícitamente el Teorema Fundamental del Cálculo.

Otro de los protagonistas de nuestra historia es, sin duda, Grégoire de Saint-Vicent. Sus principales aportaciones las publicó en su Opus geometricum  de 1647. En ella desarrolla un método de integración geométrico, estudia las series geométricas incluyendo diversas aplicaciones de las mismas discutiendo, como no, la conocida aporía de Zenón sobre Aquiles y la tortuga que además resolvía magistralmente argumentando que Zenón no consideró en la persecución de Aquiles que el tiempo formaba una progresión geométrica de razón 1/2 y por tanto tardaba un tiempo finito en alcanzar a la tortuga. Finalmente, una de sus aportaciones más valiosas consistió en que encontró que el área encerrada bajo una hipérbola se expresaba mediante los logaritmos.

 Triángulo de Barrow

Wallis aritmetizó los indivisibles de Cavalieri asignándoles valores numéricos convirtiendo de esta forma el cálculo de áreas -hasta el momento algo meramente geométrico- en cálculos aritméticos más un primitivo proceso al límite haciendo además un uso descarado del infinito -a él debemos también el símbolo que usamos actualmente, ese 8 acostado-.

El trabajo de Wallis influyó enormemente en Newton quien aseguró que el desarrollo del binomio y otras ideas iniciales sobre el cálculo tuvieron los orígenes en el estudio que realizó del libro de Wallis en su época de estudiante en Cambridge.

Referencia: http://www.mundohistoria.org/blog/articulos_web/la-disputa-entre-newton-leibniz-por-la-invencion-del-calculo

¿Por qué estudiamos la Integral Definida?

Un poco de historia y el nacimiento del Cálculo

Introducción

El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construído, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante prestar atención en el bagaje de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajaron con los métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días.

Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna.

Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de Oresme, Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras. Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe reconocerse que una de las contribuciones previas decisivas fue la Geometría Analítica desarrollada independientemente por Descartes y Fermat.

Sin la contribución de éstos y de muchos otros hombres más, el cálculo de Newton y Leibniz seguramente no existiría. Su construcción fue parte importante de la revolución científica que vivió la Europa del siglo XVII.Los nuevos métodos enfatizaron la experiencia empírica y la descripción matemática de nuestra relación con la realidad. La revolución científica supuso una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V y XV. Esta ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos por las importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el Renacimiento y la Reforma Protestante. El Cálculo Diferencial e Integral están en el corazón del tipo de conocimiento, cultura y de sociedad de la que, esencialmente, somos parte.

El extraordinario avance registrado por la matemática, la física y la técnica durante los siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Cálculo infinitesimal y por eso se puede considerar como una de las joyas de la creación intelectual de la que el hombre puede sentirse orgulloso.

El siglo XVII y la disputa por la creación del cálculo

En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos:

• Encontrar la tangente a una curva en un punto.

• Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.

• Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.

• Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido.

En parte estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este siglo, concluyendo en la obra cumbre del filósofo-matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el físico-matemático inglés Issac Newton: la creación del cálculo. Se sabe que los dos trabajaron en forma casi simultánea pero sus enfoques son diferentes. Los trabajos de Newton están motivados por sus propias investigaciones físicas (de allí que tratara a las variables como "cantidades que fluyen") mientras que Leibniz conserva un carácter más geométrico y, diferenciándose de su colega, trata a la derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad. Leibniz no habla de derivada sino de incrementos infinitamente pequeños, a los que llama diferenciales. Un incremento de x infinitamente pequeño se llama diferencial de x, y se anota dx. Lo mismo ocurre para y (con notación dy). Lo que Newton llamó fluxión, para Leibniz fue un cociente de diferenciales (dy/dx). No resulta difícil imaginar que, al no poseer en esos tiempos un concepto claro de límite y ni siquiera de función, los fundamentos de su cálculo infinitesimal son poco rigurosos. Se puede decir que el cálculo de fluxiones de Newton se basa en algunas demostraciones algebraicas poco convincentes, y las diferenciales de Leibniz se presentan como entidades extrañas que, aunque se definen, no se comportan como incrementos. Esta falta de rigor, muy alejada del carácter perfeccionista de la época griega, fue muy usual en la época post-renacentista y duramente criticada. Dos siglos pasaron hasta que las desprolijidades en los fundamentos del cálculo infinitesimal se solucionaron, y hoy aquel cálculo, potencialmente enriquecido, se muestra como uno de los más profundos hallazgos del razonamiento humano.

Resulta muy interesante la larga y lamentable polémica desatada a raíz de la prioridad en el descubrimiento. Al principio la disputa se realizó en el marco de la cortesía pero al cabo de tres décadas comenzó a ser ofensiva hasta que en el siglo XVIII se convirtieron en mutuas acusaciones de plagio. La polémica se tornó cada vez mayor y finalmente se convirtió en una rivalidad entre los matemáticos británicos y los continentales.

La discusión siguió hasta mucho después de la muerte de los dos grandes protagonistas y, afortunadamente, hoy ha perdido interés y la posteridad ha distribuido equitativamente las glorias. Hoy está claro que ambos descubrieron este cálculo en forma independiente y casi simultánea entre 1670 y 1677, aunque fueron publicados unos cuantos años más tarde.

La difusión de las nuevas ideas fue muy lenta y al principio sus aplicaciones escasas. Los nuevos métodos tuvieron cada vez más éxito y permitieron resolver con facilidad muchos problemas. Los nuevos logros fueron sometidos a severas críticas, la justificación y las explicaciones lógicas y rigurosas de los procedimientos empleados no se dieron hasta avanzado el siglo XIX, cuando aparecieron otros matemáticos, más preocupados por la presentación final de los métodos que por su utilización en la resolución de problemas concretos.

El siglo XVIII

Durante buena parte del siglo los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Monge la geometría descriptiva. Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica, realizó contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de "el Newton francés".

Sin embargo el gran matemático del siglo fue el suizo Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. El éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo. La teoría de Newton se basó en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraico y basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.

A los matemáticos de fines del siglo el horizonte matemático les parecía obstruido. Se había llegado al estudio de cuestiones muy complicadas a las que nos se les conocía o veía un alcance claro. Los sabios sentían la necesidad de estudiar conceptos nuevos y hallar nuevos procedimientos.

El siglo XIX

Un problema importante fue definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales. En 1821, un matemático francés, Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo y se dedicó a dar una definición precisa de "función continua". Basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números reales. Los matemáticos alemanes Cantor y Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo.

Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a las técnicas del cálculo, se llevaron a cabo importantes avances en esta materia. Gauss, uno de los más importantes matemáticos de la historia, dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Riemann. Otro importante avance fue el estudio de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas, herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas, hecho por Fourier. Cantor estudió los conjuntos infinitos y una aritmética de números infinitos. La teoría de Cantor fue considerada demasiado abstracta y criticada. Encontramos aquí un espíritu crítico en la elaboración de estas nociones tan ricas. Esto constituye un punto de vista muy diferente del que animaba a los matemáticos del siglo anterior. Ya no se trata de construir expresiones ni forjar nuevos métodos de cálculo, sino de analizar conceptos considerados hasta entonces intuitivos.

Gauss desarrolló la geometría no euclideana pero tuvo miedo de la controversia que pudiera causar su publicación. También en este siglo se pasa del estudio simple de los polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos.

Los fundamentos de la matemática fueron completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés Boole en su libro Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854).

Siglo XX y nuestros días

Es importante el aporte realizado por Lebesgue referido a la integración y a la teoría de la medida y las modificaciones y generalizaciones realizadas por matemáticos que lo sucedieron.

En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert, quien contribuyó de forma sustancial en casi todas las ramas de la matemática retomó veintitrés problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que recién comenzaba. Estos problemas fueron el estímulo de una gran parte de los trabajos matemáticos del siglo.

El avance originado por la invención del ordenador o computadora digital programable dio un gran impulso a ciertas ramas de la matemática, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y generó nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se convirtió en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador permitió encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente.

El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros siguen sin solución. Al mismo tiempo aparecen nuevos y estimulantes problemas y aún la matemática más abstractas encuentra aplicación.

Conclusiones

El progreso de las ideas no se da en el tiempo a través de una trayectoria perfectamente delineada y preconcebida; existen muchos elementos que en la construcción son desechados, reformulados o agregados. Las concepciones filosóficas sobre la realidad, el papel de la ciencia, y en especial las concepciones sobre las características que debe reunir el conocimiento matemático para ser considerado como conocimiento científico, determinaron los enfoques realizados en cada época. El impacto que tuvieron los personajes y las contribuciones consignadas en la historia difícilmente puede ser comprendida cabalmente si estas consideraciones no se toman en cuenta.

TOMADO DE: http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/IntDef.htm

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Dadas las coordenadas de dos puntos se obtiene la fórmula de la distancia 
entre estos dos puntos. Se muestra un ejemplo en que se usa esta fórmula 
para determinar la distancia entre dos puntos dados por sus coordenadas.


Ejercicio para después del video.- 1) Determine la distancia entre entre los 
puntos dadosa)  (1,2)  y (-3,4)     b)  (-3,0) y (-4,6)2)  Sea P(x,3) un punto del plano cartesiano.a) Determine la distancia del punto P al punto (4,-3).b) Determine la distancia del punto P al punto (2,3).3)  Sea P(x,3) un punto del plano cartesiano.a) Determine la distancia del punto P al punto (4,-3) en términos de x.b) Determine la distancia del punto P al punto (2,3) en términos de x.4) ¿Cuál es el punto(s) con coordenada y igual a 4 y cuya distancia al punto 
(2,3) es igual a 5?



TOMADO DE: http://matematicatuya.com/GRAFICAecuaciones/S1.html

JOHN NASH: Una Mente Brillante

La verdadera vida de John Forbes Nash, Jr.

 "Una mente maravillosa",

"A beautiful Mind" es un magnífico producto de Hollywood inspirado en la vida de John Nash pero que no pretende ser su biografía. En realidad son muy pocos los hechos o situaciones de la vida real de Nash que son contados en la película.

El padre se llamaba también John Forbes Nash por lo que distinguiremos al padre del hijo al estilo americano, añadiéndoles el calificativo "Senior" o "Junior" (Jr.).  Nash Senior nació en Texas en 1892 y estudió ingeniería eléctrica. Después de luchar en Francia en la primera guerra mundial, fue durante un año profesor de ingeniería eléctrica en la Universidad de Texas tras lo que se incorporó a la empresa Appalachian Power Company en Bluefield, West Virginia.

La madre de Nash Jr., Margaret Virginia Martin, estudió idiomas en las universidades Martha Washington College y West Virginia University. Fue profesora durante diez años antes de casarse con Nash Senior, el 6 de septiembre de 1924.

Johnny Nash, así le llamaba su familia, nació en Bluefield Sanatorium el 13 de junio de 1928 y fue bautizado en la iglesia Episcopaliana. Sus biógrafos dicen que fue un niño solitario e introvertido aunque estaba rodeado de una familia cariñosa y atenta. Parece que le gustaban mucho los libros y muy poco jugar con otros niños. Su madre le estimuló en los estudios enseñándole directamente

Sin embargo, no destacó por su brillantez en el colegio. Por el contrario, debido a su torpeza en las relaciones sociales, era considerado como un poco atrasado. Sin embargo, a los doce años dedicaba mucho tiempo en su casa a hacer experimentos científicos en su habitación. y llevándole a buenos colegios.

 Su hermana Martha, dos años más joven que él, era una chica muy normal. Dice de su hermano:

"Johnny era siempre diferente. Mis padres sabían que era diferente y también sabían que era brillante. Él siempre quería hacer las cosas a su manera. Mamá insistía en que yo le ayudase, que lo introdujera entre mis amistades... pero a mí no me entusiasmaba lucir a un hermano tan raro".

A los catorce años Nash empezó a mostrar interés por las matemáticas. Parece ser que influyó la lectura del libro de Eric Temple Bell,  "Men of Mathematics" (1937). Entró en el Bluefield College en 1941. Comenzó a mostrarse hábil en matemáticas, pero su interés principal era la química. Se suponía que iba a seguir la misma carrera de su padre,  ingeniería eléctrica, pero continuaba con sus experimentos químicos. Parece ser que tuvo alguna relación con la fabricación de unos explosivos que produjeron la muerte a uno de sus compañeros de colegio.

Nash ganó una beca en el concurso George Westinghouse y entró en junio de 1945 en el Carnegie Institute of Technology (hoy llamado Carnegie-Mellon University) para estudiar ingeniería química. Sin embargo empezó a destacar en matemáticas cuyo departamento estaba dirigido entonces por John Synge, que reconoció el especial talento de Nash y le convenció para que se especializara en matemáticas.

Se licenció en matemáticas en 1948. Lo aceptaron para estudios de postgrado en las universidades de Harvard, Princeton, Chicago y Michigan. Nash consideraba que la mejor era Harvard, pero Princeton le ofreció una beca mejor por lo que decidió estudiar allí, donde entró en septiembre de 1948.

En 1949, mientras se preparaba para el doctorado, escribió el artículo por el que sería premiado cinco décadas después con el Premio Nobel. En 1950 obtiene el grado de doctor con una tesis llamada "Juegos No-Cooperativos". Obsérvese que el libro inicial de la teoría de juegos, "Theory of Games and Economic Behavior" de von Neumann y Oskar Morgenstern,  había sido publicado muy poco antes, en 1944.

En 1950 empieza a trabajar para la RAND Corporation, una institución que canalizaba fondos del gobierno de los Estados Unidos para estudios científicos relacionados con la guerra fría y en la que se estaba intentando aplicar los recientes avances en la teoría de juegos para el análisis de estrategias diplomáticas y militares. Simultáneamente seguía trabajando en Princeton. En 1952 entró como profesor en el Massachusetts Institute of Technology. Parece que sus clases eran muy poco ortodoxas y no fue un profesor popular entre los alumnos, que también se quejaban de sus métodos de examen.

En este tiempo empezó a tener problemas personales graves que añadidos a las dificultades que seguía experimentando en sus relaciones sociales. Conoció a Eleanor Stier con la que tuvo un hijo, John David Stier, nacido el 19 de junio de 1953. A pesar de que ella trató de convencerlo, Nash no quiso casarse con ella. Sus padres solo se enteraron de este asunto en 1956. Nash Senior murió poco después de enterarse del escándalo y parece que John Nash, Jr. se sintió culpable de ello.

En el verano de 1954, John Nash fue arrestado en una redada de  la policía para cazar homosexuales. Como consecuencia de ello fue expulsado de la RAND Corporation.

Una de las alumnas de Nash en el MIT, Alicia Larde, entabló una fuerte amistad con él. Había nacido en El Salvador, pero su familia había emigrado a USA cuando ella era pequeña y habían obtenido la nacionalidad hacía tiempo. El padre de Alicia era médico en un hopital federal en Maryland. En el verano de 1955 John Nash y Alicia salían juntos. En febrero de 1957 se casaron. En el otoño de 1958 Alicia quedó embarazada, pero antes de que naciera su hijo, la grave enfermedad de Nash ya era muy manifiesta y había sido detectada. Alicia se divorció de él más adelante, pero siempre le ayudó mucho. En el discurso de aceptación del Nobel, en 1994, John Nash tuvo palabras de agradecimiento para ella.

En 1959, tras estar internado durante 50 días en el McLean Hospital, viaja a Europa donde intentó conseguir el estatus de refugiado político. Creía que era perseguido por criptocomunistas. En los años siguientes estaría hospitalizado en varias ocasiones por períodos de cinco a ocho meses en centros psiquiátricos de New Jersey. Unos años después, Nash escribió un artículo para una revista de psiquiatría en el que describió sus pensamientos de aquella época:

".. el personal de mi universidad, el Massachusetts Institute of Technology, y más tarde todo Boston, se comportaba conmigo de una forma muy extraña.  (...) Empecé a ver criptocomunistas por todas partes (...) Empecé a pensar que yo era una persona de gran importancia religiosa y a oir voces continuamente. Empecé a oir algo así como llamadas telefónicas que sonaban en mi cerebro, de gente opuesta a mis ideas.  (...) El delirio era como un sueño del que parecía que no me despertaba."

A finales de los sesenta tuvo una nueva recaída, de la que finalmente comenzó a recuperarse. En su discurso de aceptación del Premio Nobel describe su recuperación así:

"Pasó más tiempo. Después, gradualmente, comencé a rechazar intelectualmente algunas de las delirantes líneas de pensamiento que habían sido características de mi orientación. Esto comenzó, de forma más clara, con el rechazo del pensamiento orientado políticamente como una pérdida inútil de esfuerzo intelectual".

En la actualidad sigue trabajando en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Princeton.

Su página web oficial es: http://www.math.princeton.edu/jfnj/

Su dirección electrónica: jfnj@Princeton.EDU  (hasta el 05-10-2002)

TOMADO DE: http://www.portalplanetasedna.com.ar/una_mente.htm

Dos jóvenes matemáticos españoles resuelven un problema planteado por John Nash en los años sesenta

Los resultados ya han sido difundidos a través de internet y expuestos ante expertos en el tema

 ·         Las técnicas empleadas sorprenden por su sencillez y por su novedoso enfoque

 ·         La conjetura permite conocer aspectos importantes de las singularidades, uno de los objetos matemáticos más estudiados a partir del s. XX

 ·         Los autores, Javier Fernández de Bobadilla y María Pe Pereira, tienen menos de 40 años. La investigación ha sido posible gracias a una beca del Consejo Europeo de Investigación.

Madrid, 14 de marzo.- El famoso matemático John Nash, cuya vida ha inspirado la película Una mente maravillosa, enunció a mediados de los años sesenta –durante uno de los periodos en que su brillantez matemática dejaba en segundo plano a su enfermedad mental– una conjetura relacionada con un concepto que los matemáticos llaman ‘singularidad’. Ahora, dos jóvenes matemáticos españoles, Javier Fernández de Bobadilla y María Pe Pereira, la han resuelto. Su trabajo está siendo toda una sorpresa para los especialistas en el problema de Nash. Fernández de Bobadilla y Pe Pereira han demostrado la conjetura con un abordaje muy novedoso y en sólo tres años de trabajo.

“Lo importante en este caso ha sido dar con la idea”, explica Fernández de Bobadilla, investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en Madrid. “Hemos resuelto el problema de Nash con técnicas sorprendentemente sencillas, casi elementales, aunque por supuesto nos basamos en desarrollos previos de otros investigadores”.

Él y su colaboradora han publicado su trabajo hace unas semanas en internet y ya han tenido ocasión de exponerlo ante especialistas del tema. Como es habitual en matemáticas, la publicación en revistas de prestigio solo se producirá tras una revisión cuidadosa por investigadores anónimos, que puede prolongarse más de un año.

El problema de Nash es de matemáticas ‘puras’, es decir, no tiene aplicaciones fuera de la propia matemática. Al menos, no a corto plazo: “Ahora entendemos algo importante que antes no entendíamos, y eso acabará teniendo aplicaciones”, dice Fernández de Bobadilla. Pero para este investigador de 38 años, receptor de una de las prestigiosas y escasas becas del Consejo Europeo de Investigación, el avance del conocimiento es un fin en sí mismo: “Un matemático lanza una conjetura cuando intuye que algo es cierto pero no lo puede demostrar; el esfuerzo por demostrar las conjeturas hace avanzar las matemáticas, y las matemáticas no son sino la forma más rigurosa de pensamiento”.

Meterse en una ‘singularidad’

¿Qué fue lo que Nash conjeturó a principios de los años sesenta pero no pudo demostrar? La intuición de este matemático, premio Nobel de Economía en 1994 y que a sus 82 años sigue en activo en la Universidad de Princeton, tiene que ver con la comprensión de las ‘singularidades’, un concepto matemático que sí se percibe en el mundo físico. Los fenómenos en que aparecen cambios instantáneos de comportamiento tienen singularidades: la formación de tornados en la atmósfera, cuando un metal se rompe al ser sometido a temperaturas muy altas o cuando el espacio-tiempo se curva tanto que se forma un agujero negro. 

Pero el tipo de singularidades de las que trata el problema de Nash proceden de la geometría y se visualizan con un ejemplo más modesto: si se retuerce completamente un cilindro, el punto entre los dos conos resultantes es una singularidad. Y es que todas las singularidades se pueden imaginar a partir de un objeto liso en que una parte se comprime dando lugar a la singularidad –en el ejemplo anterior, una de las circunferencias que rodea al cilindro se estaría comprimiendo en el vértice de los conos–. Este conjunto que se comprime o colapsa es lo que los matemáticos llaman lugarexcepcional. 

La pregunta es: ¿Qué puede llegar a saberse de esa singularidad? ¿Sería posible, por ejemplo, hacer correr la película marcha atrás y deducir cuál es el lugar excepcional que ha sido comprimido para generarla? Los matemáticos, y en concreto los llamados singularistas, investigan intensamente en estas cuestiones desde la primera mitad del siglo XX.

Así, los singularistas han aprendido, por ejemplo, a extraer información a partir de  las posibles trayectorias de las partículas que atraviesan una singularidad –o, lo que es lo mismo, de los posibles recorridos de  una canica microscópica rodando por la pared interna del cilindro retorcido–. Estas trayectorias se agrupan en familias según su comportamiento.

El lugar excepcional y las trayectorias

Lo que propuso Nash fue que existe una determinada relación entre la forma del lugar excepcional y las familias de trayectorias que atraviesan la singularidad. Afirmó que en objetos de dos dimensiones, es decir, en superficies, hay una correspondencia perfecta entre la forma del lugar excepcional y las familias de trayectorias. Nash también sugirió estudiar esta relación en dimensiones superiores.

En 2003 el húngaro János Kollár, de la Universidad de Princeton (EEUU), y la japonesa Shihoko Ishii, del Instituto Tecnológico de Tokio, demostraron que la relación descrita por Nash no se da en singularidades de objetos de cuatro o más dimensiones.

En cambio los matemáticos españoles han confirmado que sí funciona en dos dimensiones, y por tanto Nash tenía razón. El artículo en que explican su resultado se titula simplemente Nash problem for surfaces.

“Desde el punto de vista matemático es un problema muy bonito, con un enunciado sencillo, y que además ha podido ser entendido con técnicas relativamente elementales, lo que es una suerte para un matemático”, dice María Pe Pereira, de 30 años, actualmente en el Instituto Jussieu de París con una beca postdoctoral de Caja Madrid.

Resolver un problema de camino a otro

El camino hasta la demostración de la conjetura parte del uso de herramientas nunca aplicadas antes a este problema, procedentes de la topología –que estudia formas atendiendo al número de agujeros o de ‘rupturas’ que presenten–. Fernández de Bobadilla trabajaba en un problema de geometría, y se le ocurrió una forma de resolverlo en el caso de que la conjetura de Nash fuera cierta. Pero él consideraba entonces “demasiado optimista” pensar en resolver el problema de Nash. Al poco tiempo, sin embargo, dio con una técnica que permitía atacarlo de modo topológico. Con esta base María Pe Pereira solucionó el problema de Nash para una clase importante de singularidades, y dio con ideas clave para que, sólo unos meses después, ambos matemáticos demostraran el caso general.

Ahora que sabe que la conjetura de Nash es correcta, Fernández de Bobadilla se enfrentará otra vez al problema en que trabajaba inicialmente. Si efectivamente lo resuelve será casi como matar dos pájaros de un tiro, o como emprender la búsqueda de un tesoro y encontrarse otro inesperado –y puede que mayor– por el camino.

Más información:

Javier Fernández de Bobadilla, Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT): javier@icmat.es. 608139297

María Pe Pereira, Instituto Jussieu de París: maria.pe@mat.ucm.es.

TOMADO DE: http://www.i-math.org/?q=es/node/1928

Máximos y mínimos relativos

Máximos y mínimos de una función

Máximo relativo de una función

Una función    f   alcanza un máximo relativo 
en un punto de abscisa   x₀   si existe un entorno reducido de   x₀ , 
es decir  E*(x₀ , h) = (x₀ - h, x₀ + h) - { x₀ } ,   tal que    f(x) < f(x₀)  
 para todos los puntos de dicho entorno reducido.

Mínimo relativo de una función

Una función    f   alcanza un mínimo relativo en un punto de abscisa   x₀  
 si existe un entorno reducido de   x₀ ,  es decir  
E*(x₀ , h) = (x₀ - h, x₀ + h) - { x₀ } ,  
 tal que    f(x) > f(x₀)   para todos los puntos de dicho entorno reducido.

Entorno reducido:   E*(x₀ , h) = E(x₀ , h) - { x₀ } = ( x₀ - h, x₀ ) ∪ ( x₀ , x₀ + h )

Ejemplo de mínimos y máximos relativos de una función

Determinar los mínimos y máximos relativos

en la gráfica de la siguiente función:

            f(x) = x³ - 3x + 2

•   El punto  (-1 , 4)  es un máximo relativo.

•   El punto  (1 , 0)  es un mínimo relativo.

Máximos y mínimos relativos

Una función   f(x)   tiene un máximo relativo en   x = c   si   f(a) ≥ f(x)   para todo   x   en algún entorno del punto   a .

Una función   f(x)   tiene un mínimo relativo en   x = a   si   f(a) ≤ f(x)   para todo   x   en algún entorno del punto   a .

Criterio de la primera derivada

En un punto crítico   x = a ,  una función derivable   f(x)   tiene:

•   un máximo relativo si   f ' (x)   cambia de positiva a negativa (↑↓)

•   un mínimo relativo si   f ' (x)   cambia de positiva a negativa (↓↑)

•   no tiene máximo ni mínimo relativo si   f ' (x)  
 no cambia de signo (↑↑  o  ↓↓)

Criterio de la segunda derivada

En un punto crítico   x = a ,  una función derivable   f(x)   tiene:

•   un máximo relativo si   f '' (a) < 0

•   un mínimo relativo si   f '' (a) > 0

La condición necesaria para que una función tenga un máximo relativo es que su primera derivada en ese punto sea igual a 0 y la condición suficiente es que su segunda derivada en ese punto sea menor que 0.

La condición necesaria para que una función tenga un mínimo relativo es que su primera derivada en ese punto sea igual a 0 y la condición suficiente es que su segunda derivada en ese punto sea mayor que 0.

Procedimiento para hallar los máximos y mínimos relativos

Estudia los máximos y mínimos relativos de la siguiente función:   f(x) = x³ - 3x + 2

1)   Se calcula la primera derivada:   f ' (x)

Calculamos la primera derivada de la función.

f ' (x) = 3x² - 3

2)   Se resuelve la ecuación:   f ' (x) = 0

A continuación calculamos las raíces de la primera derivada.

3x² - 3 = 0   ⇔   3x² = 3   ⇔   x² = 1   ⇔   x = ±1

Por lo tanto la primera derivada se anula en   x = -1   y   x = 1 .

3)   Se sustituyen las raíces de   f ' (x) = 0   en la función inicial y se obtienen los posibles máximos y mínimos relativos.

     •   f (-1) = 4   ⇒   El punto   (-1, 4)   es un posible máximo o mínimo relativo

     •   f (+1) = 0   ⇒   El punto   (+1, 0)   es un posible máximo o mínimo relativo

4)   Se calcula la segunda derivada:   f '' (x)

Calculamos la segunda derivada.

f '' (x) = 6x

5)   Se sustituyen la abscisa de los posibles máximos y mínimos relativos en la segunda derivada   f '' (x)

     •   Si   f '' (x) < 0   es un máximo relativo

     •   Si   f '' (x) > 0   es un mínimo relativo

En nuestro caso tenemos que:

     •   f '' (-1) = - 6 < 0   ⇒   (-1, 4)   es un máximo relativo

     •   f '' (+1) = 6 > 0   ⇒   (+1, 0)   es un mínimo relativo

TOMADO DE: http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_derivadas_apli/teoria/maximo_minimo.html

Derivadas y aplicaciones de las derivadas

En esta unidad continuamos el bloque de contenidos de Análisis Matemático o funciones, y lo hacemos subidos a hombros de un auténtico gigante como es la DERIVADA. Sí, la derivada, un aunténtico gigante que como irás viendo, es una potentísima herramienta matemática que aplicada a funciones nos permitirá resolver y descubrir un montón de cuestiones.

La derivada es el ritmo de cambio de cualquier función en un determinado instante, pero que también puede representar el ritmo o velocidad de cambio de cualquier cosa, la densidad o aumento de la población de delfines en relación con el aumento o disminución de la temperatura del agua, el ritmo de cambio de volumen de un globo respecto al área de su superficie o el ritmo de cambio del precio de una pizza con respecto a su tamaño.

Veremos cómo la derivada es para la rama de la Física que estudia las leyes del movimiento, lo que las ruedas son para un viaje, un medio sencillo pero muy eficaz.

Cuando empezamos este bloque de contenidos, lo primero que hicimos fue repasar las propiedades gráficas que tenía una función, ¿por qué?, pues porque es importante conocerlas ya que con un simple vistazo podemos saber toda la información que ésta aporta. 

El segundo paso, fue repasar las que llamábamos funciones elementales, y recordar cómo se representaban pues a partir de la gráfica lo sabíamos todo, pero claro, hay muchas más funciones, y sería interesante saber también cómo es la forma de todas ellas. La expresión algebraica o analítica nos da la exactitud, pero la expresión gráfica es la que nos aporta visualmente gran información. Por ejemplo, si tenemos la función

en principio nos quedamos igual, sin embargo, si vemos su gráfica, que es la que aparece a la izquierda, sabemos que para valores grandes,positivos o negativos, se acerca a cero, que primero decrece, después crece y después vuelve a bajar, que si x es menor que cero la función es negativa y a partir de cero positiva, que el valor máximo se alcanza si x vale 1 y es 0,5...

Pero, ¿podré yo dibujar esa función? Pues bien, este es el objetivo principal que nos hemos planteado para este bloque de contenidos, que si tienes cualquier función, sepas representarla gráficamente y por tanto sepas hacer un estudio de todas sus propiedades. Así que, a partir de ahora, podrás sacarle a cualquier función toda la información que posea. ¡Ya les gustaría a los detectives tener algo así!

En la última parte del tema, aprenderás también una técnica basada en las derivadas de funciones importantísima e interesantísima, pues busca obtener siempre la mejor respuesta ante una determinada situación. Vas a ver cómo la derivada se puede aplicar al diseño de una parcela, a la recogida de frutos o a la fabricación de envases.

1. Tasa de variación media e instantánea. Definición de derivada.

Dada una función f(x), llamábamos tasa de variación al número que representa el aumento o disminución que experimenta la función al aumentar la variable independiente de un valor "a" a otro "b".
La tasa de variación de f(x) entre a y b (siendo a

TV[a,b]= f(b)-f(a).

La tasa de variación media de una función f(x) entre a y b (siendo a), la definíamos que la variación media que se producía en el intervalo:

Si en lugar de "b", al segundo punto lo llamamos "a+h", la fórmula anterior quedaría así:

Si hacemos h muy pequeño, obtenemos una información precisa de lo que ocurre en el punto de abscisa a. Y hacer h muy pequeño, es hacerlo tender a cero. Pues bien cuando hacemos h tender a cero en la tasa de variación media, llegamos al concepto de tasa de variación instantánea. Es decir, la tasa de variación instantánea en un punto, es el límite cuando h tienede a cero de la tasa de variación media en el intervalo [a, a+h]

Y esto precisamente nos lleva al concepto de derivada en un punto; la variación instantánea en un punto. Así, la derivada de una función f(x) en el punto de abscisa x₀, se define como el límite:

2. Derivada de funciones

Cuando has visto el último vídeo seguro que has dicho -Claro así es más fácil. Primero derivo y después sustituyo-.

La derivada de las funciones, salen de hacer los límites de la definición, pero en general; sin poner ningún punto en concreto, o lo que es lo mismo, dejando la variable independiente "x".

Es decir, 

Regla de la cadena

Para derivar una función compuesta, utilizamos la llamada regla de cadena, que consiste en ir derivando cada función que nos vamos encontrando respetando su argumento y multiplicando por la derivada de ese argumento:

f(g(x))' = f '(g(x))·g'(x)

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