LAS GEOMETRÍAS NO-EUCLIDIANAS

LAS GEOMETRÍAS NO-EUCLIDIANAS

AL HABLAR de los sabios griegos, mencionamos que la geometría y las teorías físicas sobre la gravitación han evolucionado de la mano. El desarrollo de una de estas ramas de la ciencia influyó siempre sobre la otra. Esta afirmación es muy clara si nos referimos a la teoría general de la relatividad: las ideas de Einstein sobre la gravitación son profundamente geométricas. Como ya vimos en la nota histórica escrita por el propio Einstein, la presencia de una masa gravitacional altera la estructura del espaciotiempo, curvándolo. Por ello, para establecer sus ecuaciones del campo gravitatorio, Einstein empleó los conceptos de la geometría de espacios curvos, propuesta el siglo pasado por Riemann. La geometría riemanniana forma parte de lo que hoy se llama la geometría no-euclidiana, pedazo de las matemáticas cuya historia fascinante ahora relataremos.

Euclides resumió en sus Elementos lo que en su tiempo sabían los griegos sobre la geometría. Su tratado es, como los Principia, o los libros de Maxwell sobre la teoría electromagnética, o El origen de las especies de Darwin, un libro de síntesis, donde se recolectan los conocimientos de una ciencia y se relacionan hechos en apariencia disconexos. En su libro, Euclides formula las premisas fundamentales de la geometría, con el uso de postulados y axiomas. De éstos, el que habría de alcanzar una mayor notoriedad es el quinto postulado, que se refiere a la existencia de una línea paralela a otra, es decir, de dos líneas rectas que no se cortan. Según el postulado quinto, por un punto fuera de una recta sólo se puede trazar una paralela a esta última.

En el quinto postulado, que Euclides formuló de manera complicada, está implícito el concepto de infinito, y por ello desde tiempos muy remotos se trató de expresarlo de manera diferente para, de plano, eliminar el postulado y deducirlo de otros axiomas. En sus intentos, muchos matemáticos reemplazaron el postulado quinto por otras aseveraciones que luego buscaban demostrar. Un ejemplo de esas afirmaciones es: la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°. Otro ejemplo lo dio el mismo Gauss, uno de los mayores matemáticos de la historia, quien sustituyó el quinto postulado de Euclides por otro supuesto: existen triángulos con áreas tan grandes como se quiera. Parece ser que el gran Gauss llegó a plantear correctamente la cuestión y, finalmente, decidió abandonar el postulado quinto. No se atrevió a publicar sus deducciones, tal vez por temor a las críticas que resultarían si alguien como él se desviaba de una verdad absoluta tan evidente.

Fue el joven matemático ruso Nikolai Lobachevski quien en 1826 finalmente se percató de que el quinto postulado no puede deducirse de las otras proposiciones fundamentales de la geometría y se atrevió a negar la "verdad evidente" de ese postulado de Euclides. Tomó como cierta la proposición contraria: por un punto fuera de una línea recta, se puede trazar no una, sino al menos dos líneas paralelas a ella. De ahí dedujo una larga serie de teoremas, sin llegar a contradicción alguna. Con su trabajo, Lobachevski enseñó no sólo que el postulado quinto es indemostrable sino algo aún más importante: desde un punto de vista estrictamente lógico, se pueden concebir varias geometrías: la de Euclides cede su lugar como verdad absoluta.

Como otros grandes avances en el conocimiento, las ideas de Lobachevski no fueron aceptadas de inmediato; ideas tan radicales, que chocaban con los prejuicios de casi todos los matemáticos, no habrían de anclarse fácilmente como parte de la ciencia. Sin embargo, Lobachevski defendió sus ideas, que ahí quedaron como la esencia de una gran revolución en la geometría. Igual que sucedió con otros grandes hitos en la ciencia —como ocurrió, por ejemplo, con el cálculo diferencial que inventaron casi al mismo tiempo Newton y Leibniz—, la idea de una geometría no-euclidiana surgió de muchos autores. Ya hemos mencionado al gran Gauss; también el matemático húngaro Janos Bolyai descubrió la imposibilidad de probar el quinto postulado y publicó sus resultados en un apéndice al tratado sobre geometría que escribió su padre en 1832, tres años depués que Lobachevski. Además de Bolyai, los matemáticos alemanes Schweikart y Taurinus seguían también sendas parecidas. No obstante, el joven ruso llegó más lejos y por ello la nueva geometría lleva su nombre.

En el preciso instante en que se reemplaza el postulado quinto de Euclides por el de Lobachevski, las figuras geométricas que tanto ayudan para entender mejor la geometría elemental dejan de ser útiles. La hoja del cuaderno que usamos en la escuela secundaria es un plano euclidiano. En esa hoja plana es imposible construir esquemas a la Lobachevski. Para ello requeriríamos de una superficie en forma de corneta, que técnicamente se llama seudoesfera. Si en lugar de líneas rectas usamos las líneas más cortas en la seudoesfera —líneas que llamaremos geodésicas—, la geometría intrínseca de esa corneta coincide con la del plano a la Lobachevski, plano en que por un punto fuera de una recta puede trazarse más de una línea paralela a ella. En 1868, el geómetra italiano Beltrami descubrió lo que acabamos de mencionar y la actitud de los matemáticos cambió de pronto: de algo ficticio, la geometría no-euclidiana de Lobachevski se tornó en algo real.

En la geometría de Lobachevski se pueden probar muchos teoremas, que parecen extraños pues no son válidos en el plano euclidiano que nos es familiar. Basten algunos ejemplos para ser conscientes de cuán rara es la geometría no-euclidiana: Dos líneas paralelas se cortan en el punto del infinito, pero su distancia crece indefinidamente en la dirección contraria; si dos líneas tienen una perpendicular común, la distancia entre ellas se vuelve infinita al alejarnos de esa perpendicular en cualquier dirección; la suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre menor que 180° y no puede haber triángulos con un área tan grande como se quiera; la circunferencia ya no vale 2p veces el radio, y el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos ha de ser modificado. Por otro lado, para regiones muy pequeñas del espacio, la geometría de Lobachevski se parece mucho a la de Euclides. Decimos que ésta es un caso límite de aquélla. La nueva teoría incluye a la antigua, representa un caso más general; nuestro conocimiento ha, pues, avanzado.

La década de los setentas del siglo pasado fue crucial para las nuevas ideas geométricas. Ya mencionamos que en 1868 Beltrami dio un ejemplo real de la geometría de Lobachevski al demostrar que la seudoesfera, intrínsecamente, cumple las condiciones no-euclidianas de esa nueva geometría. Sin embargo, el ejemplo del matemático italiano no es completo, pues superficies como la seudoesfera no pueden extenderse infinitamente en todas las direcciones sin que hallemos puntos singulares. Lo último no es cierto para el plano de Lobachevski y, por ello, la geometría intrínseca de la seudoesfera no es equivalente a la de todo el plano a la Lobachevski. En 1870, sin embargo, el matemático alemán Klein encontró otra forma de cumplir los postulados de esa geometría no-euclidiana. Más aún, Klein mismo propuso en 1872, durante una conferencia en la Universidad de Erlangen, lo que habría de llamarse el "Programa de Erlangen", en el que se resumían los avances geométricos recientes —la geometría proyectiva, la afín, por mencionar sólo dos de ellos— y se requería la investigación de las propiedades de las figuras geométricas bajo una transformación que podría ser arbitraria salvo que siempre llevara de un solo punto a otro solo punto del espacio. Surgen así muchas otras geometrías —la conforme, por ejemplo— y se abre el camino al estudio de los espacios geométricos abstractos. Ya no se limitaría nuestro análisis a las figuras en el plano, o en el espacio de tres dimensiones en que nos movemos; ahora podríamos pensar en muchas dimensiones y en variables no forzosamente espaciales. Así, por ejemplo, hablamos del espacio de las variables termodinámicas de un gas, que bien pueden ser más de tres, como la presión, el volumen, la temperatura y las diversas concentraciones de las substancias que forman ese gas. En este espacio multidimensional también estudiamos propiedades geométricas, ahora desde un punto de vista más abstracto. Por otro lado, en la historia que relatamos, la de las ondas gravitacionales, será indispensable usar el espaciotiempo, que tiene cuatro dimensiones, como ya hemos visto.
TOMADO DE: http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen1/ciencia2/41/htm/lagran3.htm

TEOREMA DE FERMAT

El enigma del teorema de Fermat

Antes, refresquemos un poco la memoria. Es sabido que el teorema de Pitágoras fue formulado allá por el año 500 antes de Cristo. Todos recordamos su famoso enunciado: “En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (x²+y²=z²)”.
Más tarde, en el año 300, también antes de Cristo, fue Euclides quien planteó una mejora adicional al citado teorema cuando descubrió que “un número perfecto siempre es un múltiplo de dos números, donde uno de ellos es una potencia de 2 y el otro es el resultado de la diferencia que hay entre la siguiente potencia de 2 y 1”. Por si se nos ha olvidado, recordar que un número perfecto es aquel número entero igual a la suma de los divisores positivos menores que él mismo. Es decir:
• 6 = 1+2+3 = 2¹ x (2² – 1)
• 28 = 1+2+4+7+14 = 2² x (2³ – 1)
• 496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496= 2³ x (2⁴ – 1)
Se puede comprobar que 6 es un número perfecto porque sus divisores propios son 1, 2 y 3, y por tanto 6 = 1+2+ 3.  Lo mismo sucede con los números perfectos siguientes: 28, 496, 8128, y así hasta el infinito, sin encontrar ningún otro que incumpla esta regla.
Tanto Pitágoras como Euclides fueron en cierta manera los precursores del célebre “teorema de Fermat”, un paso muy importante en toda la serie de grandes demostraciones. Fermatplanteó un enigma que iba mucho más allá, con el que sacó de sus casillas a todos los matemáticos durante casi cuatrocientos años, hasta que un inglés llamado Andrew Wiles, no hace mucho tiempo, en el año 1993, consiguió resolver su famoso rompecabezas.
El teorema de Fermat es un problema engañosamente sencillo.
En la década de 1630 ya había aparecido la traducción francesa de los famosos libros de la Arithmética de Diofanto, gran matemático griego, que contenían la relación completa de las teorías numéricas formuladas por Pitágoras, Euclides y otros matemáticos de la Antigüedad. Fue entonces cuando Fermat, al estudiar el teorema de Pitágoras, en un ataque de genialidad, planteó su inmortal problema al formular una variante del mismo cambiando el cuadrado por un cubo, es decir:
x³+y³=z³
Y a continuación escribió el siguiente enunciado:
“En todo el infinito universo de los números no existe un número entero donde un cubo pueda definirse como la suma de dos cubos”. Y no solo eso, sino que lo hizo extensible a todos los números cuya potencia fuera mayor de 2. O lo que es lo mismo xⁿ+yⁿ=zⁿ donde n > 2
Lo que Fermat hizo fue convertir, mediante un pequeño cambio teórico, una fórmula que ofrecía infinita cantidad de soluciones perfectas, como el teorema de Pitágoras (x²+y²=z²), en otra que conducía a un callejón sin salida como (x³+y³=z³), sin solución posible para números enteros.

Los grandes matemáticos de la época no tardaron en admitir que, en efecto, así era. Mediante el clásico método “prueba-error”comprobaron que era imposible encontrar un número que pusiera en contradicción lo afirmado porFermat, pero además con un problema añadido: no lo podían demostrar; la cantidad de números existentes es infinita y es imposible contrastar todos ellos uno a uno. De ahí que, al no estar seguros al cien por cien de que pudiese aparecer algún otro número que echara por tierra el teorema, éste no se podía considerar demostrable. Un principio de las Matemáticas es que los supuestos siempre deben ser comprobables matemáticamente no solo por una fórmula universal sino también con una base científica correcta. Cualquier matemático para validar un teorema debe ser capaz de iniciar su afirmación con la siguiente frase:“Es así porque ……” y a continuación exponer su argumento. Y eso no se ha conseguido con el teorema de Fermat hasta hace muy poco tiempo.
Fermat, que tenía por costumbre burlarse siempre que podía de sus colegas, no dejó nada escrito sobre la demostración de su teorema, con lo que su resolución pronto se convirtió en un verdadero enigma. Incluso se permitió el lujo de anotar en la portada de uno de los libros de la Arithmética de Diofanto, concretamente el nº 6, además del planteamiento, solo una pequeña frase que decía:
“Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet”,
palabras que pasaron a ser inmortales y que significaban: “Tengo una prueba verdaderamente maravillosa para esta afirmación, pero el margen es demasiado estrecho para contenerla”. Y así quedó escrito para siempre. Menos mal que su hijo Clément- Samuel, aún comprendiendo la afición de su padre por no aportar datos concretos en la demostración de sus teoremas, al morir éste, intentó evitar que el mundo perdiera parte de sus descubrimientos. Gracias a sus esfuerzos se ha podido saber algo más sobre sus teorías. Clément-Samuel se pasó cinco años recopilando las anotaciones y cartas de su padre y examinando las notas que solía escribir en los márgenes de los libros de laArithmética. En 1670 publicó la “Arithmetica de Diofanto con anotaciones de P. de Fermat”, que incluye hasta 48 observaciones que su padre había hecho, aunque por desgracia ninguna de ellas correspondía a la demostración de sus teoremas.
Si la intención de Fermat era que sus compañeros matemáticos montaran en cólera, lo logró a las mil maravillas. Desde 1637, cualquier matemático que se preciara dedicó gran parte de su tiempo, a veces demasiado, a hallar la prueba deFermat. Generaciones enteras de pensadores fracasaron, y solo Andrew Wiles , en 1993, dio con la solución, después de 25 años intentando resolver el enigma, los diez últimos casi a tiempo completo.
Pierre de Fermat nació en 1601 en Beaumont-de-Lomagne, en el suroeste de Francia, y por irónico que pueda parecer no era matemático, sino un funcionario que tenía como hobby el estudio de las Matemáticas en su tiempo libre. En 1631 fue nombrado conseiller au Parlament de Toulouse, una especie de concejal de la cámara de peticiones. Su labor consistía en servir de contacto entre los súbditos locales y la monarquía, y asegurarse de que se aplicaran en todos los lugares los decretos reales dictados desde París. Aunque su labor le exigía bastante tiempo, el poco que le quedaba libre lo dedicó a las Matemáticas. No debemos olvidar que en aquellos tiempos, a los jueces se les pedía que evitaran la vida social con el fin de no dar la sensación que favorecían a sus amigos y conocidos en la Corte.
Fermat siempre se mostró reacio a revelar sus demostraciones. La publicación y el reconocimiento no significaban nada para él, y se sentía más que satisfecho con el simple hecho de crear nuevos teoremas. Pero el genio tenía un rasgo muy característico: solía combinar su discreción con la alegría de molestar al resto de sus colegas cuando se veía obligado a comunicarse con ellos. Les solía escribir cartas enunciando sus más recientes demostraciones, al mismo tiempo no les facilitaba información alguna, retándoles a encontrarla la solución si es que podían. En una de esas ocasiones fue cuando escribió en el borde del libro de Diofantosu famosa frase a la que ya hemos hecho referencia. De sus palabras parecía que conocía la verdadera solución, y que no tenía ninguna intención de escribirla en detalle, ni por supuesto de publicarla. Hay quien dice que era porque no había logrado dar con la solución completa, pero es un hecho cierto que, a medida que pasaba el tiempo, todas sus observaciones fueron demostradas una por una, siendo su famoso teorema el más obstinado en rendirse.
Fermat, considerado como uno de los mayores genios dotados para las Matemáticas, tenía una formación totalmente autodidacta. El filósofo y también matemático Rene Descartes se refería a él siempre de forma despectiva, y otro de sus estudiosos, el insigne matemático inglés John Wallis, lo llamaba “ese maldito francés”.
Una muestra del interés que siempre han despertado Fermat y sus teoremas se refleja en lo manifestado en una reciente entrevista por Andrew Wiles, decía: “No hay otro problema que pueda justificar lo mismo para mí. Fue la ilusión de mi infancia. Nada puede reemplazar eso. Lo he resuelto. Intentaré resolver otros problemas, estoy seguro. Algunos serán muy difíciles y tendré una sensación de realización otra vez, pero no hay ningún problema matemático que me pueda cautivar como lo hizo Fermat”. Dado que Wiles utilizó más de 100 páginas y modernas técnicas matemáticas para exponer su demostración, con el apoyo de uno de los programas informáticos más avanzado del mundo, en la práctica es imposible que ésta sea la misma que insinuó Fermat.
Fermat no solo fue un genio de las matemáticas sino que además fue un gran provocador de muchos de sus contemporáneos.
TOMADO DE: http://eltrasterodepalacio.wordpress.com/2011/07/04/el-enigma-del-teorema-de-fermat/

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Encontremos las raíces de una cuadrática by Juan Carlos Pérez Pérez

HISTORIA DE LOS NÚMEROS

HISTORIA DE LOS NÚMEROS from JUANCA

BIOGRAFÍA DE GASPARD MONGE

Monge, Gaspard (1746-1818).

Gaspard Monge.

Matemático francés fundador de la geometría descriptiva, y creador junto con Euler y Jean-Baptiste Meusnier de los primeros teoremas de geometría diferencial, nacido el 9 de mayo de 1746 en Beaune (Francia), donde su padre poseía una mercería.

Inicia sus estudios en Beaune, después en el Collège de la Trinité de Lyon y más tarde en la escuela del cuerpo de ingenieros militares de Mézières, cuyo alumnado era por lo general de origen noble; consiguió ingresar en ella invitado por el segundo comandante de esta escuela que vió el plano de la villa de Beaune que Monge había dibujado, pero, debido a su origen humilde, se le emplea como dibujante en el taller de la escuela. Allí imparte matemáticas a los jóvenes que se preparan para trabajos subalternos en el servicio de fortificaciones. Utilizando la biblioteca de la escuela se inicia en las matemáticas superiores y resuelve el problema de la desenfilada, un problema clásico en las fortificaciones, mediante un método gráfico.

En 1766, en la escuela de ingenieros, fue ayudante y, poco después, profesor. Allí impartió clases de matemáticas, física y topografía hasta 1784.

Presentó diversas investigaciones a la Academia de Ciencias Francesa, y en 1772 fue nombrado correspondiente de la misma y en 1780 geómetra asociado.

Se interesó por la metalurgia del hierro, tanto por la fabricación en sí misma como por la teoría metalúrgica, y en 1785, junto con Berthollet y Vandermonde, publicó la primera teoría de la fundición del acero según al doctrina de Lavoisier.

En 1783, el ministro de Marina Pache, le nombra "examinador de guardias de pabellón, de guardias de la marina y aspirantes", y empieza a adoptar actitudes políticas cada vez más radicales, hasta el punto que, cuando triunfa la Revolución Francesa, al día siguiente, el 10 de agosto de 1789, es nombrado ministro de Marina, cargo en el que permanece ocho meses y en el que no tuvo demasiado éxito; dimite el 8 de abril de 1793.

Monge vuelve a la Academia y a la docencia, pero cuando en 1793 la Convección decreta la movilización general, se involucra rápidamente en toda su organización; crea la fábrica de armas de París; trabaja en las oficinas del Comité de Salvación Pública, donde se interesa por la fabricación de cañones; es instructor de la Escuela de Armas, donde difunde métodos de refino de salitre y de fabricación de pólvora y, finalmente, supervisa la construcción de una gran fábrica de pólvora, que termina explotando causando mas de 1000 victimas, lo que provoca su renuncia.

El proyecto de creación de la futura Escuela Politécnica, le absorbe y entusiasma, y consigue imponer sus criterios sobre educación científica: la nueva escuela sería enciclopédica y en ella impartirían docencia los mejores científicos e ingenieros de la época. Aparecen dos disciplinas de especial importancia para él, la geometría descriptiva y la nueva química de Lavoisier. En el proyecto docente incluye que los alumnos, además de recibir lecciones magistrales, realicen prácticas de laboratorio y proyectos dirigidos. Este proyecto ve la luz a finales de 1794 y Monge imparte cursos de geometría descriptiva.

Vuelve a la actividad política y acepta una misión en Italia donde conoce a Napoleón Bonaparte; después se une a una expedición para Egipto y en El Cairo organiza el Instituto de Egipto. A su vuelta a París continúa su actividad docente hasta 1809. Es nombrado senador y en 1808 Napoleón le nombra conde de Péluse. Muere el 28 de julio de 1818.

Obra científica

Desarrolla una original concepción de las matemáticas, que jamás separa de la invención técnica, de hecho, su geometría descriptiva es un procedimiento de dibujo técnico. Además y como consecuencia de toda su labor docente y como puede apreciarse en sus obras "Géométrie descriptive", 1799 y "Application de l´analyse a la géométrie", 1807, es un convencido de que los métodos de dibujo deben ser el lenguaje universal de las ciencias mecánicas. Acuña el término geometría descriptiva que parece por primera vez en septiembre de 1793.

Sin embargo, Monge no empleaba figuras en su geometría, sino que intentaba explicarla mediante la representación mental, apoyándose en la concepción original de las figuras en el espacio según su forma de generarse, y en su experiencia en la práctica técnica. Esto lo generalizaba para cualquier familia de superficies, a las que definía por su forma de generación; así por ejemplo considera:

1- familia de las superficies regladas: engendradas por el movimiento de una recta en el espacio, como son:

. superficies alabeadas: como los conoides, cuyas superficies son engendradas por el desplazamiento de una recta a lo largo de otra recta y de una curva cualquiera que no está contenida en el mismo plano.

. el plano: superficie engendrada por el desplazamiento de una recta paralelamente a sí misma a lo largo de otra recta concurrente.

2- familia de superficies de revolución: engendradas por la rotación de una curva cualquiera alrededor de un eje.

3- familia de las envolventes de superficies dependientes de un parámetro: engendradas por las características de las envueltas, es decir, por las curvas de intersección de las envueltas con una envuelta infinitamente próxima.

El estudio de las envolventes lleva a Monge a importantes conclusiones relativas a la teoría de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, al asociar estas ecuaciones con una familia de superficies. Monge parte de los estudios relativos a las curvas de doble curvatura de Clairaut, y en una memoria enviada a la Academia de Ciencias Francesa en 1771 define la recta polar de un punto como la intersección de un plano normal a la curva en ese punto con un plano normal infinitamente próximo a él; el centro de la curvatura será por tanto el pie de la perpendicular trazada desde el punto a su recta polar. A continuación construye la envolvente de los planos normales a la curva, obteniendo una superficie desarrollable que denomina superficie polar. Demuestra que una curva en el espacio admite infinidad de evolutas, que constituyen una familia de líneas geodésicas sobre la superficie polar.

En 1775, cuando Euler ya ha encontrado analíticamente las condiciones que debe verificar una superficie para que sea desarrollable, envía otra memoria a la Academia en la que describe la ecuación en derivadas parciales de las superficies desarrollables, muestra la diferencia entre éstas y las superficies alabeadas y demuestra que las desarrollables son equivalentes a las superficies engendradas por el movimiento de una recta constantemente tangente a una curva alabeada dada.

En 1776 presenta una nueva memoria sobre desmontes y terraplenes donde realiza una aplicación de las superficies desarrollables al estudiar las líneas de curvatura de las superficies, estudio iniciado ya por Euler en 1760, con el denominado teorema de Euler. En 1774, orienta a su discípulo Meusnier en el estudio de este teorema quien le completa relacionando la expresión de la curvatura de una sección oblicua a la de una sección normal, relación hoy conocida como teorema de Meusnier.

Monge sigue trabajando y elabora su teoría de las líneas de curvatura, basada en que las líneas de curvatura son curvas sobre la superficie, tangentes en cada uno de sus puntos a una de las direcciones principales; de esta manera, estas curvas forman sobre la superficie dos familias de curvas ortogonales correspondientes a las curvaturas máxima y mínima; demuestra que las normales a la superficie a lo largo de las líneas de curvatura engendran dos familias de desarrollables ortogonales. Posteriormente empleó esta teoría para resolver el problema de los desmontes y terraplenes.

TOMADO DE: http://www.mcnbiografias.com/app-bio/do/show?key=monge-gaspard

CHISTE MATEMÁTICO 5

CHISTE MATEMÁTICO 4