TOMADO DE: http://imitaris.com/un-chiste-matematico/
MATEMÁTICA PARA TODOS
lunes, 30 de junio de 2014
domingo, 29 de junio de 2014
jueves, 26 de junio de 2014
Las noventa manzanas
Un campesino tenía tres hijas y como quisiese, cierta vez, hacer una prueba de inteligencia a las jóvenes, las llamó y les dijo:
- Aquí hay 90 manzanas que ustedes deberán vender en el mercado. María, que es la mayor, llevará 50; Clara recibirá 30 y Lucía se quedará con las 10 restantes. María deberá vender siete manzanas por un tostão[8], las otras deberán vender también por el mismo precio, es decir siete manzanas por un tostão; si María resuelve vender a 300 reales cada una, ese será el precio al que Clara y Lucía deberán vender las manzanas que poseyeren. El negocio debe ser hecho de modo que todas lleguen de retorno a casa con la misma cantidad de dinero.
-¿Y yo puedo dar de regalo alguna las manzanas que llevo?- preguntó María.
- De modo alguno, replicó el viejo campesino. La condición por mi impuesta es esa: María de vender 50, Clara debe vender 30, y Lucía sólo podrá vender 10. Las otras deben imitar el precio que venda María. Hagan la venta de modo que al final tengan todas iguales cuentas.
Y como las jóvenes se sintieron atrapadas, resolvieron consultar el complicado problema, con el profesor de la escuela que vivía en la vecindad.
El maestro de escuela de puede meditar algunos minutos dijo:
- Ese problema es muy sencillo. Vender las manzanas conforme a lo que el viejo determinó y llegarán al resultado que él les pidió.
La jóvenes fueron al mercado y vendieron las manzanas; María vendió 50; Clara vendió 30 y Lucía, 10. El precio fue el mismo para todas y cada una reunió la misma cantidad de dinero.
Díganos ahora el lector como las jóvenes resolvieron la cuestión.
- Aquí hay 90 manzanas que ustedes deberán vender en el mercado. María, que es la mayor, llevará 50; Clara recibirá 30 y Lucía se quedará con las 10 restantes. María deberá vender siete manzanas por un tostão[8], las otras deberán vender también por el mismo precio, es decir siete manzanas por un tostão; si María resuelve vender a 300 reales cada una, ese será el precio al que Clara y Lucía deberán vender las manzanas que poseyeren. El negocio debe ser hecho de modo que todas lleguen de retorno a casa con la misma cantidad de dinero.
-¿Y yo puedo dar de regalo alguna las manzanas que llevo?- preguntó María.
- De modo alguno, replicó el viejo campesino. La condición por mi impuesta es esa: María de vender 50, Clara debe vender 30, y Lucía sólo podrá vender 10. Las otras deben imitar el precio que venda María. Hagan la venta de modo que al final tengan todas iguales cuentas.
Y como las jóvenes se sintieron atrapadas, resolvieron consultar el complicado problema, con el profesor de la escuela que vivía en la vecindad.
El maestro de escuela de puede meditar algunos minutos dijo:
- Ese problema es muy sencillo. Vender las manzanas conforme a lo que el viejo determinó y llegarán al resultado que él les pidió.
La jóvenes fueron al mercado y vendieron las manzanas; María vendió 50; Clara vendió 30 y Lucía, 10. El precio fue el mismo para todas y cada una reunió la misma cantidad de dinero.
Díganos ahora el lector como las jóvenes resolvieron la cuestión.
Solución
María inició la venta fijando el precio de cierre manzana por un tostão. Vendió ese modo 49 manzanas, quedando con una restante y obtuvo de esta primera venta 700 reales. Clara, obligada vender por el mismo precio, vendió 28 por 400 reales quedándose con un resto de dos manzanas. Lucía que disponía 10 manzanas, vendió 7 por un tostado quedando con tres restantes.
A continuación, María vendió una manzana por un precio de 300 reales. Clara según la condición impuesta por su padre, vendió las dos manzanas que todavía tenía por el nuevo precio, es decir 300 reales cada una, obteniendo 600 reales, y Lucía vendió sus tres manzanas restantes por 900 reales, es decir, a 300 reales cada una.
Terminó el negocio es fácil verificar que cada una la jóvenes obtuvo 1000 tostãos
María inició la venta fijando el precio de cierre manzana por un tostão. Vendió ese modo 49 manzanas, quedando con una restante y obtuvo de esta primera venta 700 reales. Clara, obligada vender por el mismo precio, vendió 28 por 400 reales quedándose con un resto de dos manzanas. Lucía que disponía 10 manzanas, vendió 7 por un tostado quedando con tres restantes.
A continuación, María vendió una manzana por un precio de 300 reales. Clara según la condición impuesta por su padre, vendió las dos manzanas que todavía tenía por el nuevo precio, es decir 300 reales cada una, obteniendo 600 reales, y Lucía vendió sus tres manzanas restantes por 900 reales, es decir, a 300 reales cada una.
Terminó el negocio es fácil verificar que cada una la jóvenes obtuvo 1000 tostãos
[8] Tostão" era una moneda no oficial de Brasil, que equivalía a 100 reales
TOMADO DE: http://www.librosmaravillosos.com/matematicadivertidaycuriosa/seccion02.html#_1._Una_resta
El problema de las piñas
Dos campesinos, A y B, encargaron a un feriante vender dos partidas de piñas.
El campesino A entregó 30 piñas que debían ser vendidas a razón de tres por $ 1000; B entregó, también 30 piñas para las cuales estipuló un precio un poco más caro, esto es a razón de 2 por $1000.
Está claro que, efectuada la venta, el campesino A debía recibir $ 10.000 y el campesino B, $15.000. El total de la venta sería, por tanto, de $ 25.000.
Al llegar, sin embargo, a la feria, el feriante se sintió dudoso.
- Si yo comenzara la venta por las piñas más caras, pensó, pierdo la clientela; si inicio el negocio por las más baratas, encontraré después, dificultades para vender las otras. Lo mejor que tengo que hacer es vender las dos partidas al mismo tiempo.
Llegando esa conclusión, el aproblemado feriante reunió las 60 piñas y comenzó a venderlas en grupos de a cinco por $ 2000. El negocio era justificado por un raciocinio muy simple: si yo debía vender a 3 por $1000, y después a 2 por $ 1000, esto es a razón de 400 reales cada una.
Vendidas las 60 piñas el feriante obtuvo $24.000.
¿Cómo pagarles a los dos campesinos si el primero debe recibir $10.000 y el segundo $15.000?
Había una diferencia de $ 1000 que el pobre hombre no sabía cómo explicar, pues había hecho el negocio con el máximo de cuidado.
Intrigadísimo repetía decenas de veces el raciocinio hecho, sin descubrir la razón de la diferencia:
-¡Vender 3 por $ 1000 y después vender 2 por $ 1000 es la misma cosa que vender cinco por $ 2000!
Hay una diferencia de 10 centavos en el valor de cada piña para cumplir correctamente con el total. El feriante amenazaba a la matemática con plagas terribles.
SOLUCIÓN:
La solución del caso es simple y aparece perfectamente indicada en la figura de abajo. En el rectángulo superior están indicadas las piñas del campesino A, y en el rectángulo inferior, las del campesino B.
El feriante sólo disponía, como muestra la figura, que podían ser vendidos, sin perjuicio, 10 grupos a razón de 5 por $2000. Vendidos esos 10 grupos restaban 10 piñas que pertenecían exclusivamente al campesino B y que por tanto no podían ser vendidas sino que a 500 reales cada una.
El campesino A entregó 30 piñas que debían ser vendidas a razón de tres por $ 1000; B entregó, también 30 piñas para las cuales estipuló un precio un poco más caro, esto es a razón de 2 por $1000.
Está claro que, efectuada la venta, el campesino A debía recibir $ 10.000 y el campesino B, $15.000. El total de la venta sería, por tanto, de $ 25.000.
Al llegar, sin embargo, a la feria, el feriante se sintió dudoso.
- Si yo comenzara la venta por las piñas más caras, pensó, pierdo la clientela; si inicio el negocio por las más baratas, encontraré después, dificultades para vender las otras. Lo mejor que tengo que hacer es vender las dos partidas al mismo tiempo.
Llegando esa conclusión, el aproblemado feriante reunió las 60 piñas y comenzó a venderlas en grupos de a cinco por $ 2000. El negocio era justificado por un raciocinio muy simple: si yo debía vender a 3 por $1000, y después a 2 por $ 1000, esto es a razón de 400 reales cada una.
Vendidas las 60 piñas el feriante obtuvo $24.000.
¿Cómo pagarles a los dos campesinos si el primero debe recibir $10.000 y el segundo $15.000?
Había una diferencia de $ 1000 que el pobre hombre no sabía cómo explicar, pues había hecho el negocio con el máximo de cuidado.
Intrigadísimo repetía decenas de veces el raciocinio hecho, sin descubrir la razón de la diferencia:
-¡Vender 3 por $ 1000 y después vender 2 por $ 1000 es la misma cosa que vender cinco por $ 2000!
Hay una diferencia de 10 centavos en el valor de cada piña para cumplir correctamente con el total. El feriante amenazaba a la matemática con plagas terribles.
SOLUCIÓN:
La solución del caso es simple y aparece perfectamente indicada en la figura de abajo. En el rectángulo superior están indicadas las piñas del campesino A, y en el rectángulo inferior, las del campesino B.
El feriante sólo disponía, como muestra la figura, que podían ser vendidos, sin perjuicio, 10 grupos a razón de 5 por $2000. Vendidos esos 10 grupos restaban 10 piñas que pertenecían exclusivamente al campesino B y que por tanto no podían ser vendidas sino que a 500 reales cada una.
De ahí resultó la diferencia que el campesino verificó al terminar el negocio y que nunca pudo explicar.
TOMADO DE: http://www.librosmaravillosos.com/matematicadivertidaycuriosa/seccion01.html#_4._El_problema
miércoles, 25 de junio de 2014
martes, 24 de junio de 2014
lunes, 23 de junio de 2014
OPERACIONES COMBINADAS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
EJEMPLO 1:
Voy a hacer la suma que está entre paréntesis, y la fracción que está multiplicando afuera la bajo tal como está, para seguir manteniendo la igualdad. Agrego el 1 bajo la x, para que se vea que ése es el denominador de ese término, así queda bien aclarado cuales son los denominadores.
El denominador común entre 1 y (x - 1) es (x - 1), como ya se vió en la parte de sumas de expresiones algebraicas racionales (ver aquí). Bajo una sola línea de fracción pongo el denominador común y sigo el procedimiento de la suma de fracciones para determinar lo que queda en el numerador:
Primera fracción:
Divido el denominador común por el denominador de la primera fracción:
(x - 1) dividido 1, es igual a (x - 1) (si divido algo por 1, dá ese mismo algo)
Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la primera fracción:
(x - 1).x
Me va quedando:
Segunda fracción:
Divido el denominador común por el denominador de la segunda fracción:
(x - 1) dividido (x - 1), es igual a 1 (cualquier cosa dividida por sí misma dá 1)
Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la segunda fracción:
1.(4 - x2)
Me queda:
Ahora opero en el numerador para llegar a la mínima expresión: distributiva, juntar términos de igual grado, etc. Lo hago aquí fuera de la fracción, para que se distinga más lo que estoy haciendo en este paso:
x.(x - 1) + 4 - x2 = x2 - x + 4 - x2 = -x + 4
Me queda:
2) Resuelvo la multiplicación:
Una vez resuelto lo que estaba entre paréntesis, resuelvo la multiplicación que quedó:
Factorizo todo lo que se pueda, por si se puede simplificar antes de multiplicar:
x2 - 4 = (x + 2).(x - 2) con el Quinto Caso de Factoreo (Diferencia de Cuadrados)
x 2
Reemplazo el polinomio x2 - 4 por su equivalente factorizado: (x + 2).(x - 2):
Se pueden simplificar solamente los (x - 1):
1
1
Y ahora hago la multiplicación:
En el numerador:
1.(-x + 4) = -x + 4
En el denominador:
(x + 2).(x - 2).1 = (x + 2).(x - 2)
(o si quieren hacer la distributiva, y dá x2 - 4, pero no cambia nada ya que ése era el denominador de la primera fracción que antes factoricé)
Resultado final:
EJEMPLO 2:
Como en los ejercicios combinados de números, hay que separar en términos y resolver cada uno, a menos que algún paréntesis, corchete o llave nos indique otro orden. El primer término tiene una multiplicación, y el segundo término es el número entero 1. Entonces, voy a hacer primero la multiplicación del primer término (en el segundo no hay nada que resolver).
Factoreo todo lo que se pueda, por si hay algo que se pueda simplificar antes de multiplicar:
x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 por el Tercer Caso (Trinomio Cuadrado Perfecto)
x 1
2.x.1
2x
xa + 2x + a + 2 = por el Segundo Caso (Factor Común en Grupos)
x.(a + 2) + 1.(a + 2) =
(a + 2).(x + 1)
Luego reemplazo los polinomios que factoricé:
Y simplifico:
1
(
1
Y ahora hago la multiplicación:
En el numerador:
1.5 = 5
En el denominador:
(a + 2).1 = a + 2
Me queda:
2) La suma:
El segundo término es el número entero 1. Un número entero se puede escribir como fracción con denominador 1:
El denominador común entre (a + 2) y 1 es (a + 2) (EJEMPLO 12)
Bajo una sola línea de fracción pongo el denominador común, y en el siguiente paso determinaré lo que queda en el numerador:
Primera fracción:
Divido el denominador común por el denominador de la primera fracción:
(a + 2) dividido (a + 2) es igual a 1 (Como cualquier cosa que se divide por sí misma)
Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la primera fracción:
1.5 = 5
Me va quedando:
Segunda fracción:
Divido el denominador común por el denominador de la segunda fracción:
(a + 2) dividido 1, es igual a (a + 2) (¿por qué?)
Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la segunda fracción:
(a + 2).1, que igual a (a + 2)
Me queda:
TOMADO DE:http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/racombi.htm
sábado, 21 de junio de 2014
viernes, 20 de junio de 2014
jueves, 19 de junio de 2014
miércoles, 18 de junio de 2014
martes, 17 de junio de 2014
Diez curiosidades científicas e históricas sobre el número 12
Recopilamos algunos datos curiosos sobre el número doce:
1. El doce ha estado ligado durante milenios a la medición del tiempo. Tanto calendarios como relojes se organizan en base a esta cifra: el año consta de 12 meses y el día de 24 horas. Cada hora se divide en 5 × 12 minutos, y cada minuto en 5 × 12 segundos.
2. El duodeno (derivado del término de origen latino "duodecim", que significa "doce") es parte del intestino delgado y en un adulto mide aproximadamente 12 pulgadas de longitud (30,5 cm).
3. La graduación usual de la circunferencia es 360º, es decir, 12 × 30º.
4. También está omnipresente en ciertas unidades de medida. Un pie (unidad de longitud de origen natural) tiene 12 pulgadas.
5. El cuerpo humano cuenta con 12 pares craneales, un grupo de nervios con funciones sensitivas, motoras o mixtas que emergen por los agujeros del cráneo y se relacionan, sobre todo, con la cabeza y el cuello.
6. El doce es el número más pequeño con seis divisores: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Así, el número doce y sus múltiplos son los únicos que tienen a la vez exactamente mitad, tercio, cuarto, dos tercios y tres cuartos.
7. En la mitología y la religión, la importancia de esta cifra es notable. Para los griegos, los dioses olímpicos del Panteón eran doce, como también fueron una docena los trabajos encargados al mítico héroe romano Hércules como penitencia. Según la Biblia, Jacob tuvo doce hijos, y en este mismo libro se menciona que hubo doce tribus de Israel y doce apóstoles.
8. El número de teclas de función de la mayoría de los teclados de ordenador es 12 (F1 a F12).
9. El escritor norteamericano F. Emerson Andrews fundó el 5 de abril de 1944 The Duodecimal Societycon el objetivo de investigar y educar "en la ciencia matemática, con especial dedicación al uso de la Base Doce de numeración, en matemáticas, pesos y medidas". En su publicación periódica, bautizada como The Duodecimal Bulletin, difundían las virtudes de este sistema de numeración.
10. Un total de 12 astronautas han caminado hasta ahora sobre la Luna. Los primeros pisaron el satélite en 1969 y los últimos astronautas pusieron un pie en la superficie lunar en 1972. Todos ellos formaron parte de alguna de las seis misiones Apolo de la NASA.
TOMADO DE: http://www.muyinteresante.es/ciencia/articulo/doce-curiosidades-cientificas-e-historicas-sobre-el-numero-12
1. El doce ha estado ligado durante milenios a la medición del tiempo. Tanto calendarios como relojes se organizan en base a esta cifra: el año consta de 12 meses y el día de 24 horas. Cada hora se divide en 5 × 12 minutos, y cada minuto en 5 × 12 segundos.
2. El duodeno (derivado del término de origen latino "duodecim", que significa "doce") es parte del intestino delgado y en un adulto mide aproximadamente 12 pulgadas de longitud (30,5 cm).
3. La graduación usual de la circunferencia es 360º, es decir, 12 × 30º.
4. También está omnipresente en ciertas unidades de medida. Un pie (unidad de longitud de origen natural) tiene 12 pulgadas.
5. El cuerpo humano cuenta con 12 pares craneales, un grupo de nervios con funciones sensitivas, motoras o mixtas que emergen por los agujeros del cráneo y se relacionan, sobre todo, con la cabeza y el cuello.
6. El doce es el número más pequeño con seis divisores: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Así, el número doce y sus múltiplos son los únicos que tienen a la vez exactamente mitad, tercio, cuarto, dos tercios y tres cuartos.
7. En la mitología y la religión, la importancia de esta cifra es notable. Para los griegos, los dioses olímpicos del Panteón eran doce, como también fueron una docena los trabajos encargados al mítico héroe romano Hércules como penitencia. Según la Biblia, Jacob tuvo doce hijos, y en este mismo libro se menciona que hubo doce tribus de Israel y doce apóstoles.
8. El número de teclas de función de la mayoría de los teclados de ordenador es 12 (F1 a F12).
9. El escritor norteamericano F. Emerson Andrews fundó el 5 de abril de 1944 The Duodecimal Societycon el objetivo de investigar y educar "en la ciencia matemática, con especial dedicación al uso de la Base Doce de numeración, en matemáticas, pesos y medidas". En su publicación periódica, bautizada como The Duodecimal Bulletin, difundían las virtudes de este sistema de numeración.
10. Un total de 12 astronautas han caminado hasta ahora sobre la Luna. Los primeros pisaron el satélite en 1969 y los últimos astronautas pusieron un pie en la superficie lunar en 1972. Todos ellos formaron parte de alguna de las seis misiones Apolo de la NASA.
TOMADO DE: http://www.muyinteresante.es/ciencia/articulo/doce-curiosidades-cientificas-e-historicas-sobre-el-numero-12
lunes, 16 de junio de 2014
CHISTE
-Mamá ¿porqué te están saliendo canas?
-Cada una es por una travesura tuya
-¡Ah!, ahora entiendo porqué mi abuelita tiene todo el pelo blanco.
tomado de: http://www.aldadis.net/revista1/hoy/chistes.htm
-Cada una es por una travesura tuya
-¡Ah!, ahora entiendo porqué mi abuelita tiene todo el pelo blanco.
tomado de: http://www.aldadis.net/revista1/hoy/chistes.htm
domingo, 15 de junio de 2014
sábado, 14 de junio de 2014
LA PIRÁMIDE ACODADA DE SNOFRU
Cerca de El Cairo se encuentra esta extraña pirámide, la segunda que en su vida construyó el faraón
Snofru, de la IV dinastía (hacia 2615 aJC), anterior a Keops. En la figura se detallan las principales dimensiones
de su sección vertical por el centro de sus caras.
Sigue siendo motivo de especulación del porqué de esta extraña forma. Unas primeras cábalas apuntan a la escasez de material una vez iniciada, otras, más verosímiles, a que el suelo, menos rocoso de lo que creían los constructores, fue cediendo más de lo previsto, deformando y poniendo en peligro las galerías interiores. Como fuere, se tomó a partir de los 49 m de altura la decisión de reducir la pendiente inicial de la pirámide (53,45º) a una inferior de 43,22º, con lo que la altura total, prevista inicialmente en 133,31 m, se redujo a unos 105 m.
Pero, ¿valió la pena esta reducción? Unos sencillos cálculos establecen las restantes
dimensiones:
z1 = 49,00 m (ALTURA HASTA LA BASE INTERMEDIA)
z2 = 55,71 m (ALTURA DESDE LA BASE INTERMEDIA HASTA LA CÚSPIDE)
a1 = 188 m (ANCHO DE LA BASE INTERMEDIA)
a2 = 117,97 m(ANCHO DE LA BASE DE LA PIRÁMIDE)
Con lo que el volumen actual de la pirámide es:
Con lo que el volumen actual de la pirámide es:
V = 49⋅[1882 + 188⋅117,97 + 117,972]/3 + 117,972⋅55,71/3 = 1.425.279 m3
Mientras que el volumen previsto hubiera sido:
V’ = 1882⋅133,31/3 = 1.570.570 m3
Es decir, que el ahorro conseguido es sólo de un 9,25 %. Poco iban a reducirse los
asentamientos y poco material se ahorró.
En realidad los ingenieros de Snofru tenían ya una triste experiencia en la construcción
de pirámides. La primera había sido abandonada, y esta segunda quedó como una chapuza
para los siglos de los siglos. Pero el faraón era tenaz, y en la tercera, la llamada “Pirámide
Roja”, de unas dimensiones sólo ligeramente inferiores a las de Keops, consiguió
inmortalizarse. En ésta, la armoniosa proporción de sus dimensiones exteriores y la perfección
del sistema de cámaras funerarias la convierten en una de las obras más logradas del Imperio
Antiguo. Allí fue enterrado finalmente el monarca.
ADAPTADO DE: http://www.mensa.es/carrollia/c69.pdf
Snofru, de la IV dinastía (hacia 2615 aJC), anterior a Keops. En la figura se detallan las principales dimensiones
de su sección vertical por el centro de sus caras.
Sigue siendo motivo de especulación del porqué de esta extraña forma. Unas primeras cábalas apuntan a la escasez de material una vez iniciada, otras, más verosímiles, a que el suelo, menos rocoso de lo que creían los constructores, fue cediendo más de lo previsto, deformando y poniendo en peligro las galerías interiores. Como fuere, se tomó a partir de los 49 m de altura la decisión de reducir la pendiente inicial de la pirámide (53,45º) a una inferior de 43,22º, con lo que la altura total, prevista inicialmente en 133,31 m, se redujo a unos 105 m.
Pero, ¿valió la pena esta reducción? Unos sencillos cálculos establecen las restantes
dimensiones:
z1 = 49,00 m (ALTURA HASTA LA BASE INTERMEDIA)
z2 = 55,71 m (ALTURA DESDE LA BASE INTERMEDIA HASTA LA CÚSPIDE)
a1 = 188 m (ANCHO DE LA BASE INTERMEDIA)
a2 = 117,97 m(ANCHO DE LA BASE DE LA PIRÁMIDE)
Con lo que el volumen actual de la pirámide es:
Con lo que el volumen actual de la pirámide es:
V = 49⋅[1882 + 188⋅117,97 + 117,972]/3 + 117,972⋅55,71/3 = 1.425.279 m3
Mientras que el volumen previsto hubiera sido:
V’ = 1882⋅133,31/3 = 1.570.570 m3
Es decir, que el ahorro conseguido es sólo de un 9,25 %. Poco iban a reducirse los
asentamientos y poco material se ahorró.
En realidad los ingenieros de Snofru tenían ya una triste experiencia en la construcción
de pirámides. La primera había sido abandonada, y esta segunda quedó como una chapuza
para los siglos de los siglos. Pero el faraón era tenaz, y en la tercera, la llamada “Pirámide
Roja”, de unas dimensiones sólo ligeramente inferiores a las de Keops, consiguió
inmortalizarse. En ésta, la armoniosa proporción de sus dimensiones exteriores y la perfección
del sistema de cámaras funerarias la convierten en una de las obras más logradas del Imperio
Antiguo. Allí fue enterrado finalmente el monarca.
ADAPTADO DE: http://www.mensa.es/carrollia/c69.pdf
miércoles, 11 de junio de 2014
martes, 10 de junio de 2014
TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
TOMADO DE: http://prezi.com/is9wq9r93ugt/complemento-mate-trigonometria-esferica/#
domingo, 8 de junio de 2014
jueves, 5 de junio de 2014
miércoles, 4 de junio de 2014
martes, 3 de junio de 2014
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