LA DERIVADA, EL LENGUAJE DEL MOVIMIENTO

Galileo, al describir por vez primera una función que relacionaba el espacio y el tiempo en la caída de los cuerpos, había dejado abierta la necesidad del Cálculo Diferencial; el cálculo con derivadas.

La derivada, en general, expresa el ritmo de cambio instantáneo en cualquier fenómeno funcional.

Pero, cuando se trata de cuerpos en movimiento, esta interpretación es especialmente precisa e interesante. De hecho, históricamente fue la que dio origen al estudio de las derivadas.

U En cualquier movimiento, el espacio recorrido s es función del tiempo transcurrido:  s = s (t)

La tasa de variación entre dos instantes t = a  y  t = b es el espacio recorrido en ese intervalo de tiempo: s (b) – s (a)

La tasa de variación media en ese mismo intervalo es conocida como  velocidad media:   

Cuando el intervalo de tiempo [a , b] es infinitesimal, casi cero, ésa es la velocidad instantánea:

 

A este límite se le llama derivada. Es decir: la velocidad instantánea en un momento dado, es la derivada del espacio como función del tiempo en ese momento:

Vi (a) = s’(a)

U A su vez, la velocidad cambia a lo largo del tiempo, también es función del tiempo: v_i (t) = s’(t)

La tasa de variación entre dos instantes t = a  y  t = b es la aceleración experimentada en ese intervalo de tiempo:

A _{a , b} = Vi (b) – V_i (a) = s’ (b) – s’ (a)

La tasa de variación media en ese mismo intervalo es conocida como aceleración media:   

Cuando el intervalo de tiempo [a , b] es infinitesimal, casi cero, ésa es la aceleración instantánea:

Es decir: la aceleración instantánea es la derivada de la velocidad como función del tiempo en un  momento dado. Y por ser derivada de una derivada, se dice que es la derivada segunda del espacio con respecto al tiempo en ese momento:

A_i (a) = Vi’ (a) = [ s’]’(a) = s”(a) 

Ejemplo.- Un movimiento viene dado por la siguiente ecuación:  s (t) = 2t² – 5. Vamos a calcular la velocidad  instantánea cuando  t = 1 seg.

En este ejemplo, para calcular la derivada no vamos a usar tablas de valores, sino que razonaremos con expresiones algebraicas. Además, al intervalo de tiempo  [1 , b]  lo llamaremos  [1 , 1 + h]. Será lo mismo decir que  b !  1  o que  h ! 0 .

Velocidad media en [1 , 1 + h]:

            

Velocidad instantánea en t = 1 :

   

LA LEY DE CAÍDA DE LOS CUERPOS

Volvemos al intento de Galileo por demostrar que todos los cuerpos caen con la misma aceleración, en el punto donde él no pudo seguir.

Si en el primer intervalo de tiempo el espacio recorrido era  C, Galileo había comprobado que:    

s (t) = C · t ²

¿Con qué rapidez cambia  s(t) ?. Calculemos sus velocidades media e instantánea:

Velocidad media en [t , t + h]:

           

Velocidad instantánea en t :

 

Aceleración media en [t ,t + h]:

Aceleración instantánea en t :

En definitiva, Galileo tenía razón: la aceleración de los cuerpos  que caen es constante (2·C).

U Se comprobó que la aceleración de los cuerpos en caída libre, sin rozamientos, es: g = 9,8 m/seg²,  valor llamadoaceleración de la gravedad

Entonces:  g = 2·C    Þ   C = ½ · g    Þ    s (t) = ½ · g · t²

es la expresión del espacio recorrido por un cuerpo en caída libre.

U ¿Quiénes fueron capaces de completar la tarea de Galileo?... Isaac Newton y W.G. Leibnitz, ambos por separado y casi a la vez, lo cual originó una fuerte disputa entre ellos.

Newton y Leibnitz iniciaron el Cálculo Diferencial y, al medir el ritmo de cambio de los fenómenos físicos, naturales e incluso sociales, abrieron las puertas al espectacular desarrollo científico y tecnológico que ha transformado el mundo en 3 siglos tanto o más que en toda la historia anterior. Parecía que por fin se había cumplido el sueño pitagórico: explicar el mundo con Matemáticas.

TOMADO DE:http://catedu.es/matematicas_mundo/HISTORIA/historia_derivada.htm

LA NECESIDAD DEL CÁLCULO DIFERENCIAL

Necesidades matemáticas en el s. XVII.

Galileo quería demostrar que la aceleración es la misma para todos los cuerpos en caída libre. Aquí puedes ver cómo llegó a formular la función que relaciona el espacio recorrido con el tiempo:

 s (t) = C· t ²

Pero para conseguir su propósito, pensemos en todo lo que aún le faltaba:

Había que comenzar por plantearse: ¿qué es la aceleración? ... el ritmo de cambio de la velocidad.

Lo cual nos lleva a otra pregunta: ¿qué es la velocidad? ... el ritmo de cambio de la posición del cuerpo (del espacio recorrido)

*Así que, era necesario estudiar el ritmo de cambio de una función

(años más tarde se le llamaría derivada)

Vamos a hacer una primera aproximación a ese estudio:

Para simplificar, supongamos que el cuerpo recorre un espacio de 1 m. en el primer segundo. Entonces: 

t (segundos)	1	2	3	4	5
s (t) = t 2 (metros)	1	4	9	16	25

Supongamos que queremos estudiar la velocidad en   t₀ = 2 . Para ello comparemos la situación en ese momento con la de un momento posterior, cada vez más cercano: 

t (segundos)	5	4	3
) t incremento de t desde t 0 = 2 hasta t	5 – 2 = 3 seg.	4 – 2 =  2 seg.	3 – 2 = 1 seg.
) s incremento de s desde t 0 = 2 hasta t	25 – 4 = 21 m.	16 – 4 = 12 seg.	9 – 4 = 5 seg.
) s / ) t velocidad media desde t 0 = 2 hasta t	21 / 3 = 7 m./seg.	12 / 2 = 6 m./seg.	5 / 1 = 5 m./seg.

Como vemos, la velocidad media no es la misma según la amplitud del intervalo de tiempo considerado. Así que, como nos interesa es la velocidad en t₀ = 2, vamos a acercarnos más:

t (segundos)	2,5	2,2	2,1
) t incremento de t desde t 0 = 2 hasta t	2,5 – 2 = 0,5 seg.	2,2 – 2 = 0,2 seg.	2,1 – 2 = 0,1 seg.
) s incremento de s desde t 0 = 2 hasta t	2,5 2 – 4 = 2,25 m.	2,2 2 – 4 = 0,84 m.	2,1 2 – 4 = 0,41 m.
) s / ) t velocidad media desde t 0 = 2 hasta t	2,25 / 0,5 = 4,5 m./seg.	0,84 / 0,2 = 4,2 m./seg.	0,41 / 0,1 = 4,1 m./seg.

Resumiendo resultados: 

t (segundos)	5	4	3	2,5	2,2	2,1
) s / ) t velocidad media desde t 0 = 2 hasta t	7 m./seg.	6 m./seg.	5 m./seg.	4,5 m./seg.	4,2 m./seg.	4,1 m./seg.

Vemos que al reducir el intervalo de tiempo considerado, la velocidad media cada vez varía menos: parece acercarse ilimitadamente a un número (¿4 m./seg.?). El último cálculo se refiere a un intervalo de tiempo muy breve: desde t₀ = 2 hasta t = 2,1 ... sólo una décima de segundo.

Pero nosotros no queremos saber la velocidad media de décima en décima de segundo, ¡sino al instante! (como en el velocímetro del coche, donde la vemos cambiar continuamente). Y ¿cuánto es  un instante?: diremos que un ) t casi cero. Desde luego, en ese instante, ) stambién será casi cero.

Así que también era necesario estudiar:

* El cociente del incremento de una función entre el incremento de su variable independiente (en el ejemplo, ) s / ) t).

Se le llama tasa de variación media

* El cálculo con cantidades muy pequeñas, que son “casi cero”

A esas cantidades se les llama infinitésimos y al cálculo con ellos, paso al límite.

Como ves, en Matemáticas, para resolver un problema surge la necesidad de dominar nuevos conceptos que están “por debajo” de él. Sólo asegurando esos “cimientos” se puede construir luego un “edificio” de razonamientos que llegue hasta la solución del problema inicial.

Galileo no pudo completar esta obra, pero dejó marcado el camino a sus sucesores, Isaac Newton y Wilhelm G. Leibnitz, quienes estudiaron esos conceptos necesarios, desarrollando el concepto de derivada y el Cálculo Diferencial. 

TOMADO DE:http://catedu.es/matematicas_mundo/HISTORIA/historia_CDiferencial.htm

La disputa entre Newton y Leibniz por la creación del cálculo II PARTE

El porqué de la disputa

Por lo que sabemos, Newton había comenzado a trabajar desde 1666, cuando apenas contaba con 23 años, en una forma de cálculo cuyo manuscrito denominó (en secreto porque nunca lo publicó en vida) Método de las Fluxiones y Fluentes. Sabemos también que desde 1669, Newton había hecho circular entre un reducido grupo de sus más cercanos discípulos su manuscrito de  De Analysi per Equationes Numero Terminorum Infinitas, en el que hacía un breve recuento, nada explícito, de una de las aplicaciones de las fluxiones (pero, como veremos, De Analysi per Equationes era un texto secreto, sólo para iniciados, que no saldría a la luz pública hasta 35 años más tarde).

Por otra parte sabemos, gracias a los papeles privados de Leibniz, que éste comenzó a trabajar en su versión del cálculo en 1674 (ocho años después de Newton), cumplidos ya los 28 años, y sin que supiera nada de las fluxiones de Newton puesto que éste nada había publicado al respecto. Dos años después, el 11 de noviembre de 1675, de acuerdo con sus notas de trabajo, Leibniz alcanzó un hito en el desarrollo de su método al lograr emplear el cálculo para encontrar el área bajo la curva de una función.

Debido a la masa de papeles supervivientes de Newton, ahora se ha establecido fuera de toda duda que Newton fue el primero en llegar al cálculo. Él desarrolló por primera vez su teoría de "fluxiones"[[iii]] entre 1665 y 1666. A mediados de 1665, Newton fue capaz de establecer los algoritmos en la generalidad con la que iban a ser expuesta por Leibniz dos décadas después. Además, esto demuestra que Newton no pudo haber plagiado a Leibniz precisamente por el hecho de que alrededor de 1665-66, Leibniz, con veinte años, todavía no sabía nada de matemáticas. Ahora, la otra pregunta que queda por responder es si Leibniz era culpable de plagio. Mientras que los historiadores rápidamente establecieron desde el principio que Newton había llegado al cálculo mucho antes que Leibniz, el caso de Leibniz era diferente. Partidarios de Newton en el siglo 20 elevaron acusaciones de plagio en contra de Leibniz, algunas de las cuales rayan lo ridículo. Por ejemplo deslizan la idea de Leibniz como un propagandista alemán acostumbrado al engaño político y al cual se lo acusa de un bien pensado plan para privar a Newton de todo el crédito. Además de inaugurar el sistema de espionaje en el ámbito científico. En este punto, sin embargo, se ha establecido más allá de toda duda de que Leibniz llegó al cálculo de manera independiente durante el período de 1673 a 1676. En el sentido de que los descubrimientos de Leibniz ocurren cronológicamente en el tiempo después de los de Newton, algunos historiadores han considerado a Leibniz como el segundo inventor del cálculo. Sin embargo, esto no impide ni debería quitarle a Leibniz el crédito que se le deba por inventar los procedimientos algorítmicos del cálculo diferencial.

Las acusaciones contra Leibniz tienen sus raíces en una secuencia de acontecimientos que se produjeron entre 1673 y 1676. Estos eventos jugaron un papel crucial en la disputa que surgió después.

Primera visita de Leibniz a Londres 

Antes de 1672, Leibniz era un novato en Matemáticas. Estando en París, conoció a Christiaan Huygens y estudió bajo su tutela. En 1673, Leibniz visitó por primera vez Londres en una misión diplomática. En este momento, él sabía muy poco de Newton, pero tenía impresiones favorables de los conocidos más íntimos de Newton en la Royal Society, Henry Oldenburg[[iv]] y John Collins. Durante su estancia de dos meses en Londres, nunca conoció a Newton. Ni se enteró de nada sobre el trabajo realizado por Newton, ya que ninguna de sus obras estaban todavía impresas. Sin embargo, sí se reunió con Oldenburg y otros matemáticos, estos probablemente tenían una idea de los trabajos sobre series  realizado por los matemáticos en el continente. Durante su estancia en Londres, compró una copia de las Conferencias geométricas de Isaac Barrow, el predecesor de Newton en la cátedra Lucasiana de matemáticas en Cambridge. Esto es significativo ya que Barrow había trabajado en el método de tangentes (íntimamente relacionado con el cálculo diferencial) y el libro contenía una exposición sobre este tema. Newton y sus seguidores utilizaron este hecho en el conflicto y acusaron a Leibniz de no darle el crédito merecido a Barrow. Sin embargo, los seguidores de Leibniz negaron que este haya leído dicho libro antes de desarrollar su cálculo diferencial. Fue durante esta visita a Londres que Leibniz fue acusado de plagio por Pell. Aunque Leibniz se las arregló para absolver el caso al mostrar sus notas privadas, este incidente fue utilizado más adelante por Newton contra él.

La obra  sobre el cálculo De analyse per aequationes numero terminorum infinitas -que le valió a Newton la cátedra lucasiana que dejó su maestro Barrow- fue finalizada en 1669 aunque sólo la publicó en 1711. La foto muestra la portada de su primera edición donde además se puede ver el cálculo del área bajo la parábola x m/n usando el teorema fundamental del cálculo mediante primitivas.

Una vez que Leibniz volvió a París, comenzó a estudiar las obras matemáticas de Cavalieri, James Gregory, Pascal, Sluse y otros. También comenzó a trabajar en series. Además él estaba en correspondencia con Henry Oldenburg. De los informes matemáticos y cartas que Leibniz recibió de Oldenburg, aprendió del trabajo británico sobre las series infinitas y así se enteró de que algunos de sus trabajos sobre series había sido anticipado por los británicos (en particular, Gregory y Newton). Como resultado, Leibniz todo el tiempo tenía la impresión de que la mayor experiencia de Newton era en el método de series. Los dos famosas cartas de 1676 escrita por Newton no hizo más que confirmar esta impresión de Leibniz.

En octubre de 1675, Leibniz desarrolló las ideas de su cálculo diferencial. Dado que, hasta la fecha, ninguna de las obras de Newton habían sido publicados, Leibniz no tenía forma de saber que Newton ya había llegado al cálculo. La única manera que podía saber algo acerca de la obra de Newton era a través de su correspondencia con Oldenburg y Collins. Sin embargo, Hall menciona que esta correspondencia a principios del verano de 1675 estaba relacionada con álgebra en lugar del cálculo. Más tarde, cuando la disputa ya estaba en marcha, Los Newtonianos argumentaron que Leibniz aprendió mucho acerca de las matemáticas británicas de Tschirnhaus[[v]] que pasó algún tiempo en Inglaterra antes de su visita a Leibniz en 1675. Sin embargo, las notas hechas por Leibniz indican que sólo tenía conversaciones casuales con Tschirnhaus y por lo tanto no pudo haber aprendido mucho.

Nueva visita a Londres en 1676

Para ese entonces Leibniz llevaba más de dos años trabajando en su versión del cálculo. Durante su segunda visita a Londres se reunió con Oldenburg y Collins y con otros discípulos de Newton, nunca con éste, y cabe la posibilidad de que Collins le hubiese mostrado una copia del manuscrito de De Analysi per Equationes, que habría llegado a sus manos a través de Isaac Barrow a quien se la había prestado el propio Newton. Este tipo de intercambio científico no era extraño y, dado el carácter de Leibniz, tampoco parece ni extraño ni imposible que éste hubiese indagado hasta llegar a ver una copia del manuscrito. La avidez de Leibniz por el conocimiento era, incluso entonces, proverbial: había viajado por Europa de un extremo a otro visitando los centros culturales más importantes, conocía la mayor parte de las lenguas del viejo continente y mantenía (y mantuvo a lo largo de su vida) intercambio epistolar permanente con los académicos más destacados de su tiempo.

Collins preparó un compendio de la obra de Gregory y también del cálculo Fluxional de Newton. Durante su segunda visita a Londres en 1676, Leibniz tuvo la oportunidad obtener este compendio. Se plantea la sospecha de que Leibniz llegó a importantes conclusiones de tal lectura. El historiador Hall admite que Leibniz podía haber dado los primeros pasos independientes sobre diferenciación, y luego, al ver La obra de Newton y de haber apreciado su valor, pasó a "Tomar prestado" el desarrollo del cálculo con su propia notación. Leibniz tomó largas notas sobre el Análisis de Newton, escrito en 1669, pero estas notas se ocupaban exclusivamente de series. Leibniz hizo alusiones breves y oscuras a lo que es el equivalente a la diferenciación de Newton porque no había en ello nada nuevo para él. Por lo tanto, si se acepta que Leibniz desarrolló su cálculo diferencial en 1675, este razonamiento suena muy plausible.

A su regreso de Londres, lleno de nuevas ideas, Leibniz siguió con fervor desde París los avances matemáticos de los británicos en especial a través de un constante intercambio epistolar con Oldenburg. La correspondencia Leibniz-Oldenburg muestra el interés de Leibniz no sólo por todos los problemas científicos de entonces, sino ante todo por los relacionados con series infinitas y curvaturas. En varias ocasiones, cuando Oldenburg no se consideró en capacidad de responder las preguntas de su corresponsal, remitió la carta a alguno de los miembros de la Royal Society para que le diera respuesta directa.

Cartas entre Newton y Leibniz

En una de esas ocasiones la carta de Leibniz a Oldenburg terminó en manos de Newton quien, a pesar de su renuencia, le dio respuesta. La primera misiva de Newton a Leibniz fechada el 13 de junio de 1676 y conocida como epístola prior, está llena de generalidades sobre el desarrollo de las matemáticas británicas. En junio de 1676, Newton Menciona que todas las curvas por lo tanto pueden ser reducidas a series infinitas y que las áreas y longitudes de curvas, y los volúmenes y superficies de sólidos puede calcularse a partir de estas series. Newton no discute fluxiones en toda la carta. Newton no habla de su cálculo fluxional explícitamente y dado que Leibniz pensaba que Newton esencialmente era un experto en el método de series, Leibniz no vio ninguna similitud con su propio trabajo sobre el cálculo. Inmediatamente, De todas maneras, es indudable que, a partir de las preguntas de su interlocutor, Newton había captado que los hallazgos de Leibniz iban en la misma dirección que su Método de las Fluxiones y Fluentes, pero como no sabía qué tan cerca estaba, no quería darle la más mínima pista.

En su inmediata respuesta a la epístola prior, el 27 de agosto de 1676, Leibniz se muestra demasiado entusiasmado con las vagas respuestas de Newton e indaga por más, añadiendo al final que él mismo posee un Nuevo Método capaz de resolver todos esos problemas mencionados por Newton sin necesidad de los múltiples métodos individuales que serían necesarios para resolver cada caso particular.

 Se tiene una curva continua no cerrada cuya ecuación es y = f(x) en coordenadas cartesianas. Si Procedemos como Arquímedes hizo, dividiendo el área pedida en fajas paralelas de igual anchura, considerando estas fajas como rectángulos, despreciando los fragmentos triangulares superiores, sumando las áreas de todos estos rectángulos, y finalmente calculando el límite de esta suma cuando el número de rectángulos aumenta indefinidamente, se puede obtener el area de la curva. Este limite se puede obtener empleando el teorema fundamental del calculo, que Newton logró desarrollar, en donde la integral de f(x) de 'a' a 'b'(el area que queremos calcular) es igual a la derivada de f(x) en a menos la derivada de f(x) en b ó F(a)-F(b).

Ante semejante afirmación, la segunda misiva de Newton, conocida como epístola posterior, no se hizo esperar. Fechada el 24 de octubre de 1676, ya es obvio en ella que Newton no quería seguir jugando al gato y al ratón y que había comprendido el alcance de la invención de Leibniz. La conjetura de Newton era que, si era cierta la afirmación de aquél sobre el tal Nuevo Método, era éste una herramienta superior o por lo menos igual de poderosa a su inédito Método de las Fluxiones y Fluentes y, en consecuencia, lo que en realidad preguntaba Leibniz con tanta insistencia a los miembros de la Royal Society a través de Oldenburg era si los británicos habían desarrollado algo similar o cercano al Nuevo Método. Puesto que la respuesta estaba ahora en manos del propio Newton, éste tuvo muy claro que en su réplica a Leibniz no podía quedar ninguna duda sobre a quién correspondía la prioridad en la invención de un método cualquiera para hacer esos cálculos, pero Newton ya había calibrado la enormidad de los conocimientos de Leibniz; de hecho, en la misiva a Oldenburg que acompañaba a la epistola posterior antes de que éste la reenviara a Leibniz lo reconoce abiertamente (aunque a su manera): “Leibniz ha desarrollado varios métodos, uno de los cuales es desconocido para mí”. Si algo tenía claro Newton era qué responderle a Leibniz, incluso de manera indirecta mostrándole en acción lo que podía hacer a partir de su método, así fuese con un solo ejemplo, hubiese significado señalarle la vía hacia el sendero secreto de su nunca publicado Método de las Fluxiones y Fluentes. En esta segunda carta que Newton escribió en Octubre 1676 como una respuesta a la carta de Leibniz, Newton mencionó que había obtenido un método general de dibujar tangentes, para determinar los mínimos y máximos y otros temas que no quería revelar. Ocultó la mención de "fluxiones" y "fluentes" (que son en cierto modo, similar a las derivadas e integrales), en un anagrama. Por lo tanto, estas dos cartas de 1676 no le dijo mucho a Leibniz acerca del cálculo fluxional de Newton salvo que Newton tenía algo similar al cálculo desarrollado por Leibniz.

Mediante ambos artilugios, el anagrama y el criptograma, Newton escondió una frase que, una vez develada, probaría de manera indudable que, al momento de sellar el enigma, poseía un método matemático capaz de realizar todos los cálculos que afirmaba. Dejar una respuesta cifrada en una carta o en una presentación académica era un método bastante común en esos días de asegurar la prioridad de un descubrimiento sin revelarlo. Obviamente, Newton lo sabía, su acertijo era indescifrable mediante cualquier método diferente a preguntarle al propio Newton cuáles habían sido las claves utilizadas, primero para transponer todas las letras de la frase original en una nueva frase y, segundo, para codificar por sustitución cada letra remplazándola por una diferente o por un número.

Newton reivindicaría, justificadamente, que: “... no se resolvió ni un solo problema de los que no se habían resuelto anteriormente...”.

Ahora bien, cuando la  epístola posterior llegó a París, Leibniz ya no estaba allí, se había trasladado a Hanover. La carta no lo alcanzaría sino ocho meses después, en junio de 1677. Leibniz le respondió a Newton el 21 de ese mismo mes con una carta transparente, sin ambigüedades, sin anagramas ni criptogramas, revelándole su Nuevo Método: todo cuanto ha desarrollado del cálculo integral, de sus reglas, de su algoritmo, de la manera de formar ecuaciones diferenciales y de cómo aplicar este proceso a la geometría analítica.  En ese momento Newton tuvo la certeza de que no se había equivocado un ápice en su valoración inicial de las capacidades de Leibniz, de hecho el método de las fluxiones carecía de un algoritmo general como el que poseía el Nuevo Método de Leibniz y por tanto no tenía ni la generalidad ni los alcances de éste. Al fin de cuentas, Newton había ido desarrollando su método de manera sintética, como se solía decir entonces, partiendo de problemas concretos (en su caso los del movimiento de los cuerpos) para llegar a generalizaciones cada vez más vastas pero nunca completas.

Extrañamente, Newton nunca dio respuesta a la carta de Leibniz, y por el momento tampoco comentó nada a nadie sobre el Nuevo Método que Leibniz había desarrollado y que, además, le había comunicado sin tapujos. El 3 de septiembre de 1677, a los 58 años de edad, murió Oldenburg como consecuencia de una enfermedad febril, de tal manera que no hubo quien acicateara la correspondencia entre los dos. En un comentario que haría Newton veinte años más tarde con respecto a la respuesta de Leibniz, dejó en claro que consideraba que éste se había tomado ocho meses sin responder su epístola posterior con el único fin de preparar la respuesta, comentario que obliga a pensar que Newton no tomó en cuenta que su epístola posterior había tardado todo ese tiempo en llegar a manos del destinatario.

Referencia: http://www.mundohistoria.org/blog/articulos_web/la-disputa-entre-newton-leibniz-por-la-invencion-del-calculo

La disputa entre Newton y Leibniz por la creación del cálculo I PARTE

En la historia de las matemáticas y las ciencias, pocos conflictos han alcanzado la notoriedad de la disputa entre Newton y Leibniz sobre la invención del cálculo infinitesimal. La cuestión principal del conflicto era cuál de los dos, Sir Isaac Newton o Gottfried Wilhelm Leibniz, merecía el crédito por la invención del cálculo diferencial e integral. Una cronología cuidadosamente reconstruida revela que Newton formuló los fundamentos de su cálculo en 1666, años antes de que Leibniz hubiera alcanzado el conocimiento matemático necesario para desarrollar su propio punto de vista sobre el cálculo.

Probablemente, lo que establece este caso particular, aparte de la importancia de los hombres involucrados, era la importancia de la obra que estaba en juego, el tiempo a través del cual la disputa se extendió, y la pura intensidad de la controversia. Aunque esta se originó por la cuestión de la prioridad sobre la invención del cálculo, el asunto se agravó por el hecho de que no coincidieron en el tema de la filosofía natural del mundo. Newton y su teoría de la gravitación era visto como un retroceso a los tiempos de ocultismo por Leibniz y muchos otros filósofos mecánicos de esa época. Esta mezcla de temas filosóficos empeoró la naturaleza de la controversia. Una de las razones por las cuales el conflicto asumió proporciones tan importantes y por qué Newton y Leibniz estaban ansiosos de ser considerados los inventores del cálculo era debido a la actitud hacia el plagio que reinaba en el siglo 17. En el siglo 17, la correspondencia e incluso la revelación en presencia de testigos fiables de manuscritos privados o instrumentos tenían un peso considerable, el trabajo no tenía por qué haber sido publicado.

Como la mayoría de los descubrimientos, el cálculo fue la culminación de siglos de trabajos. Matemáticos de todo el mundo contribuyeron a su desarrollo, sin embargo para la mayoría los dos descubridores reconocidos del cálculo fueron Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. El crédito se presta actualmente a estos dos hombres. Los historiadores de las matemáticas han concluido que el trabajo de Newton fue anterior al de Leibniz, pero que este último obtuvo sus resultados de una manera independiente a Newton. Se sabe, sin embargo, que ambos tuvieron la influencia de Barrow, quien se considera el matemático que había llegado más lejos en la comprensión de que la derivada y la integral tenían una naturaleza inversa, aunque con una óptica esencialmente geométrica.

 Isaac Newton

Isaac Newton nació en Woolsthorpe, cerca de Grantham en Lincolnshire,Inglaterra. Aunque por el calendario en uso en la fecha de su nacimiento él nació el día de Navidad de 1642, la fecha del 4 de Enero de 1643 es la que corresponde al 'corregido' calendario gregoriano que la pone en la línea de nuestro actual calendario. (El calendario gregoriano no fue adoptado en Inglaterra hasta 1752). Isaac Newton venía de una familia de granjeros pero nunca conoció a su padre, también llamado Isaac Newton, que murió en octubre de 1642, tres meses antes de que naciese su hijo. La madre de Isaac, Hannah Ayscough se volvió a casar con Barnabas Smith, el ministro de la iglesia de North Witham, un pueblo cercano, cuando Isaac tenía dos años de edad. El joven niño fue entonces dejado al cuidado de su abuela Margery Ayscough en Woolsthorpe.

A la muerte de su padrastro en 1653, Newton vivía en una amplia familia compuesta de su madre, su abuela, un medio hermano, y dos medio hermanas.

Un tío, William Ayscough, decidió que Isaac debería prepararse para ingresar en la universidad, a Isaac se le permitió regresar a la Escuela Libre de Gramática en Grantham en 1660 para completar su educación escolar. Newton ingresó en el viejo College de su tío, el Trinity College de Cambridge, el 5 de Junio de 1661.

Newton nunca asistió regularmente a sus clases, ya que su principal interés era la biblioteca. Se graduó en el Trinity College con una formación principalmente autodidacta, leyendo algunos de los libros más importantes de matemática y filosofía natural de la época.

Newton estudió la filosofía de Descartes, Gassendi, Hobbes, y en particular a Boyle. La mecánica de la astronomía copernicana de Galileo le atrajo y también estudió la Optica de Kepler. Registró sus pensamientos en un libro que tituló Quaestiones Quaedam Philosophicae (Cuestiones Filosóficas Ciertas). Es una relación fascinante de cómo las ideas de Newton se estaban ya formando alrededor de 1664.

Volvió entonces a releer el Clavis Mathemática de Oughtred y la Geometría de Descartes, de Frans van Schooten. La nueva geometría algebraica y analítica de Viète también. Otra obra importante de matemáticas que estudió en esta época fue la Opera mathematica de Viète, editadas por Van Schooten y, en 1664, la Aritmética de John Wallis, que le serviría como introducción a sus investigaciones sobre las series infinitas, el teorema del binomio y ciertas cuadraturas.

Sería fácil pensar que el talento de Newton comenzó a emerger a la llegada de Barrow a la cátedra Lucasiana de Cambridge en 1663 cuando se convirtió en un alumno del Trinity College. Ciertamente la fecha encaja con el inicio los estudios matemáticos profundos de Newton. Sin embargo, parecería que la fecha de 1663 es sólo una coincidencia y que no fue hasta algunos años después cuando Barrow reconoció al genio matemático entre sus alumnos.

A pesar de algunas pruebas de que su progreso no había sido particularmente bueno, Newton fue elegido becario el 28 de abril de 1665. Parecería que su genio científico todavía no había emergido, pero lo hizo de forma repentina cuando la peste cerró la universidad en el verano de 1665 y tuvo que regresar a Lincolnshire. Allí, en un periodo de menos de dos años, mientras Newton tenía todavía menos de 25 años, comenzó revolucionarios avances en matemáticas, óptica, física, y astronomía.

Mientras Newton permaneció en casa, sentó las bases para el cálculo diferencial e integral, varios años antes de su descubrimiento independiente por Leibniz. El 'método de flujos' (fluxions), como él lo llamó, estaba basado en su crucial y agudo análisis de que la integración de una función es simplemente el procedimiento inverso a su diferenciación. El De Methodis Serierum et Fluxionum de Newton fue escrito en 1671 pero Newton no consiguió publicarlo y no apareció en imprenta hasta que John Coilson produjo una traducción al inglés en 1736.

Newton regreso a la Universidad de Cambridge cuando reabrió tras la plaga en 1667. En Julio de 1669 Barrow intentó asegurarse de que los logros matemáticos de Newton eran dados a conocer al mundo. Envió el texto de Newton De Analysi a Collins.

Collins mostró a Brouncker, el Presidente de la Royal Society, los resultados de Newton (con el permiso del autor) pero después de esto Newton solicitó que se le devolviera su manuscrito. Collins no pudo dar una crónica detallada pero de Sluze y Gregory[[i]] aprendieron algo de la obra de Newton a través de Collins. Barrow dimitió de la cátedra Lucasiana en 1669, recomendando que Newton (todavía con sólo 27 años) fuera designado en su lugar.

La primera obra de Newton como profesor de la cátedra Lucasiana fue sobre óptica y éste fue el contenido de su primera clase del curso que empezó en 1670. Había alcanzado la conclusión durante los dos años de epidemia de que la luz blanca no es una entidad simple. Cuando pasó un fino haz de luz solar a través de un prisma de cristal, Newton percibió el espectro de colores que se formaba.

 

 Newton por Kneller en 1702.

Arguyó que la luz blanca es en realidad una mezcla de muchos tipos diferentes de rayos que se refractan a ángulos ligeramente diferentes, y que cada tipo diferente de rayo produce un diferente color espectral.

En 1672 Newton fue elegido miembro de la Royal Society tras donar un telescopio reflector. También en 1672 Newton publicó su primer artículo científico sobre la luz y el color en el Philosophical Transactions of the Royal Society. El artículo fue en general bien recibido pero Hooke y Huygens objetaron al intento de Newton de probar, sólo por la experimentación, que la luz se compone del movimiento de pequeñas partículas en lugar de por ondas. Newton temía las críticas y concluyó que la forma más fácil de evitar ser criticado era no publicar nada.

Las relaciones de Newton con Hooke se deterioraron aun más cuando, en 1675, Hooke afirmó que Newton había robado algunos de sus resultados en óptica. Aunque los dos hombres hicieron las paces con un intercambio de cartas corteses, Newton se encerró sobre sí mismo y se alejó de la Royal Society que él asociaba con Hooke como uno de sus líderes. 'Optiks' de Newton apareció en 1704. Trataba de la teoría de la luz y el color.

Otra disputa, esta vez con los Jesuitas Ingleses de Lieja sobre su teoría del color, condujo a un violento intercambio de cartas; después, en 1678, parece haber sufrido una depresión nerviosa. Su madre murió al año siguiente y él se replegó más sobre sí mismo, mezclándose lo menos posible con la gente durante unos cuantos años.

El mayor logro de Newton fue su obra sobre física y mecánica celeste, que culminó en la teoría de la gravitación universal. Alrededor de 1666 Newton tenía versiones tempranas de sus tres leyes de movimiento. Había descubierto también la ley que daba la fuerza centrífuga de un cuerpo que se movía uniformemente en una trayectoria circular.

La nueva idea de Newton de 1666 fue imaginar que la gravedad de la Tierra influenciaba a la Luna, contrarrestando su fuerza centrífuga. A partir de su ley de la fuerza centrífuga y de la tercera ley del movimiento planetario de Kepler, Newton dedujo la ley del cuadrado inverso.

Halley persuadió a Newton a escribir un tratado completo de su nueva física y su aplicación a la astronomía. Sobre un año después (1687) Newton publicó la Philosophiae naturalis principia mathematica o Principia como se le ha conocido siempre.

De entre el trabajo matemático de Newton, profundo y poderoso, se pueden distinguir algunos temas centrales. Estos son los desarrollos en serie de potencias, en especial el desarrollo del binomio, algoritmos para hallar raíces de ecuaciones y de inversión de series, relación inversa entre diferenciación e integración y el concepto de fluentes y fluxiones como variables que cambian en el tiempo. Newton estuvo muy interesado también en óptica, dinámica, alquimia, cronología de la historia y en la interpretación de las sagradas escrituras.

Newton analizó el movimiento de los cuerpos en medios resistentes y no resistentes bajo la acción de fuerzas centrípetas. Los resultados fueron aplicados a los cuerpos en órbita, proyectiles, péndulos, y a la caída libre cerca de la Tierra. Además demostró que los planetas eran atraídos hacia el Sol por una fuerza que varía con el cuadrado inverso de la distancia y generalizó que todos los cuerpos celestes se atraen mutuamente unos a otros.

Una generalización posterior llevó a Newton la ley de la gravitación universal.

“... toda la materia atrae a toda la otra materia con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos.”

Newton explicó un amplio rango de fenómenos previamente inconexos: las órbitas excéntricas de los cometas, las mareas y sus variaciones, la precesión del eje de la Tierra, y la perturbación del movimiento de la Luna por la gravedad del Sol. Este trabajo hizo a Newton un líder internacional en investigación científica. Los científicos continentales no aceptaban la idea de la acción a distancia y continuaban creyendo en la teoría del vórtice de Descartes en la que las fuerzas funcionan a través del contacto. Sin embargo esto no detuvo la admiración universal por la habilidad técnica de Newton.

Tras sufrir una segunda depresión nerviosa en 1693, Newton se retiró de la investigación. Las teorías acerca de su depresión han sido muchas: desde envenenamiento químico como resultado de sus experimentos alquímicos; frustración con sus investigaciones; el fin de una amistad personal con Fatio de Duillier, un matemático suizo residente en Londres hasta problemas resultantes de sus creencias religiosas. El propio Newton culpaba a la falta de sueño pero esto era casi con certeza un síntoma de la enfermedad más que su causa.

Newton decidió abandonar Cambridge para ocupar un puesto de gobierno en Londres convirtiéndose en el Guardián de la Casa Real de la Moneda en 1696 y en Maestre en 1699. Sin embargo, no dimitió de sus puestos en Cambridge hasta 1701.

En 1703 fue elegido presidente de la Royal Society y fue reelegido cada año hasta su muerte. Fue armado caballero en 1705 por la Reina Ana. Sin embargo la última parte de su vida no fue fácil, dominada en muchos aspectos por la controversia con Leibniz, en la que nos centraremos más adelante, sobre quién había inventado el cálculo infinitesimal.

Murió pacíficamente, entre la una y las dos de la mañana, el 31 de marzo de 1727, a los 85 años. Fue enterrado en la Abadía de Westminster.

Leibniz

Cuatro años era menor que Newton, nació en Leipzig el 1 de julio de 1646; vivió 70 años, y murió en Hanover el 14 de noviembre de 1716. Su padre, profesor de filosofía moral en Leipzig, procedía de una buena familia, que había servido al gobierno de Sajonia durante tres generaciones.

La madre de Leibniz fue Catalina Schmunk, hija de un abogado y tercera esposa de Friedrich Leibniz. Sin embargo, Friedrich Leibniz murió cuando Leibniz tenía sólo seis años y tuvo que ser educado por su madre.

A la edad de siete años, Leibniz ingresó en la Escuela Nicolai en Leipzig. Aunque se le enseñó latín en la escuela, Leibniz aprendió latín avanzado y algo de griego a la edad de 12 años por su cuenta. Parece haber estado motivado por el deseo de leer los libros de su padre. Mientras progresaba en la escuela aprendió la lógica aristotélica y la teoría del razonamiento categórico. Mientras seguía con sus clases en la escuela, Leibniz estudió los libros de su padre. Concretamente leyó libros de metafísica y de teología de escritores católicos y protestantes.

En 1661, a la edad de catorce años, Leibniz entró en la Universidad de Leipzig. Estudió Filosofía, que también se enseñaba en la Universidad de Leipzig, así como Matemáticas, que se enseñaba muy por encima. Se licenció en Filosofía y Letras en 1663 con la tesis De Principio Individui (Sobre el Principio del Individuo).

Hacia octubre de 1663 Leibniz se encontraba de vuelta en Leipzig para terminar sus estudios de Doctor en Leyes. Obtuvo el grado de Maestro en Filosofía con una disertación que combinó aspectos de la Filosofía y el Derecho estudiando las relaciones de estas materias con las ideas matemáticas que había aprendido. Unos pocos días después de presentar su disertación, la madre de Leibniz murió.

Después de obtener la Licenciatura en Derecho, Leibniz trabajó en su habilitación en Filosofía. Su obra fue publicada en 1666 como Dissertatio de Arte Combinatoria (Disertación sobre el Arte de la Combinatoria). En su obra, Leibniz llegó a reducir todos los razonamientos y descubrimientos a una combinación de elementos básicos tales como los números, las letras, los sonidos y los colores.

Sirvió como secretario en la Sociedad de Alquimia de Nuremberg por un tiempo y después conoció al barón Johann Christian von Boineburg. Hacia noviembre de 1667 Leibniz estuvo viviendo en Frankfurt, contratado por Boineburg. Durante los años siguientes Leibniz desarrolló varios proyectos científicos, literarios y políticos. También continuó su carrera de Derecho, instalándose en el Tribunal de Mainz antes de 1670. Una de sus tareas allí, tomada por mandato del Elector de Mainz, fue la mejora del Código Civil Romano de Mainz.

Boineburg era católico mientras que Leibniz era luterano, pero uno de las mayores ilusiones de la vida de Leibniz era la reunificación de las iglesias cristianas y con el apoyo de Boineburg, hizo el borrador de un cierto número de monografías de asuntos religiosos, principalmente para encontrar puntos de encuentro entre ambas iglesias.

Para Leibniz, otro de los mayores deseos de su vida era recopilar todo el conocimiento humano. Por supuesto vio su trabajo en el Código Civil Romano como parte de este esquema y, como una parte más de su plan, Leibniz trató de agrupar el trabajo de las sociedades para coordinar la búsqueda. Leibniz empezó por estudiar el movimiento y, aunque tenía en mente el problema de explicar los resultados de Wren y Huygens sobre las colisiones elásticas, empezó con ideas abstractas sobre el movimiento. En 1671 publicó la Hypothesis Physica Nova (Nueva Hipótesis Física). En su trabajo proclamó, al igual que hizo Kepler, que el movimiento depende de la acción de un espíritu. Se comunicó con Oldenburg, el secretario de la Royal Society de Londres, y dedicó algunos de sus trabajos científicos a la Royal Society y a la Academia de Paris.

Leibniz deseó visitar París para obtener más contactos científicos. Había comenzado la construcción de una máquina calculadora. También en París elaboró un plan político para persuadir a los franceses de que atacaran Egipto. En 1762 Leibniz fue a París en apoyo de Boineburg para intentar usar su plan de distraer a Luís XIV de atacar las zonas alemanas.

En París, Leibniz estudió matemáticas y física bajo la tutela de Christian Huygens, hecho que comenzó en otoño de 1762. También en otoño de 1762, el hijo de Boineburg fue enviado a Paris para estudiar bajo la tutela de Leibniz, lo cual le supuso asegurarse el apoyo financiero. El sobrino de Boineburg acompañaba al hijo de este en una misión diplomática para tratar de persuadir a Luís XIV de que celebrara un congreso de paz. Boineburg murió el 15 de diciembre pero Leibniz continuó siendo apoyado por la familia de este.

Gottfried Leibniz (1646-1716) por Christoph Bernhard Francke cerca de 1700.

En enero de 1763 Leibniz y el sobrino de Boineburg fueron a Inglaterra para intentar la misma misión de paz, al haber fallado el intento en Francia. Leibniz visitó la Royal Society e hizo una demostración de su máquina calculadora aún incompleta. También habló con Hooke, Boyle y Pell. Mientras explicaba sus resultados en las series a Pell, éste le dijo que podría encontrarlas en un libro de Mouton. Al día siguiente consultó el libro de Mouton y descubrió que Pell tenía razón. En la reunión de la Royal Society el 15 de febrero, a la cual Leibniz no acudió, Hooke hizo algunos comentarios desfavorables sobre la máquina calculadora de Leibniz. Leibniz volvió a París al escuchar la noticia de que el Elector de Mainz había muerto. Leibniz se dio cuenta de que sus conocimientos en matemáticas eran menores de lo que a él le hubiera gustado que fueran así que redobló sus esfuerzos en la materia.

La Royal Society de Londres admitió a Leibniz el 19 de abril de 1673. También volvió a coincidir con Huygens quien le dio una lista de libros para leer, entre los que se encontraban obras de Pascal, Fabri, Gregory, Saint-Vincent, Descartes y Sluze. Comenzó a estudiar la geometría de los infinitesimales[[ii]] y escribió a Oldenburg en la Royal Society en 1674. Oldenburg respondió que Newton y Gregory habían encontrado métodos generales. Sin embargo Leibniz no estaba en los mejores términos con la Royal Society desde que no mantuvo su promesa de terminar su máquina calculadora. En agosto de 1675 Tschirnhaus llegó a París y nació una gran amistad con Leibniz, que se demostró muy provechosa para ambos dentro de las matemáticas.

Fue durante este período en París que Leibniz desarrolló las bases de su versión del cálculo. En 1673 todavía se esforzaba en desarrollar una buena notación para sus cálculos ya que el primer cálculo diferencial era confuso. El 21 de noviembre de 1675 escribió un manuscrito empleando la notación    f(x) dx por primera vez. En el mismo manuscrito aparece la regla para la derivada del producto. En el otoño de 1676 Leibniz descubrió la famosa fórmula d(x^n ) =nx^(n-1) dx tanto para n entera como para n fraccional.

Leibniz aceptó un puesto del duque de Hanover, Johan Friedrich, de bibliotecario y de Canciller del Tribunal de Hanover. Abandonó París en octubre de 1676 realizando el viaje a Hanover a través de Londres y Holanda.

En Hanover se desarrollo como bibliotecario. Sin embargo emprendió una colección completa de otros proyectos. Por ejemplo uno de esos grandes proyectos empezó en 1678-79, e implicaba el desagüe de las minas de las montañas Harz. Su idea fue emplear energía eólica e hidráulica para accionar las bombas. Diseñó muchos tipos diferentes de molinos de pozos eólicos, bombas, engranajes pero cada uno de estos proyectos terminaba en fracaso. El mismo Leibniz creía que esto se debía a la obstrucción deliberada de los administradores y técnicos, y al temor de los trabajadores de que estas maquinas les costara sus empleos.

Leibniz había alcanzado importantes resultados científicos convirtiéndose en una de las primeras personas que estudiaran geología a través de las observaciones que recopilara para el proyecto Harz. Durante su trabajo fundó la hipótesis de que la Tierra estuvo en sus orígenes fundida.

Otro de los grandes logros de Leibniz en matemáticas fue el desarrollo del sistema binario de aritmética. Perfeccionó su sistema hacia 1679 pero no publicó nada hasta 1701 cuando envió el artículo Essay d'une nouvelle science des nombres (Ensayo sobre una nueva ciencia de los números) a la Academia de París para marcar su elección a la Academia. Otra de las principales obras matemáticas de Leibniz fue su trabajo sobre determinantes que surgió de su desarrollo de métodos para resolver los sistemas de ecuaciones lineales. Aunque no publicó su trabajo en vida, desarrolló muchos acercamientos diferentes al tema intentando muchas notaciones diferentes para averiguar cuál es la más útil. Un artículo inédito con fecha de 22 de enero de 1684 contiene una notación y unos resultados muy satisfactorios.

Otro gran proyecto en el que se embarcó Leibniz, en esta ocasión para el duque Ernst August, fue el escribir la historia de la familia Guelf, de la cual la Casa de Brunswick era parte. Hizo un largo viaje para buscar archivos de material en el que basar su historia.  Aunque Leibniz publicó nueve grandes volúmenes de material de archivo sobre la historia de la familia Guelf, nunca terminaría la obra que le fue encomendada.

En 1684 Leibniz publicó detalles de su cálculo diferencial en Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus en Acta Eruditorum, un diario establecido en Leipzig dos años antes. El artículo contenía la familiar anotación d, las reglas para el cálculo de las derivadas de potencias, productos y cocientes. Sin embargo no contenía demostraciones y Jacobo Bernoulli lo llamó un enigma más que una explicación.

En 1686 Leibniz publicó, en Acta Eruditorum, un artículo en el que trataba el cálculo integral con la primera aparición en imprenta de la notación .

Otra parte importante de la obra matemática emprendida por Leibniz fue su trabajo de dinámica.

Criticó las ideas de Descartes sobre mecánica y examinó lo que eran efectivamente la energía cinética, la energía potencial y el momento. Este trabajo comenzó en 1676 pero volvió a él varias veces, particularmente mientras estaba en Roma en 1689.

Leibniz puso muchas energías en promocionar las sociedades científicas; además  tuvo más de 600 corresponsales, no es exagerado decir que Leibniz mantuvo correspondencia con la mayoría de los eruditos de Europa, muchos de ellos matemáticos. Leibniz además debatió sobre los logaritmos de los números negativos con Johann Bernoulli.

En 1710 Leibniz publicó Théodicée, un trabajo filosófico que intenta enfrentar el problema del mal en un mundo creado por un Dios bueno. Leibniz afirma que el universo tuvo que ser imperfecto, o de otro modo no sería distinto de Dios. En 1714 Leibniz escribió Manadologia, que sintetizaba la filosofía de su primer trabajo, el Théodicée.

Gran parte de la actividad matemática de los últimos años de Leibniz trató sobre la disputa prioritaria de la invención del cálculo diferencial.

Iniciadores en el desarrollo del cálculo

Se atribuye la invención del cálculo a Newton y Leibniz. Sin embargo, ambos hombres deben muchísimo a sus predecesores inmediatos en el desarrollo del mismo.

No entraremos en detalles aquí sobre cómo se fue desarrollando el cálculo sino que mencionaremos algunos de los hitos más importantes.

Ya los griegos se habían preocupado de cómo tratar el infinito. Para los griegos el infinito aparece de dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Ya apareció de algún modo en la inconmensurabilidad de la diagonal de cuadrado; también, claro está, lo tenemos en la famosa paradoja de Zenón sobre Aquiles y la tortuga, por ello no es de extrañar que alguien intentara regularlos.

Zenón de Elea, alrededor de 450 a. C., planteó una serie de problemas que estaban basados en el infinito. Por ejemplo, argumentó que el movimiento es imposible:

Si un cuerpo se mueve de A a B entonces, antes de llegar a B pasa por el punto medio, B1, de AB. Ahora bien, para llegar a B1 debe primero pasar por el punto medio B2 de AB1. Continuando con este argumento se puede ver que A debe moverse a través de un número infinito de distancias y por lo tanto no puede moverse.

Fue Eudoxo, discípulo de Platón y contemporáneo  de Aristóteles quien hizo el primer uso "racional" del infinito en las matemáticas. Eudoxo postuló que «toda magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada». Es el famoso principio de Arquímedes que éste toma prestado a Eudoxo y que sirvió a aquel para superar la primera crisis de las Matemáticas -debida al descubrimiento de los irracionales-.

Sin embargo, Arquímedes, alrededor de 225 a. C. hizo uno de las contribuciones griegas más significativas. Su primer avance importante fue demostrar que el área de un segmento de parábola es 4/3 del área del triángulo con los mismos base y vértice y es igual a 2/3 del área del paralelogramo circunscrito. Arquímedes construyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área A y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas.

A, A + A/₄, A + A/₄ + A/₁₆, A + A/₄ + A/₁₆ + A/₆₄, ...

El área del segmento de la parábola es, por lo tanto:

A(1 + ¹/₄ + ¹/₄² + ¹/₄³ + ...) = (⁴/₃)A.

Este es el primer ejemplo conocido de suma de una serie infinita. Arquímedes usó el método exhaustivo para encontrar la aproximación al área de un círculo. Esto, por supuesto, es un ejemplo temprano de integración que llevó a valores aproximados de π.

Entre otras 'integraciones' de Arquímedes estaban el volumen y la superficie de una esfera, el volumen y área de un cono, el área de una elipse, el volumen de cualquier segmento de un paraboloide de revolución y un segmente de un hiperboloide de revolución.

La genial idea de siracusano fue considerar las áreas como una colección -necesariamente infinita- de segmentos.

Esquema de Arquímedes

No hubo más progresos hasta el siglo XVI cuando la mecánica empezó a llevar a los matemáticos a examinar problemas como el de los centros de gravedad.

Fueron Fermat, Roberval y Cavalieri en hacer las siguientes contribuciones importantes. Este último llegó a su 'método de los indivisibles' por los intentos de integración de Kepler. No fue riguroso en su acercamiento y es difícil ver con claridad cómo se le ocurrió su método. Al parecer Cavalieri pensó en un área como formada por componentes que eran líneas y luego sumó su número infinito de 'indivisibles'. Demostró, usando estos métodos, que la integral de x^n entre 0 y a era a^(n+1)/(n+1) mostrando el resultado para ciertos valores de n e infiriendo el resultado general.

Roberval consideró problemas del mismo tipo pero fue mucho más riguroso que Cavalieri. Roberval se fijó en el área entre una curva y una línea como formada por un número infinito de rectángulos infinitamente delgados.

Fermat también fue más riguroso en su acercamiento pero no dio demostraciones. Fermat investigó máximos y mínimos considerando dónde la tangente a la curva es paralela al eje X. Le escribió a Descartes dando el método esencialmente como se usa hoy, es decir, encontrando los máximos y los mínimos calculando dónde la derivada de la función es 0. De hecho, debido a este trabajo Lagrange afirmó claramente que él consideraba a Fermat como el inventor del cálculo.

Descartes produjo un importante método para determinar normales en La Géometrie en 1637 basado en la doble intersección. De Beaune extendió sus métodos y los aplicó a las tangentes; en este caso la doble intesección se traduce en raíces dobles. Hudde descubrió un método más sencillo, llamado la Regla de Hudde, que básicamente involucra a la derivada. El método de Descartes y la Regla de Hudde tuvieron una influencia importante sobre Newton.

Huygens criticó las pruebas de Cavalieri diciendo que lo que se necesita es una demostración que al menos convenza de que puede construirse una prueba rigurosa. Huygens tuvo gran influencia sobre Leibniz y por lo tanto jugó un papel importante en la producción de un acercamiento más satisfactorio al cálculo.

El siguiente paso importante lo dieron Torricelli y Barrow. El segundo dio un método de tangentes a una curva en el que la tangente está dada como el límite de una cuerda cuando los puntos se acercan uno a otro y que es conocido como el triángulo diferencial de Barrow.

Tanto Torricelli como Barrow estudiaron el problema del movimiento con velocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa nos lleva de la velocidad a la distancia. De aquí empezó a evolucionar naturalmente una concienciación de la inversa de la diferenciación y que Barrow estuviera familiarizado con la idea de que integral y derivada son inversas una de otra. De hecho, aunque Barrow nunca afirmó explícitamente el teorema fundamental del cálculo, estaba trabajando hacia el resultado y Newton continuaría en esta dirección y daría explícitamente el Teorema Fundamental del Cálculo.

Otro de los protagonistas de nuestra historia es, sin duda, Grégoire de Saint-Vicent. Sus principales aportaciones las publicó en su Opus geometricum  de 1647. En ella desarrolla un método de integración geométrico, estudia las series geométricas incluyendo diversas aplicaciones de las mismas discutiendo, como no, la conocida aporía de Zenón sobre Aquiles y la tortuga que además resolvía magistralmente argumentando que Zenón no consideró en la persecución de Aquiles que el tiempo formaba una progresión geométrica de razón 1/2 y por tanto tardaba un tiempo finito en alcanzar a la tortuga. Finalmente, una de sus aportaciones más valiosas consistió en que encontró que el área encerrada bajo una hipérbola se expresaba mediante los logaritmos.

 Triángulo de Barrow

Wallis aritmetizó los indivisibles de Cavalieri asignándoles valores numéricos convirtiendo de esta forma el cálculo de áreas -hasta el momento algo meramente geométrico- en cálculos aritméticos más un primitivo proceso al límite haciendo además un uso descarado del infinito -a él debemos también el símbolo que usamos actualmente, ese 8 acostado-.

El trabajo de Wallis influyó enormemente en Newton quien aseguró que el desarrollo del binomio y otras ideas iniciales sobre el cálculo tuvieron los orígenes en el estudio que realizó del libro de Wallis en su época de estudiante en Cambridge.

Referencia: http://www.mundohistoria.org/blog/articulos_web/la-disputa-entre-newton-leibniz-por-la-invencion-del-calculo