EUCLIDES Y LOS ELEMENTOS

EUCLIDES Y LOS ELEMENTOS

Realmente se tiene poca información relacionada con la vida de los grandes matemáticos griegos y Euclides no es la excepción. Prácticamente todo lo que se conoce de él está contenido en unas pocas líneas del sumario deProclos. De estas notas se concluye que Euclides nació a finales del siglo IV a.C.; que estudió en la "Academia'', un centro de estudios fundado por Platón en el año 380 a.C.; y que enseñó en la Universidad de Alejandría, en la ciudad con ese mismo nombre, fundada por Alejandro Magno en el año 332 a.C. en Egipto, en la desembocadura del río Nilo.

Se sabe que escribió sobre música y óptica, y tiene una obra titulada "Sofismas'', que se suponía era para "ejercitar la inteligencia''. Sin embargo, se le conoce más que todo por su obra Elementos, que por más de veinte siglos fue considerada un modelo deductivo perfecto, el cual influyó en la manera de pensar y enseñar los conocimientos matemáticos; aún hoy día, mejoras de esta teoría, son fundamentales en los cursos básicos de geometría.

No se conocen copias originales de los Elementos, sin embargo, las ediciones que se conocen están basadas en una revisión preparada por Theon de Alejandría, casi 700 años después de que el trabajo original fue escrito. Vale mencionar que a principios del siglo XIX, en la Biblioteca del Vaticano, se encontró una copia de los Elementos de Euclides con muy pocas diferencias a la escrita por Theon.

En general los Elementos tratan sobre diversos temas de la matemática. Además de geometría, tienen bastante sobre teoría de números y álgebra elemental. Aun cuando en su mayor parte son una compilación y arreglo sistemático de trabajos anteriores, no hay duda de que algunas de las proposiciones y sus demostraciones fueron hechas por el propio Euclides.

Probablemente la intención de Euclides en los Elementos era dar un desarrollo lógico de la geometría, de manera tal que todo teorema o proposición fuese rigurosamente deducido de verdades evidentes, explícitamente establecidas al inicio. La mayor importancia dada a losElementos y la razón para la profunda influencia que ha tenido en el pensamiento matemático subsecuente, no es tanto por sus contenidos sino por la metodología utilizada para presentarlos. El mayor mérito de losElementos de Euclides radica en la selección y ordenamiento lógico de los resultados que presenta, de hecho los Elementos son el prototipo de forma de la matemática moderna. Este enfoque o patrón de pensamiento axiomático-deductivo fue concebido por Pitágoras, pero fue Euclides el primero, de quien se tiene referencia, en plasmarlo en una teoría.

A modo de descripción, el libro I contiene definiciones, postulados y axiomas preliminares básicos. Las 48 proposiciones que contiene, están divididas en tres grupos: las primeras 26 tienen que ver con las propiedades de los triángulos, incluyendo congruencias; desde la 27 a la 32 establece la teoría de paralelas y prueba que la suma de las medidas de los ángulos internos en cualquier triángulo es igual a dos ángulos rectos; el resto de este grupo de proposiciones tienen que ver con paralelogramos, triángulos y cuadrados y con referencias especiales a las relaciones de sus áreas; la proposición 47 es el teorema de Pitágoras con su demostración universal creada por el mismo Euclides, se supone; y la proposición 48 es el recíproco del teorema de Pitágoras.

El libro II trata sobre las transformaciones de áreas y el álgebra geométrica de la Escuela Pitagórica. En este libro es donde se encuentran las equivalencias geométricas con las identidades algebraicas numéricas.

El libro III contiene teoremas sobre círculos, cuerdas, tangentes y las medidas de ángulos asociadas con estos. A pesar de que en el trabajo de los Pitagóricos se encuentra poco sobre la geometría de los círculos, se cree que el material sobre esta parte fue basado en el trabajo de los Sofistas y en las investigaciones realizadas sobre tres problemas famosos:

1. La duplicación de un cubo: construir las aristas de un cubo que tenga el doble del volumen de un cubo dado.
2. La trisección de un ángulo: dividir un ángulo en tres ángulos congruentes.
3. La cuadratura del círculo: construir un cuadrado cuya área sea igual a la de un círculo dado.

En realidad la importancia de estos problemas no radicó en que no se pudieran realizar dichas construcciones usando sólo regla y compás, sino en que la búsqueda de la solución de estos problemas influyó en el desarrollo de la geometría griega y llevó a nuevos descubrimientos importantes como: secciones cónicas, curvas cúbicas y de cuarto grado, números algebraicos y la teoría de grupos entre otras. La imposibilidad de resolver estos problemas utilizando solo regla y compás fue establecida hasta el siglo XIX, más de 2000 años después de que los problemas fueron concebidos.

En el libro IV se encuentran discusiones sobre construcciones geométricas con regla y compás de polígonos regulares de tres, cuatro, cinco, seis y quince lados. También por una bisección sucesiva de ángulos o arcos se puede lograr, con las herramientas Euclideanas, la construcción de polígonos regulares que tienen    y  lados.

No fue sino hasta el siglo XIX cuando se conoció que ningún otro polígono regular se podía construir con estas herramientas. Más tarde el eminente matemático alemán Carl Friedrich Gauss desarrolló una teoría para demostrar que un polígono regular con un número primo de lados podía ser construido, con herramientas Euclídeas, si y solo sí el número de lados es de la forma Para  y  los valores de  son todos ellos números primos. Los griegos no sabían que polígonos de 17, 257 y 65537 lados se podían construir. Aparte de los valores de  citados no se conocen otros para los cuales  sea primo.
En el libro V se expone la teoría de proporciones de Eudoxos. Esta teoría era tan aplicable a lo medible como a lo no medible y vino a resolver una especie de escándalo lógico creado por el descubrimiento de los números irracionales de los Pitagóricos, pues toda la teoría de proporcionalidad Pitagórica asumía que todo par de magnitudes eran conmensurables y el descubrimiento de los irracionales derribaba esta suposición.

En el libro VI aparece la aplicación de la teoría de Eudoxos a la geometría Plana. En éste se encuentran los teoremas fundamentales de semejanza de triángulos, construcciones usando la proporcionalidad, solución geométrica de ecuaciones de grado dos, la proposición de que el bisector de un ángulo divide el lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados, una generalización del teorema de Pitágoras y muchos otros teoremas. Probablemente todos los teoremas de este libro eran conocidos para los primeros Pitagóricos, pero las demostraciones de los pre-Eudoxos fallaron por basarse en una teoría incompleta sobre proporciones.

Los libros VII-VIII-IX contienen un total de 110 proposiciones que tienen que ver con la teoría elemental de números. En el libro VII se describe el proceso para encontrar el mayor entero divisor de dos o más enteros y se usa esto como prueba para encontrar primos relativos enteros. El libro VIII tiene que ver extensamente con proporciones y progresiones geométricas. En el libro IX se encuentran proposiciones muy importantes, tal como la proposición 14 cuya importancia es equivalente a la del teorema fundamental de la aritmética. En la proposición 36 se expone la extraordinaria fórmula para números perfectos; y como modelo de la elegancia, según muchos matemáticos, la demostración de la proposición 20: "El número de enteros primos es infinito''.

El libro X tiene que ver con irracionales, esto es segmentos de línea recta no medibles con respecto a segmentos de línea recta medibles. Este libro es considerado por muchos como el más extraordinario, aún cuando la mayoría de los aspectos tratados aquí datan de la época de Tahetetus. Lo extraordinariamente completo, la clasificación y acabado se le atribuyen a Euclides.

Los restantes libros XI-XII-XIII tienen que ver con sólidos geométricos. Las definiciones, los teoremas sobre líneas y planos en el espacio y los teoremas concernientes a paralelepípedos se encuentran en el libro XI. El método exhaustivo juega un papel importante en la presentación de volúmenes en el libro XII.

Se estudia otro problema famoso y elegante, en el libro XIII que es la construcción de poliedros regulares. Estos poliedros son sólidos simples cuya superficie consiste en un número de caras poligonales congruentes y ángulos sólidos en los vértices congruentes. Hay cinco poliedros regulares y reciben su nombre por el número de caras regulares que tienen: El tetraedro (cuatro caras triangulares), el hexaedro o cubo (seis caras cuadradas), el octaedro (ocho caras triangulares), el dodecaedro (doce caras pentagonales) y el icosaedro (veinte caras triangulares). Platón y sus seguidores estudiaron estos poliedros por eso algunas veces se les llama "sólidos Platónicos".

TOMADO DE: 

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/GeometriaInteractiva/GEOMETRIA_Sandra_Schmidt/Capitulo1/node1.html

BIOGRAFÍA DE ARQUÍMEDES DE SIRACUSA

ARQUÍMEDES

Según sus biógrafos, Arquímedes, hijo de un astrónomo llamado Fidias estaba emparentado con el rey Hierón II, lo que le habría facilitado el acceso a elevados y codiciados puestos; sin embargo, arrastrado por su afición a las ciencias, prefirió consagrarse al estudio de la matemática bajo la dirección de Euclides en Alejandría. Muy joven aún comenzó a destacar por sus trabajos técnicos entre los que destaca la desecación de los pantanos de Egipto, considerada hasta entonces por irrealizable, y que él consiguió mediante el empleo de diques móviles. Ya en Siracusa, Arquímedes prosiguió sus estudios de geometría y mecánica logrando descubrir principios que han inmortalizado su nombre.

Durante el asedio de Siracusa por el general romano Marcelo, Arquímedes, a pesar de no ostentar cargo oficial alguno se puso a disposición de Hierón, llevando a cabo prodigios en defensa de su ciudad natal, pudiéndose afirmar que él sólo sostuvo la plaza contra el ejército romano. Entre la maquinaria de guerra cuya invención se le atribuye está la catapulta y un sistema de espejos y lentes que incendiaba los barcos enemigos al concentrar los rayos del sol; tan es así que según algunos historiadores era suficiente ver asomar tras las murallas algún soldado con cualquier objeto que despidiera brillantes reflejos para que cundiera la alarma entre el ejército sitiador. Sin embargo, los confiados habitantes de Siracusa, teniéndose a buen recaudo bajo la protección de Arquímedes, descuidaron sus defensas, circunstancia que fue aprovechada por los romanos para entrar al asalto en la ciudad.

A pesar de las órdenes del cónsul Marcelo de respetar la vida del sabio, durante el asalto un soldado que lo encontró abstraído en la resolución de algún problema, quizá creyendo que los brillantes instrumentos que portaba eran de oro o irritado porque no contestaba a sus preguntas, le atravesó con su espada causándole la muerte.



Principio de Arquímedes: todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado.

Cuenta la historia que Hieran, el antes citado monarca de Siracusa, hizo entrega a un platero de la ciudad de ciertas cantidades de oro y plata para el labrado de una corona. Finalizado el trabajo, Hieran, desconfiado de la honradez del artífice y aún reconociendo la calidad artística de la obra, solicitó a Arquímedes que conservando la corona en su integridad determinase la ley de los metales con el propósito de comprobar si el artífice la había rebajado, guardándose para sí parte de lo entregado impulsado por la avaricia, la misma, con seguridad, que al propio Hieran impelía a realizar semejante comprobación.

Preocupado Arquímedes por el problema, al que no encontraba solución, un buen día al sumergirse en el baño advirtió, como tantas veces con anterioridad, que a causa de la resistencia que el agua opone, el cuerpo parece pesar menos, hasta el punto de que en alguna ocasión incluso es sostenido a flote sin sumergirse. Pensando en ello llegó a la conclusión de que al entrar su cuerpo en la bañera, ocupaba un lugar que forzosamente dejaba de ser ocupado por el agua, y adivinó que lo que él pesaba de menos era precisamente lo que pesaba el agua que había desalojado.


Dando por resuelto el problema que tanto le había preocupado fue tal su excitación que desnudo como estaba, saltó de la bañera, y se lanzó por las calles de Siracusa al grito de ¡Eureka! ¡Eureka! (¡Lo encontré! ¡Lo encontré!). Procedió entonces Arquímedes a pesar la corona en el aire y en al agua comprobando que en efecto, su densidad no correspondía a la que hubiera resultado de emplear el artífice todo el oro y la plata entregados y determinando, en consecuencia, que éste había estafado al Rey

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

Problemas geometria from JUANCA650

BIOGRAFÍA DE RENÉ DESCARTES

BIOGRAFÍA DE RENÉ DESCARTES

Descartes fue un filósofo y matemático francés que nació en La Haya, cerca de Tours, el 31 de marzo de 1596. Falleció en Estocolmo, suecia, el 11 de febrero de 1650.

Descartes usó su nombre latinizado: Renatus Cartesius. Hay que considerar que el latín era el lenguaje erudito y esta costumbre era muy común. Esta es la causa de que su sistema filosófico se llame "cartesiano" y que el sistema más corriente sobre el que se trazan las curvas que representan ecuaciones, sistema que Descartes inventó, es el de las "coordenadas cartesianas". Sin embargo, Descartes escribió en francés más que en latín, señal de la decadencia de esta lengua universal entre los eruditos en Europa.

La madre de Descartes murió cuando éste sólo contaba con un año de edad y parece ser que heredó su mala salud. Tuvo problemas con una tos crónica y cuando fue al colegio se le permitió quedarse en cama cuando lo desease. El hecho de que fuera un estudiante brillante contribuyó quizás a su favoritismo. Mantuvo durante toda su vida la costumbre de trabajar en la cama.

Desde los días de su educación con los jesuitas, descartes fue siempre muy devoto. Cuando en 1633 tuvo noticia de la condena de Galileo por herejía, abandonó por el momento el libro que estaba escribiendo sobre el universo en el que aceptaba la teoría de Copérnico, lo que nos demuestra su espíritu devoto.

Pasó algunos años en el ejército francés, durante los cuales no participó en la guerra activa jamás, encontrándose con tiempo de sobra para trabajar en su filosofía. Descartes se estableció en la Holanda protestante. Allí permaneció casi toda su vida, hasta que un día aciago de septiembre del año 1649 aceptó una invitación de la corte sueca. El gobernante en Suecia en aquel momento era la reina Cristina, ansiosa de conseguir un buen filósofo para glorificar su corte.

La reina Cristina era una de las personas más excéntricas que jamás ocupó un trono y para sacar fruto de Descartes lo hacía levantarse a las cinco de la mañana para que le diera clases de filosofía. Los delicados pulmones de Descartes no pudieron aguantar el invierno sueco, sobre todo a las cinco de la mañana y sus visitas al castillo produjeron su muerte antes de que el invierno acabase. Su cuerpo íntegro, a excepción de la cabeza volvió a Francia. En 1809 su cráneo pasó a manos de Berzelius, que se lo mandó a Cuvier, con lo que Descartes volvió a su país íntegro al fin.

Descartes fue un mecanicista. Empezó a dudar de todo, pero esta duda pareció ser lo que él buscaba como hecho incontrovertible. La existencia de una duda implicaba la existencia de alguien que dudaba, y de ahí dedujo la existencia de sí mismo. Expresó esto en la frase latina Cogito ergo sum ("Pienso, luego existo"). La doctrina que hizo a partir de este punto le valió el título que a veces se le ha concedido de padre de la filosofía moderna.

Aplicó su doctrina mecanicista incluso al cuerpo humano. Basando sus conclusiones en la obra de Besalia y Harvey, trató de presentar los mecanismos puramente anormales del cuerpo como un sistema de artificio mecánico. El entendimiento estaba fuera del cuerpo e independiente de él, aunque comunicándose por un "medio", que era la glándula pineal, pequeño órgano pegado al cerebro.

Escogió la glándula pineal porque creyó que era el único órgano no común entre animales y humanos y éstos al carecer de ella carecían de alma y entendimiento, con lo que se convertían en simples máquinas vivientes. (En esto se equivocó Descartes, ya que Stenon descubrió unas décadas más tarde que dicha glándula existía en animales inferiores, y ahora incluso sabemos que un reptil primitivo tiene la glándula aún más desarrollada que el hombre.)

Descartes contribuyó principalmente a la ciencia con sus matemáticas. Se interesó especialmente en esta materia cuando estuvo en el ejército, ya que la inactividad de que gozó le dio mucho tiempo para pensar. Su gran descubrimiento lo hizo en la cama, según se cuenta, al observar el vuelo de una mosca. Se le ocurrió que la posición de la mosca podía darse en cada momento de su vuelo al localizar los tres planos perpendiculares que se cortan en el punto que ésta ocupa en el espacio. Es una superficie bidimensional, como puede ser una hoja de papel, cada punto se podía localizar por las dos rectas que se cortaban perpendicularmente en dicho punto.

Esto no era totalmente original. Todos los puntos del globo terráqueo se podían localizar por medio de una longitud y una latitud, que son en una superficie esférica, análogas a lo que representan las coordenadas cartesianas en una superficie plana.

Lo que de verdad conmovió al mundo fue el hecho fue que Descartes por medio de su sistema de coordenadas podía representar cada punto del plano por un sistema original de dos números. Para los puntos del espacio se requerían tres números, el tercero de los cuales representaba las unidades de arriba o abajo.

Descartes publicó este concepto en un apéndice de unas cien hojas que incluyo en su libro, publicado en 1637, que trataba de vértices y de la estructura del sistema solar. No es la primera vez en la historia de la ciencia que un apéndice fuera mucho más valioso en su contenido que el libro al que estaba sujeto.

El gran mérito del concepto de Descartes fue el de combinar álgebra y geometría para el enriquecimiento de ambas, pudiendo de esta manera resolver problemas con más facilidad que si se hubieran de hacer con las de las dos por separado. Esta combinación abrió camino al cálculo que Newton desarrolló, que consiste esencialmente en la aplicación del álgebra a fenómenos de variación lenta (como el movimiento acelerado) que pudieron así representarse geométricamente por distintos tipos de curvas.

Como fuera "análisis" el sinónimo de álgebra que se utilizó desde los días de Vieta, se llamó geometría analítica a la función que Descartes hizo con las dos ramas de las matemáticas.

Coordenadas cartesianas

En muchas actividades, para entender mejor un proceso, se acostumbra presentarlo de manera gráfica; así, por ejemplo, en economía o administración con frecuencia se dibuja una curva para representar diferentes aspectos como los incrementos y decrementos de los costos o ingresos de una determinada compañía o el poder adquisitivo de una población específica en un intervalo de tiempo. En ingeniería se usan gráficas para mostrar la resistencia de un determinado material; en medicina se utilizan cardiogramas que reflejan el funcionamiento del corazón de un individuo; en física, se dibujan curvas para describir la trayectoria de un objeto, como una pelota o una bala de cañón. Si bien las gráficas se emplean con mucha frecuencia, en general su construcción no resulta una tarea sencilla. Por ello, con el fin de ayudar a elaborarlas y entenderlas con precisión es imprescindible comprender el concepto básico sobre el que se fundan todas la gráficas: el plano cartesiano.

PLANO CARTESIANO

Antes de definir el plano cartesiano[1] veamos algunas de sus aplicaciones en la vida cotidiana. Francisco deseaba encontrar la calle Enrique Rebsamen. Para esto compró una guía con mapa de la ciudad donde localizó la calle que buscaba en el sector 28-I del plano 15. Al revisar el plano notó que éste se dividía en columnas y renglones: a cada columna se le asignaba una letra y a cada renglón un número. Con base en esta clave se ubicó en el renglón 28 y de ahí, horizontalmente, se recorrió hacia la derecha hasta llegar a la columna I. En el pequeño cuadro donde se unían el renglón y la columna señalados, encontró la calle que buscaba. En otras palabras, para ubicar un lugar en un plano se requieren dos datos: uno que localiza el lugar de manera vertical y el otro, horizontal.

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[1] Los conceptos coordenadas cartesianas y plano cartesiano adquieren su nombre en honor al eminente matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650), quien desarrolló la geometría analítica en el apéndice tercero de su tratado filosófico El discurso del método.

PROBLEMAS RESUELTOS DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

PROBLEMAS RESUELTOS DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

EJERCICIO 1: Calcula las razones trigonométricas del ángulo α

Como ves, los tres lados del triángulo son conocidos, así que para calcular las razones trigonométricas sólo tenemos que aplicar las fórmulas y sustituir. Para el ángulo α el cateto opuesto es 9, el adyacente 12 y la hipotenusa 15.

EJERCICIO 2: Calcula las razones trigonométricas del ángulo del siguiente triángulo

Ahora en este ejercicio ya no tenemos los tres lados, falta uno de los catetos y para calcularlo vamos a utilizar el Teorema de Pitágoras.

Lo primero ponerle nombre a los lados. Vamos a llamarle con letras minúsculas a los lados que están enfrente del ángulo con la correspondiente letra mayúscula;    es decir a = 14 m, b = 8 m y c es el lado que queremos calcular

Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos:

                             a² = b² + c ²

                             14²= 8² + c²  
                           196 = 64 + c² 
             196 - 64 = c² 

                                            132 = c²                        
                                                      11,49 = c                                              Luego:                  c = 11, 49 m. 

Después aplicando las definiciones de las razones trigonométricas:

EJERCICIO 3: De un triángulo rectángulo se sabe que uno de sus ángulo agudos es 40º y que el cateto opuesto a éste mide 10m. Calcula el ángulo y los lados que faltan.

Lo primero es hacer un dibujo que nos aclare la situación y ponerle nombre a los lados y ángulos

Para empezar los más fácil es sacar el ángulo que falta, y aplicando que la suma de los tres es 180, el ángulo B vale 50º.

Vamos a calcular ahora por ejemplo el lado "b". Si me fijo en el ángulo C, el lado que sé es el cateto opuesto y el que pretendo calcular es el contiguo. Como la razón trigonométrica en la que intervienen estos es la tangente, voy a calcularla con la calculadora y despejar a partir de ahí:

                    

Por tanto ya tenemos el lado "b". Para calcular el lado "a" podríamos aplicar Pitágoras o sacarlo por alguna razón. Vamos a seguir este camino que será más corto.
Por ejemplo voy a fijarme en el lado "c" y el ángulo "C", aunque ya podría utilizar cualquiera de los datos que tengo. Para el ángulo "C" sé cateto opuesto y quiero hipotenusa; así que habrá que utilizar el seno:

BIOGRAFÍA DE MATEMÁTICO HINDÚ RAMANUJAN

Srinivasa Aayiangar Ramanujan
Matemático (1887 Erode, India 1920, Chetput, India)

Hijo de un contable, que trabajaba para un mercader de paños en Kumbakonam, y de la hija de un modesto oficial brahmán del juzgado de Erode, mujer de "gran sentido común", nació en el seno de una familia de condición humilde. Después de algún tiempo de matrimonio sin tener hijos, su abuelo materno "pidió a la famosa diosa Namagiri, de la vecina ciudad de Namakkal, que bendijese a su hija con descendencia". Poco después, el 22 de diciembre de 1887, nacía Ramanujan, su primer hijo.

Matemático indio. De formación autodidacta, descubrió y rededescubrió centenares de teoremas matemáticos. En 1914, en virtud de la mediación de G. H. Hardy, fue admitido como becario en el Trinity College de Cambridge. Durante su estancia en Cambridge publicó una veintena de artículos, la mayoría de ellos relativos a la teoría analítica de los números. En 1918 fue elegido miembro de la Royal Society, pero su incipiente tuberculosis y una subvención de la Universidad de Madrás lo indujeron a regresar a su país. La teoría de funciones, las series de potencias y la teoría de números fueron los campos matemáticos en los que más destacó.

Comenzó a ir a la escuela a los cinco años. Sin haber cumplido los siete años, y gracias a una beca, le llevaron al colegio de Kumbakonam. Según parece, casi de inmediato reconocieron sus extraordinarias facultades. "Se divertía entreteniendo a sus amigos con teoremas y fórmulas, recitando la lista completa de las raíces sánscritas y repitiendo los valores de pi y de la raíz cuadrada de dos con cualquier número de cifras decimales". Su primer contacto con la matemática formal le llegó de la mano de Synopsis of Pure Mathematics, de Carr, cuando tenía quince años y estaba en la sexta clase de la escuela. El libro, perteneciente a la biblioteca del College del Gobierno local, se lo consiguió prestado un amigo. Ante él se despertó el genio de Ramanujan, quien se puso inmediatamente a demostrar sus fórmulas. Cada solución era un auténtico trabajo de investigación original, ya que carecía de cualquier tipo de ayuda.

Consiguió, a los dieciséis años, pasar el examen de ingreso y obtuvo una beca en el College del Gobierno de Kumbakonam, la "Junior Subrahmanyan Scholarship". Nuestro joven se dedicaba por completo a las matemáticas y descuidaba las otras materias, especialmente el inglés, debido a ello no supero su siguiente examen y perdió la beca. Después de abandonar Kumbakonam, y pasar por Vizagapatam, se presentó en Madrás al "Primer examen en Artes", en diciembre de 1906, fracasó y jamás volvería a intentarlo.

Durante unos años más continuó su trabajo independiente en matemáticas, hasta que en 1909 se casó y necesitó un empleo permanente. Fue entonces, mientras buscaba trabajo, cuando le dieron una carta de recomendación para un amante de las matemáticas, Diwan Behadur R. Ramachandra Rao, que era recaudador de Nelore, a 80 millas al norte de Madrás. Ramachandra Rao mantuvo por un tiempo a Ramanujan, después de fallar otros intentos para conseguir una beca, y no queriendo ser mantenido por mucho tiempo por otra persona, aceptó un pequeño empleo en las oficinas de la Compañía del Puerto de Madrás.

En 1911, se publica su primer trabajo en el Journal of the Indian Mathematical Society, el mismo año publica su primer artículo largo sobre algunas propiedades de los números de Bernoulli. El año siguiente colabora en la misma revista con algunos problemas y dos notas. En 1913 escribe a Hardy la carta, reproducida al comienzo, a la que acompaña alrededor de 120 teoremas. Según algunos autores, había escrito a otros matemáticos europeos, pero sólo Hardy reconoció la valía del autor de la misiva.

A pesar de que Ramanujan tuvo numerosos y brillantes éxitos, sus trabajos sobre los números primos y sobre todos los problemas relacionados con esta teoría estaban ciertamente equivocados. Puede decirse que éste fue su único gran fracaso. Pero todavía no estoy convencido que, en cierto modo, su fracaso no fuera más maravilloso que ninguno de sus triunfos.

Después de ser relevado de su puesto en el puerto de Madrás, en mayo de 1913, gracias a la ayuda de muchos amigos y a una beca especial, el camino parecía abierto para su traslado a Cambridge, por lo que Hardy se había esforzado. Sin embargo su prejuicio de casta y la falta de permiso de su madre le hicieron renunciar. Por fin llegó a Cambridge con una beca de 250 libras de Madrás, 50 de ellas destinadas al sustento de su familia en la India, y una asignación del Trinity College de 60 libras.

Las limitaciones de su conocimiento eran tan asombrosas como su profundidad. Era un hombre que podía trabajar con ecuaciones modulares y teoremas de multiplicación compleja, con medios desconocidos... Pero nunca había oído hablar de una función doblemente periódica o del teorema de Cauchy ni tenía la más remota idea de lo que era una función de variable compleja. Describía nebulosamente su concepto acerca de lo que constituía una demostración matemática. Había obtenido todos sus resultados, nuevos o viejos, verdaderos o falsos, por un proceso mixto de demostración, intuición e inducción, del cual era completamente incapaz de dar cualquier razón coherente.

Era imposible pedir a este hombre que se sometiera a una instrucción matemática, que intentara aprender de nuevo matemáticas desde el principio. Temía además que, si yo insistía indebidamente en materias que Ramanujan consideraba fastidiosas, podía destrozar su confianza o romper el encanto de su inspiración. Por otra parte, había cosas que era necesario que aprendiera. Algunos de sus resultados eran equivocados, en particular los que se referían a la distribución de números primos, a los que daba la mayor importancia... Así yo tenía que intentar enseñarle y en cierto modo lo logré, aunque, obviamente, yo aprendí de él mucho más de lo que él aprendió de mí..."

Efectivamente, en la primavera de 1917 comenzó a manifestarse su tuberculosis. En verano se trasladó a un sanatorio de Cambridge, y ya nunca llegó a disfrutar de un largo periodo fuera de la cama. Pasó por sanatorios en Wells, Marlock y Londrés, sin mejora significativa hasta el otoño de 1918. Estimulado, probablemente por su elección para la Royal Society of London, reanudó el trabajo activo, produciendo en esa época algunos de sus mejores teoremas. Un acicate más le llegaría con su elección para una Trinity Fellowship. Ambas sociedades tienen el mérito de haber reconocido la valía de Ramanujan antes de que fuera demasiado tarde.

Poseía casi una pequeña biblioteca de obras sobre la cuadratura del círculo y otras curiosidades... Era vegetariano en el sentido más estricto (esto constituyó más tarde, cuando estuvo enfermo, una gran dificultad) y durante el tiempo que estuvo en Cambridge cocinó todos sus alimentos él mismo y nunca lo hizo sin antes ponerse en pijama.

Considerado uno de los grandes matemáticos de todos los tiempos, con Euler, Gauss..., nos dejó unos 4000 teoremas, a pesar de su corta vida. Durante sus cinco años de estancia en Cambridge, que desgraciadamente coincidieron con los de la Primera Guerra Mundial, publicó 21 artículos, 5 de ellos en colaboración con G. H. Hardy.

He descubierto recientemente funciones muy interesantes que he denominado falsas funciones theta. Las falsas funciones theta... entran en las matemáticas tan bellamente como las funciones theta ordinarias. Te mando con esta carta algunos ejemplos.

Ramanujan moría en 1920, el desarrollo de su obra no ha concluido, el último cuaderno de notas, el cuaderno "perdido", encontrado en 1976, contenía las 600 fórmulas escritas durante su último año de vida. G. H. Hardy, editó en 1923, el capítulo XII del segundo cuaderno de Ramanujan sobre series hipergeométricas que contenía 47 teoremas principales, muchos seguidos por corolarios y casos particulares. Este trabajo le llevó tantas semanas que sintió que si se hubiera propuesto editar el cuaderno completo, "me hubiera llevado toda mi vida".

A principios de 1919 volvió a la India, donde murió al año siguiente, con un estatus científico y una reputación como ningún indio había disfrutado antes.

BIOGRAFÍA EVARISTE GALOIS

Galois nació el 25 de octubre de 1811, en Bourg-la-Reine, cerca de París. Su padre, Nicholas-Gabriel Galois, era partidario de Napoleón y cabeza del partido liberal en la localidad, llegando a ser elegido alcalde de la villa. Tanto su padre como su madre Adelaide Marie Demante eran ambos inteligentes y bien educados en filosofía, literatura clásica y religión. Durante los primeros doce años de su vida, Évariste fue educado por su madre, quien proporcionó a su hijo una sólida formación básica en latín y griego.

No se tiene noticia de que se hayan dado casos de talento matemático especial en su familia ni de que recibiera una educación especial en matemáticas. La educación regular de Galois comenzó en 1823, cuando ingresó en el Collège Royal de Louis-le-Grand, de París, escuela preparatoria donde estudiaron Robespierre y Victor Hugo. En el Louis-le-Grand, Galois comenzó inmediatamente a sensibilizarse políticamente; sus simpatías liberales y democráticas adquiridas de sus padres, estaban en consonancia con las simpatías de la mayoría de los alumnos. Antimonárquicos, bajo la restauración de Luis XVIII, que impuesto por los aliados en 1815 reinó hasta su muerte en 1824. Siendo sucedido por Carlos X.

En sus primeros años de liceo, Galois ganó varios premios de griego y latín. Aunque, durante el tercer año, su trabajo en retórica fue considerado insuficiente y tuvo que repetir curso. Fue después de ese tropezón cuando Galois recibió su primer curso de matemáticas. Tenía entonces 15 años. El curso, impartido por Hippolyte Jean Vernier, despertó el genio matemático de Galois. Tras engullir a toda velocidad los manuales al uso, fue derecho hacia las obras maestras de la época, devorando los Eléments de Géométrie de Adrien Marie Legendre, emprendiéndola inmediatamente con las memorias originales de Joseph Louis Lagrange: La resolución de ecuaciones algebraicas, La teoría de funciones analíticas y Lecciones sobre el cálculo de funciones.

Fue sin duda de Lagrange de quién aprendió por vez primera la teoría de ecuaciones, teoría a la que él mismo habría de realizar contribuciones fundamentales a lo largo de los cuatro años siguientes. El descubrimiento de las matemáticas provocó un sorprendente cambio en la personalidad de Galois. Empezó a descuidar las otras materias, atrayendo hacia sí la hostilidad de los profesores de humanidades. Incluso Vernier, aunque sin pretender enfriar la pasión matemática de Galois, le insistió en la necesidad de trabajar más sistemáticamente.

Galois decidió en cambio presentarse al examen de ingreso en la École Polytechnique con un año de anticipación y sin el curso de preparación matemática habitual. Careciendo de formación fundamental, fue rechazado. Galois consideró su fracaso como una injusticia, y ello endureció su rechazo a la autoridad. No obstante, continuó progresando rápidamente en matemáticas, matriculándose en el curso superior de esta ciencia en el Louis-de-Grand, impartido por el profesor Louis-Paul-Émile Richard, quien se percató inmediatamente de las dotes de Galois, solicitando que fuera admitido sin examen previo en la École Polytechnique. Aunque su recomendación no fue atendida, el estímulo de Richard produjo en Galois resultados espectaculares.

En 1829, siendo todavía estudiante, Galois logró publicar su primer trabajo. Se titulaba Demostración de un teorema sobre fracciones continuas periódicas, y apareció en Annales de mathématiques pures et appliquées, de Joseph Diaz Gergonne. Este artículo, sin embargo, sólo fue un pequeño aparte. Galois había ya dirigido su atención hacia la teoría de ecuaciones, tema que había explorado por primera vez en las obras de Lagrange. A sus 17 años estaba atacando uno de los más difíciles problemas de las matemáticas; un problema que había mantenido en jaque a los matemáticos durante más de un siglo. Lo que Galois consiguió fue dar criterios definitivos para determinar si las soluciones de una ecuación polinómica podrán o no calcularse por radicales.

Más notables, incluso que los propios descubrimientos, fueron los métodos que ideó para estudiar el problema. Sus investigaciones abrieron las puertas de una teoría cuyas aplicaciones desbordan con mucho los límites de la teoría de ecuaciones: la teoría de grupos. Galois presentó a la Academia de Ciencias Francesa sus primeros artículos sobre lo que llegaría a ser la teoría de grupos.

Le faltaban menos de dos meses para examinarse por segunda vez de las pruebas de acceso a École Polytechnique, pero los acontecimientos de su vida habrían de tomar un desdichado giro. Apenas unas semanas antes del examen, el padre de Évariste puso fin a su vida, asfixiándose en su apartamento de París. Las circunstancias en las que se planteaba el examen de ingreso eran las peores posibles. Además, al parecer, Évariste declinó seguir en su exposición las indicaciones del examinador y fue suspendido por segunda y definitiva vez. Estos dos desastres hicieron cristalizar su odio por la jerarquía conservadora.

Viéndose obligado a tomar en consideración la menos prestigiosa École Normale, Galois se presentó a los exámenes de bachillerato necesario para ser admitido, en noviembre de 1.829. Esta vez fue aprobado en razón de una excepcional calificación en matemáticas, recibiendo la categoría de universitario aproximadamente al mismo tiempo que sus trabajos sobre teoría de grupos iban a ser presentados a la Academia de Ciencias. Sus artículos, sin embargo, nunca llegarían a ver la luz del día.

Cuando sus trabajos fueron recibidos por la Academia, fueron enviados a Jean Baptiste Joseph Fourier, matemático inventor del hoy llamado análisis armónico o análisis de Fourier, en su calidad de secretario perpetuo de la Academia. Desgraciadamente Fourier murió en mayo, y el artículo de Galois no pudo hallarse entre los efectos de Fourier. Más tarde, Galois atribuiría su mala suerte a un malvado intento de la Academia, acusando al jurado de rechazar su trabajo de antemano, por ser su autor de nombre Galois, y además, tan sólo un estudiante. Pocas dudas caben hoy de que la actitud de Galois hacia las autoridades empezaba a mostrar rasgos paranoides.

Galois continuó siendo matemático productivo y empezó a publicar en el Bulletin des sciences mathématiques, astronomiques, physiques et chimiques del Barón de Férussac. Sus artículos prueban claramente que en 1830 había ido más allá que ningún otro matemático en la búsqueda de las condiciones que determinan la solubilidad de las ecuaciones, si bien no disponía todavía de un análisis completo. En enero de 1831, había llegado a una conclusión, que sometió a la Academia en una nueva memoria, escrita a petición del matemático Simeón Denis Poisson.

Esta memoria es la más importante de las obras de Galois. Poisson hizo cuanto pudo para comprender el manuscrito, pero acabó recomendando a la Academia que lo rechazase, y animando a Galois a desarrollar y explicitar su exposición. Por la época en que Galois había terminado casi su trabajo en teoría de grupos, los acontecimientos de su vida habían cobrado fuerte tinte político. En julio de 1830 la oposición republicana tomó las calles y obligó a exiliarse al rey Carlos X. Mientras los estudiantes izquierdistas de la École Polytechnique tuvieron en la lucha un papel activo, Galois y sus compañeros de la École Normale fueron encerrados en la escuela por su director. Galois intentó sin éxito escalar los muros: al no conseguirlo no tomó parte en la breve revolución.

Aunque los republicanos consideraron que la abdicación del Borbón fue una gran victoria, su triunfo fue efímero. El trono fue nuevamente ocupado, esta vez por Luis Felipe de Orléans. En los meses inmediatos a la revolución, Galois entró en contacto con líderes republicanos, ingresó en sociedades republicanas y probablemente intervino en algaradas y manifestaciones.

En diciembre de 1830, la ruptura de Galois con la École Normale era ya oficial. Galois había escrito una carta a su director, donde le llamaba traidor por su actitud durante la revolución de julio. Tras su expulsión de la École Normale se mudó al piso de su madre en París; tan difícil resultaba convivir con él, que su propia madre le abandonó. El suceso culminante de la turbulenta primavera de 1831 ocurrió durante un banquete republicano donde se celebraba la absolución de 19 oficiales de artillería que habían sido acusados de conspirar contra el gobierno. Galois se puso en pie para proponer un brindis: "¡Por Luis Felipe!", dijo, alzando al mismo tiempo su copa y un puñal. A causa de esta acción desafiante fue detenido al día siguiente y encarcelado durante más de un mes en la prisión de Sainte-Pélagie. En el juicio, la defensa de Galois sostuvo que el brindis había sido: "¡Por Luis Felipe, si traiciona!" pero la frase "si traiciona" había quedado ahogada por el clamor de los comensales. No se sabe si los jurados creyeron este alegato o si se conmovieron por la juventud de Galois, que contaba entonces con 19 años; lo cierto es que le absolvieron en pocos minutos.

Sin embargo, en el día de la Bastilla, el 14 de julio de 1831, menos de un mes después de su absolución, Galois fue nuevamente detenido, esta vez por vestir ilegalmente el uniforme de la Guardia de Artillería. Considerado amenaza para el trono, este cuerpo había sido disuelto; el gesto de Galois fue, por consiguiente, un acto de desafío. Esta vez durmió ocho meses en Sainte-Pélagie. La permanencia en prisión tuvo sobre Galois efectos devastadores, quien pasaba del más profundo desaliento a la ira ciega. Con ocasión de la muerte de un compañero de prisión, parece que Galois acusó al superintendente de la cárcel de haber amañado el incidente. Galois fue entonces encerrado en la celda de castigo, quizás a consecuencia de la acusación.

Pese a todas estas calamidades, quizás el peor golpe para Galois fuera ver su trabajo de 1831 rechazado por la Academia. A mediados de marzo de 1832 se le trasladó de Sainte-Pélagie a la casa de salud Sieur Faultrier, a causa de la epidemia de cólera que sufrió París. Al parecer fue allí donde conoció a una mujer con la que mantuvo una relación que tuvo que ser de poca duración. Dos cartas fragmentarias le fueron escritas a Galois en las semanas anteriores al duelo, cartas que hacen pensar en una disputa de carácter personal. La primera carta comienza: "Por favor, rompamos nuestras relaciones. No tengo ánimo para proseguir una correspondencia de esta naturaleza, aunque me esforzaré en reunir el suficiente para conversar contigo como lo hacía antes de que nada sucediera..." Por tanto, la "infame coqueta" a quien Galois culpa de sus desgracias en una carta escrita la noche anterior al duelo era seguramente esta mujer, cuyo nombre aparece con frecuencia en los márgenes de los papeles de Galois: "Muero - escribió - víctima de una coqueta infame y de sus dos encandilados."

Sin embargo, en el duelo en el que Galois perdió la vida, el adversario era como él, un ardiente republicano. Más aún, al parecer, era uno de los 19 oficiales de la Guardia de Artillería cuya absolución fue ocasión del desafiante brindis que Galois ofreció al rey. El duelo fue entre amigos y se desarrolló como una especie de ruleta rusa; estando cargada solamente una de las pistolas. Muchos fragmentos de manuscritos muestran que Galois prosiguió con sus investigaciones matemáicas no sólo durante su encarcelamiento, sino hasta la hora de su muerte. Que Galois fuera capaz de trabajar con provecho en medio de semejante agitación y turbulencia es testimonio de la fertilidad extraordinaria de su imaginación. Prescindiendo por completo de las circunstancias en que se desarrolló su trabajo, no cabe duda de que Galois hizo nacer una de las ideas más originales de la historia de las matemáticas.

Esa misma noche, Galois escribía también a su amigo Auguste Chevalier: "He hecho algunos descubrimientos nuevos en análisis. El primero concierne a la teoría de ecuaciones; los otros, a las funciones enteras. En teoría de ecuaciones he investigado las condiciones de solubilidad de ecuaciones por medio de radicales; con ello he tenido ocasión de profundizar en esta teoría y describir todas las transformaciones posibles en una ecuación, aun cuando no sea posible resolverla por radicales. Todo ello puede verse aquí, en tres memorias... Haz petición pública a Jacobi o a Gauss para que den su opinión, no acerca de la veracidad, sino sobre la importancia de estos teoremas. Confío en que después algunos hombres encuentren de provecho organizar todo este embrollo."

El desesperado estado de ánimo en que se encontraba Galois al escribir estas cartas estaba plenamente justificado, como tristemente habrían de probar los acontecimientos inmediatos. Poco después del amanecer de esa misma noche, Galois abandonó su habitación de la pensión Sieur Faultrier, en París, y se enfrentó en duelo de honor a un activista político llamado d'Herbinville, a las orillas de un estanque cercano. Allí Galois recibió un balazo en el abdomen quedando abandonado. Más tarde un transeúnte lo encontró y llevó al Hôpital Cochin, donde murió al día siguiente.

Catorce años después, los manuscritos que dejó para Chevalier fueron publicados por el matemático francés Joseph Liouville, naciendo de esta forma la rama, excepcionalmente fecunda, de la matemática conocida hoy por teoría de grupos.

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