INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO2

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

HISTORIA DEL CÁLCULO VECTORIAL

TOMADO DE:https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/realquiler/fich/jfgh.pdf

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO VECTORIAL

TOMADO DE:http://www.quimiziencia.com/downloads/1bach/EJERCICIOS%20RESUELTOS%20DE%20CALCULO%20VECTORIAL.%20PRIMERO%20BACHILLERATO.pdf

CÁLCULO VECTORIAL

TOMADA DE:http://selectividad.intergranada.com/Fisica/2_bach/Tema_0_Intro_a_Vectores.pdf

CHISTE N° 58

TOMADO DE: http://www.mis-chistes.org/imagenes/ver/997

HIPÉRBOLA Y ELIPSE

TOMADO DE:http://www.luiszegarra.cl/moodle/pluginfile.php/152/mod_resource/content/1/cap12.pdf

ELIPSE

TOMADO DE:https://academica.ues.edu.sv/uiu/elementos_estudio/matematica/Jesus%20Infante%20Murillo%20-%20Geometria%20Analitica/6.%20Elipse.pdf

HIPÉRBOLA TEORÍA

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias (d₁ y d₂) a dos puntos fijos llamados focos (F₁ yF₂) es constante.

El valor de esa constante es la distancia entre los vértices V₁ y V₂ de la hipérbola (2a).

La hipérbola también se puede definir como una cónica, siendo la intersección del conoy un plano cuyo ángulo es menor que el de su generatriz.

Elementos de la hipérbola

Los elementos de la hipérbola son:

• Focos: son los dos puntos fijos (F₁ y F₂).
• Radio vector: es la distancia R de un punto de la hipérbola (P) a cualquiera de los focos.
• Eje focal: es el eje de simetría E que une a los dos focos. También se llama eje transverso.
• Eje no transverso: es la mediatriz T del eje focal.
• Centro: es el punto medio O de los dos focos. También se puede definir como la intersección del eje focal y el transverso.
• Vértices: son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola (V₁ y V₂).

• Distancia focal: es la distancia 2c entre focos. También se denota como F₁F₂.
• Eje real: es es la distancia 2a entre vértices.
• Eje imaginario: es la distancia 2b de los puntos B₁ y B₂. Los puntos B₁ y B₂se generan como vemos en las relaciones entre semiejes.
  Así pues, existe una relación entre los semiejes y la distancia focal:
  
  
• Asíntotas: son las líneas rectas (A₁ y A₂) que se aproximan a la hipérbola en el infinito.
• Puntos interiores y exteriores: la hipérbola divide el plano en tres regiones. Dos regiones que contienen un foco cada una y otra región sin ningún foco. Los puntos contenidos en las regiones con un foco se llaman interiores (I) y los otros exteriores (Ex).
• Tangentes de la hipérbola: sobre cada punto P_i de ambas ramas de la misma. Cada tangente es la bisectriz de los dos radios vectores del punto P_i.

• Circunferencia principal (CP): su radio r=a y su centro en O. Es el lugar geométrico de las proyecciones de un foco sobre las tangentes.
• Directrices de la hipérbola: son dos rectas paralelas al eje transverso (D₁ y D₂). Su distancia a cada una es a/e (e es la excentricidad de la hipérbola). Pasan por las intersecciones de la circunferencia principal con las asíntotas (A₁ yA₂).

Hipérbola equilátera

La hipérbola equilátera es la que tiene sus asíntotas (A₁ y A₂) perpendiculares entre sí, o, dicho de otra manera, cuando forman un ángulo con cada eje de 45º.

Relación entre semiejes de la hipérbola

Las semiejes de la hipérbola (a y b) se relacionan con la distancia focal (c) por la siguiente fórmula:

Geométricamente podemos encontrar los puntos B₁ y B₂. Para ello, se trazan las rectas tangentes a la hipérbola en los vértices V₁ y V₂. Las dos tangentes cortarán en las asíntotas en cuatro puntos. Unimos los segmentos dos a dos siendo de longitud 2a y perpendicular al eje no transverso. Los dos puntos producto de la intersección de los dos segmentos y el eje no transverso serán B₁ y B₂. Siendo O=(o₁,o₂) el centro de la hipérbola, tendremos que B₁=(o₁,o₂+b) y B₂=(o₁,o₂-b).

De esta forma, se podría calcular el semieje imaginario (b) a partir del semieje real (a) y la semidistancia focal (c):

Ecuación de la hipérbola

La ecuación de la hipérbola se puede expresar cuando su centro es O=(o₁,o₂) como:

Si la hipérbola tiene su centro en el origen, O=(0,0), su ecuación es:

Además, los puntos de una hipérbola son los que cumplen la ecuación general de la hipérbola:

siendo A, B, C, D y E escalares (números reales) y necesariamente debe cumplir que los coeficientes de x² e y² (A y C) son no nulos y tienen diferente signo.

Asíntotas de la hipérbola

Las asíntotas de la hipérbola (A₁ y A₂) son las dos líneas rectas que se aproximan cada vez más a la hipérbola pero no llegan a intersectarla. En el infinito las asíntotas estarán a una distancia 0 de ella.

Las ecuaciones de las asíntotas se pueden obtener si se conocen el semieje real (a) y el semieje imaginario (b).

Excentricidad de la hipérbola

La excentricidad mide lo “abierta” que es la hipérbola. Puesto que c (semidistancia focal) es siempre mayor que a (semieje real), la excentricidad de la hipérbola es siempre mayor que la unidad.

La excentricidad es mayor o igual a 1. Si ésta es muy próxima a 1, la hipérbola tiende a una recta partida. Cuando laexcentricidad crece, la hipérbola tiende a dos rectas paralelas al eje no transverso, o dicho de otra forma, las dos ramas de la hipérbola están más abiertas.

La excentricidad también se puede calcular a partir de los semiejes (a y b) mediante la fórmula:

Construcción de la hipérbola por puntos

Veamos una forma sencilla para la construcción geométrica de la hipérbola, conociendo el eje real (V₁V₂=2a) y la distancia focal (F₁F₂=2c).

• Dibujamos la línea del eje focal E, sobre la que marcamos los dos vértices V₁ y V₂ y su centro O, equidistante de ellos una distancia a. Marcamos también los dos focos, equidistantes del centro O una distancia c.
• Ahora, sobre el mismo eje y a partir del segmento 2c hacia afuera, marcamos unos puntos cualquiera, supongamos que cuatro: P₁, P₂, P₃, P₄.
• Con un compás, en cada uno de ellos tomamos dos radios, r=P₁V₁ y r’=P₁V₂.
• Con esos radios y centros en los dos focos F₁ y F₂ trazamos arcos. Los cuatro puntos donde se cortan son puntos de la hipérbola.
• Repetimos el proceso con P₂, P₃ y P₄.
• Si unimos los puntos obtenidos, apoyándonos sobre las asíntotas, obtendremos la hipérbola.
• Vemos que cada uno de esos puntos cumple ri – ri’ = d1 – d2 = 2a, que, como se han trazado con centro en los dos focos, cumple la definición de la hipérbola.

TOMADO DE:http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/hiperbola/

LOGARITMOS

Definición, propiedades, representación gráfica.

En la expresión a^b =c "a" es la base y "b" es el exponente.

    En la expresión log_a c= b, "a" se denomina base del logaritmo y b se llama argumento, con a>0, b>0 y a ¹1.     

     La base de la potencia ha pasado a ser la base del logaritmo, y el exponente el resultado del logaritmo; el argumento era el resultado de la potenciación, parece complicado, pero con un ejemplo es más fácil de ver.

2^x= 32

esto es algo incómodo de calcular, así que se recurre a los logaritmos

 log₂32=x

En otras palabras, el resultado del logaritmo en base x de un número es el exponente al que hay que elevar la base x para obtener el número.

Cualquier número real positivo se puede expresar con logaritmos.

log₁₀5=0.6 , porque 10^0.6=5

Un número negativo no puede ser el resultado de una potencia.

Propiedades:

Las cuatro últimas propiedades encierran la utilidad de los logaritmos: trabajando con exponentes, el producto se convierte en suma; el cociente, en diferencia; la potencia, en producto; y la raíz en cociente. Todas las operaciones se transforman en otra más sencilla.

Logaritmos decimales

Los logaritmos decimales son aquellos cuya base es 10 , son los más comunes para operar, y se representan como log x=y

Logaritmos neperianos

Después de estudiar diversos fenómenos de crecimiento y decrecimiento en la Naturaleza (por ejemplo: aumento de una población de bacterias, desintegración radiactiva, etc.), se observó que una y otra vez aparecían las potencias de un número irracional al que se llamó el “ número e ”:

 

Para estudiar esos fenómenos son muy útiles los logaritmos cuya base es el número  e , llamados logaritmos neperianos  en honor de John Neper.  Se representan así:   ln x = log _e x 

Cambios de base de logaritmos

Para intercambiar logaritmos en base 10 con logaritmos neperianos podemos aplicar esta fórmula:

ln x = log x / log e

En general para intercambiar bases podemos utilizar esta fórmula:

Función logarítmica:

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

Ecuaciones logarítmicas

Cuando en una ecuación la variable o incógnita aparece como argumento o como base de un logaritmo, se llama logarítmica.
La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos procedimientos utilizados en la resolución de las ecuaciones habituales. Aunque no existen métodos fijos, habitualmente se procura convertir la ecuación logarítmica en otra equivalente donde no aparezca ningún logaritmo. Para ello, se ha de intentar llegar a una situación semejante a la siguiente:
loga f (x) = loga g (x)
Entonces, se emplean los antilogaritmos para simplificar la ecuación hasta f (x) = g (x), que se resuelve por los métodos habituales.
También puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación equivalente del tipo:
loga f (x) = m
de donde se obtiene que f (x) = am, que sí se puede resolver de la forma habitual.

Sistemas de ecuaciones logarítmicas

Cuando en un sistema aparecen una o varias ecuaciones logarítmicas, se denomina sistema de ecuaciones logarítmicas. En el caso de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se pueden producir tres casos distintos:

• Un sistema formado por una ecuación polinómica y una logarítmica.
• Un sistema constituido por dos ecuaciones logarítmicas.
• Un sistema compuesto por una ecuación polinómica y una ecuación exponencial.

En cada caso, se utilizan los métodos habituales de resolución de sistemas de ecuaciones, teniendo siempre presente que estas ecuaciones han de transformarse en otras equivalentes, donde la incógnita no aparezca en el argumento o la base del logaritmo, ni en el exponente de la función exponencial.

EJERCICIOS:

1 

2 

3

4

5 

TOMADO DE:http://www.vitutor.com/al/log/g_e.html  

http://www.colegiosansaturio.com/deptomatesweb/SANSAMATES/Trabajos/logaritmos/def.html