DISTRIBUCIONES GRÁFICAS Y NUMÉRICAS

MÉTODO DE HORNER

EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Se presenta el siguiente problema:

“Un alcalde establece colocar postes igualmente distanciados alrededor de un terreno rectangular cuyas dimensiones son: 560 metros de largo y 240 metros de ancho. Además debe colocarse un poste en cada esquina y el número de postes debe ser el menor posible; con estos datos, ¿cuántos postes deberá mandar a colocar el alcalde alrededor del terreno?”

Al analizar el problema consideremos algunas condiciones importantes para encontrar la solución.

Primero: “…postes igualmente distanciados...” significa que es una longitud que divide exactamente al largo como al ancho del terreno, es decir, es “divisor de 560m. y 240m. al mismo tiempo (común)”.

Segundo: “…debe colocarse un poste en cada esquina…” esto es importante para el conteo final de postes, para no contar dos veces, sobre todo aquellos que están en las esquinas.

Tercero: “…el número de postes debe ser el menor posible…” este es el dato final, si queremos usar el menor número de postes alrededor del terreno, entonces el distanciamiento entre dos postes, debe ser el mayor posible, en otras palabras: “el máximo”.

Conclusión: la longitud entre poste y poste divide exactamente al largo y ancho del terreno, es decir, es un divisor común, además es máximo, finalmente lo que debemos calcular es el Máximo Común Divisor de 560 y 240: MCD (560;240)

•       MÉTODOS DE CÁLCULO DEL MCD:

A)      Considerando los divisores de cada número:

560: 1;2;4;5;7;8;10;14;16;20;28;35;40;56;70;80;112;140;280;560

240: 1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;16;20;24;30;40;48;60;80;120;240

Divisores comunes: 1;2;4;5;8;10;16;20;40 y 80

El Mayor de ellos es: 80, entonces el MCD (560; 280) = 80

B)      Descomposición Individual:

Se descompone canónicamente cada número, es decir, en base a sus factores primos:

560 =2⁴x5x7

240= 2⁴x3x5

Ahora consideramos solo los factores que son comunes, con sus menores exponentes (si hay factores primos, comunes, pero con diferentes exponentes):

MCD (560;240) = 2⁴x5 = 80

C)      Descomposición Simultánea:

Se descomponen los números al mismo tiempo, pero solo consideramos los divisores que dividen exactamente a los números simultáneamente.

 

        MCD (560;240) = 2x2x2x2x5= 80

D)      Algoritmo de Euclides:

Se usa cuando es difícil saber qué factores comunes tienen los números y se basa en dividir los números en cuestión, hasta obtener un residuo igual a cero, colocando los cocientes y residuos de la siguiente forma:

MCD (560;240) = 80

¿pero qué es el Máximo Común Divisor?, es un número, no un método ni un procedimiento, simplemente un número, que divide exactamente a otros al mismo tiempo y es el de mayor valor posible.

 Finalmente, al resolver el problema:

Cada poste debe estar distanciado del otro, 80 metros, por lo tanto, en el largo del terreno hay 560:80 = 7 espacios y entre cada espacio hay dos postes, finalmente en cada largo, considerando las esquinas, tenemos 8 postes, en total 16.

En el ancho algo similar: 240:80 = 3 espacios, por lo tanto, habría 4 postes, pero estamos considerando los que están en las esquinas, que ya han sido contados; como son dos esquinas restamos dos postes y nos quedamos con solo dos para cada ancho, en total 4.

Sumando todo tendríamos: 20 postes en total.

EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Tenemos el siguiente problema:

“Se tiene cierta cantidad de ladrillos de dimensiones: 0,3m de largo, 0,05 m de grosor y 0,08m de alto; con la menor cantidad de ellos, se quiere construir un cubo de este material, ¿cuántos ladrillos serán necesarios teniendo en cuenta las dimensiones de los ladrillos?”

Analicemos el problema:

Primero: el cubo tiene sus tres dimensiones iguales (largo, ancho y altura) entonces la longitud del lado del cubo (arista) es el mismo en cada dimensión.

Segundo: La longitud de la arista del cubo se forma con cada dimensión del lado del ladrillo, en otras palabras, esta longitud debe contener exactamente a cada dimensión del ladrillo, es decir, debe ser “un múltiplo” de cada longitud del ladrillo.

Tercero: Se debe usar el menor número de ladrillos, y eso significa que la longitud de la arista del cubo es la menor posible, “mínimo”.

Conclusión: La longitud de la arista del cubo “deber mínima y un múltiplo de las dimensiones del ladrillo” por lo tanto el Mínimo Común Múltiplo de: 0,3m de largo, 0,05 m de grosor y 0,08m de alto en centímetros: 30 cm.,5 cm. y 8 cm. (solo se multiplica por 100 a cada uno) :  MCM (30;5;8)

•       MÉTODOS DE CÁLCULO DEL MCM:

A)      Descomposición Individual:

Se descompone canónicamente cada número, es decir, en base a sus factores primos:

30 = 2x3x5

  5 = 5

  8 = 2³

Ahora consideramos todos los factores comunes y no comunes con sus mayores exponentes:

MCM (30;5;8) = 2³x3x5 = 120 cm.

B)      Descomposición Simultánea:

Se descomponen los números al mismo tiempo, y consideramos factores primos comunes y no comunes hasta llegar a 1.

Finalmente, al resolver el problema:

La longitud de la arista del cubo debe ser 120 cm. para calcular el número de ladrillos se realiza la siguiente operación:

RECOPILACIÓN DE TRUCOS OPERATIVOS MATEMÁTICOS

RECOPILACIÓN DE TRUCOS OPERATIVOS MATEMÁTICOS

1.      COMO USAR EL COMPLEMENTO ARITMÉTICO PARA MULTIPLICAR.

Recordemos como se calcula el complemento aritmético en base decimal de un número:

CA (2376) = 10000 – 2376= 7624

Para las dos primeras cifras del resultado sumamos los dos CA, es decir, 9+6 = 15

 y se resta de 100 tenemos: 100-15= 85 son las dos primeras cifras.

Para las dos últimas cifras del resultado se multiplican los dos CA, entonces: 9x6=54

son las dos últimas cifras del resultado cuyo valor completo es 8554

2.      MÉTODO RUSO PARA MULTIPLICA

Para aplicar este método primero debemos seguir las siguientes reglas para cada situación

Primer caso:

Tomemos dos números, al primero (puede ser cualquiera de los dos, pero para tener un orden elijamos al primero) se le duplica sucesivamente y al segundo factor se le divide entre dos.

Ejemplo

Al momento que este proceso termina, es decir, ya no podemos dividir entre dos (división entera), vamos a fijarnos en aquel resultado o resultados que se encuentran frente a un valor impar y posteriormente se suman; en el ejemplo el único valor que está frente a un valor impar es 720 (frente a 1), por lo tanto, este es el producto resultante.

Segundo caso:

¿Qué sucede si en la columna que dividimos entre dos, hay algún resultado impar?

La respuesta sería que a este número impar le restamos 1 y procedemos a dividirlo entre dos.

Igual que el caso anterior consideramos los números frente a las cantidades impares para luego sumarlos.

Ejemplo

En el ejemplo los únicos valores frente a números impares son 78 (que está frente a 17) y 1248 (que está frente a 1), entonces: 1248 + 78 = 1326

3.      MÉTODO EGIPCIO PARA MULTIPLICAR:

Sin quererlo ahora mostraremos un método basado en el sistema binario, la explicación quedará para luego en otro momento, por ahora veremos cómo se usa el método.

Ejemplo:

Para verificar la certeza del método usaremos el ejemplo anterior: 39 x34.

En este caso en vez de 34 colocaremos 1 y ambos términos (34 y 1) se irán duplicando y nos detendremos antes que el valor que estamos obteniendo al duplicar el 1, supere al valor que está reemplazando (en este caso 34)

(aquí nos detenemos, porque el siguiente valor supera a 34)

En la columna donde está el 1, buscamos aquellos valores que sumados nos dan exactamente 34, para el ejemplo que desarrollamos estos valores son 32 y 2 (32+2=34)

Luego vemos que cantidades están frente a estos dos valores (32 y 2)

Y verificamos que son: 1248 y 78; finalmente sumamos estos valores

1248+78 = 1326 y obtenemos el resultado final

4.      MÉTODO HINDÚ PARA MULTIPLICAR:

Ejemplo 1:

Multipliquemos 405 x 32

Para aplicar este método primero dibujamos una tabla con un número de filas igual a la cantidad de cifras que tiene el multiplicador (en este ejemplo es el número 32 por lo tanto 2 filas) y un número de columnas igual a la cantidad de cifras que tiene el multiplicando (en el ejemplo que hemos elegido es 405, por lo tanto, serán 3 columnas), además trazamos las diagonales como indica el gráfico de la siguiente manera:

Colocamos los números que se multiplican de la siguiente forma:

Multiplicamos 4x3=12     4x2= 8 y colocamos las cifras de cada resultado en el casillero correspondiente de la siguiente forma:

  Continuamos con las demás multiplicaciones: 0x3=0       0x2= 0     5x3 =15      5x2 =10

Y terminamos de completar la tabla obteniendo finalmente la siguiente:

 Para finalizar hacemos la suma de los resultados como indica las flechas, obteniéndose finalmente:

El resultado es considerando los valores que se han obtenido, es decir: 12960   

Ejemplo 2:

536 x 47

En este caso cuando una suma sale mayor que diez se hace los siguiente:

Finalmente tenemos:

La respuesta es: 25192

FRACCIONES

FRACCIONES

1

.          CONCEPTO:

Una fracción es considerada la parte o partes de un todo dividido en varias iguales.

Pero también es la relación de dos cantidades: el denominador, que indica en cuantas partes iguales se ha dividido “todo” y el numerador que determina cuántas se han considerado.

Haciendo un alcance más, la fracción también es una división de dos números, cuyo resultado es un número decimal. Esta idea es la que se va a utilizar para el desarrollo de operaciones entre fracciones.

2      OPERACIONES CON FRACCIONES:
           
         A)      IDEA DE NÚMERO MIXTO:

Ahora lo que indica el denominador es que se divida “todo” en cinco partes iguales y se tomen nueve y en este caso se necesitan 2 figuras divididas en cinco partes iguales cada una y de las cuales, para tomar nueve, se han pintado una totalmente y de los otros cuatro rectángulos pequeños, es decir: 4/5 de ella.

 Ahora podemos ver una equivalencia importante:

El método operativo es más sencillo de aplicar, para realizar la conversión en uno u otro sentido:

B)       ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES:

La adición de fracciones tiene métodos que hay que saber cuál utilizar según los términos que se están operando.

PRIMER CASO

Por ejemplo:

Si son dos fracciones con numeradores y denominadores menores que 10 es más fácil y práctico usar el método del aspa:

SEGUNDO CASO

Hay casos en que tenemos o podemos simplificar a una fracción equivalente, esto sucede cuando los denominadores de las fracciones tienen un factor o factores en común.

Por ejemplo:

                     dividimos numerador y denominador entre 4 y se obtiene:   

TERCER CASO

También se puede presentar que podemos convertir el resultado a número mixto

Por ejemplo:

 

CUARTO CASO

Si son dos fracciones con denominadores con varios factores en común es mejor utilizar el Método el Mínimo Común Múltiplo, cuyo objetivo es que las dos fracciones tengan el mismo denominador, en otras palabras, sean homogéneas.

     Por ejemplo:

si nos damos cuenta el primer denominador ha sido multiplicado por 5 y para obtener una fracción equivalente también debemos multiplicar por 5 a su numerador, es decir, se tendría: 5 x 7 = 35.

Para la segunda fracción el denominador ha sido multiplicado por 2 entonces a su numerador lo multiplicamos por 2, finalmente tendríamos las dos siguientes fracciones:

¿Qué pasaría si lo calculamos por el método el aspa?

ambos términos del resultado tienen factor 3 y 5 que podemos simplificar así:

El método del MCM es el más general y sirve cuando se tienen más de dos fracciones cuyos denominadores tienen factores comunes entre todos o parcialmente entre algunos.

Por ejemplo

Para el caso de sustracción como se trabajan dos fracciones, se aplica los casos mencionados, según convenga:

Por ejemplo:

Para el siguiente ejercicio aplicamos el método del MCM:

C)      MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES:

La multiplicación es más sencilla, porque se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador.

Por ejemplo:

Si se multiplica una fracción con un número entero este número se considera con denominador 1.

Por ejemplo:

El resultado ha sido simplificado, ese proceso de simplificación se pudo haber realizado al inicio de la operación:

dividimos entre cuatro al valor entero y al denominador. La simplificación, en la multiplicación de fracciones, siempre se realiza entre términos que se encuentran en el numerador y el denominador.

D)      DIVISIÓN DE FRACCIONES:

Para dividir fracciones se pueden usar cualquiera de estos métodos:

Primer método: Se multiplica como indican las flechas y se colocan los resultados según lo indicado

Segundo método: Se invierte la segunda fracción (divisor) y se procede como si fuese una multiplicación.

Tercer método:  Se procede según las flechas: