EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Se presenta el siguiente problema:

“Un alcalde establece colocar postes igualmente distanciados alrededor de un terreno rectangular cuyas dimensiones son: 560 metros de largo y 240 metros de ancho. Además debe colocarse un poste en cada esquina y el número de postes debe ser el menor posible; con estos datos, ¿cuántos postes deberá mandar a colocar el alcalde alrededor del terreno?”

Al analizar el problema consideremos algunas condiciones importantes para encontrar la solución.

Primero: “…postes igualmente distanciados...” significa que es una longitud que divide exactamente al largo como al ancho del terreno, es decir, es “divisor de 560m. y 240m. al mismo tiempo (común)”.

Segundo: “…debe colocarse un poste en cada esquina…” esto es importante para el conteo final de postes, para no contar dos veces, sobre todo aquellos que están en las esquinas.

Tercero: “…el número de postes debe ser el menor posible…” este es el dato final, si queremos usar el menor número de postes alrededor del terreno, entonces el distanciamiento entre dos postes, debe ser el mayor posible, en otras palabras: “el máximo”.

Conclusión: la longitud entre poste y poste divide exactamente al largo y ancho del terreno, es decir, es un divisor común, además es máximo, finalmente lo que debemos calcular es el Máximo Común Divisor de 560 y 240: MCD (560;240)

•       MÉTODOS DE CÁLCULO DEL MCD:

A)      Considerando los divisores de cada número:

560: 1;2;4;5;7;8;10;14;16;20;28;35;40;56;70;80;112;140;280;560

240: 1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;16;20;24;30;40;48;60;80;120;240

Divisores comunes: 1;2;4;5;8;10;16;20;40 y 80

El Mayor de ellos es: 80, entonces el MCD (560; 280) = 80

B)      Descomposición Individual:

Se descompone canónicamente cada número, es decir, en base a sus factores primos:

560 =2⁴x5x7

240= 2⁴x3x5

Ahora consideramos solo los factores que son comunes, con sus menores exponentes (si hay factores primos, comunes, pero con diferentes exponentes):

MCD (560;240) = 2⁴x5 = 80

C)      Descomposición Simultánea:

Se descomponen los números al mismo tiempo, pero solo consideramos los divisores que dividen exactamente a los números simultáneamente.

 

        MCD (560;240) = 2x2x2x2x5= 80

D)      Algoritmo de Euclides:

Se usa cuando es difícil saber qué factores comunes tienen los números y se basa en dividir los números en cuestión, hasta obtener un residuo igual a cero, colocando los cocientes y residuos de la siguiente forma:

MCD (560;240) = 80

¿pero qué es el Máximo Común Divisor?, es un número, no un método ni un procedimiento, simplemente un número, que divide exactamente a otros al mismo tiempo y es el de mayor valor posible.

 Finalmente, al resolver el problema:

Cada poste debe estar distanciado del otro, 80 metros, por lo tanto, en el largo del terreno hay 560:80 = 7 espacios y entre cada espacio hay dos postes, finalmente en cada largo, considerando las esquinas, tenemos 8 postes, en total 16.

En el ancho algo similar: 240:80 = 3 espacios, por lo tanto, habría 4 postes, pero estamos considerando los que están en las esquinas, que ya han sido contados; como son dos esquinas restamos dos postes y nos quedamos con solo dos para cada ancho, en total 4.

Sumando todo tendríamos: 20 postes en total.

EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Tenemos el siguiente problema:

“Se tiene cierta cantidad de ladrillos de dimensiones: 0,3m de largo, 0,05 m de grosor y 0,08m de alto; con la menor cantidad de ellos, se quiere construir un cubo de este material, ¿cuántos ladrillos serán necesarios teniendo en cuenta las dimensiones de los ladrillos?”

Analicemos el problema:

Primero: el cubo tiene sus tres dimensiones iguales (largo, ancho y altura) entonces la longitud del lado del cubo (arista) es el mismo en cada dimensión.

Segundo: La longitud de la arista del cubo se forma con cada dimensión del lado del ladrillo, en otras palabras, esta longitud debe contener exactamente a cada dimensión del ladrillo, es decir, debe ser “un múltiplo” de cada longitud del ladrillo.

Tercero: Se debe usar el menor número de ladrillos, y eso significa que la longitud de la arista del cubo es la menor posible, “mínimo”.

Conclusión: La longitud de la arista del cubo “deber mínima y un múltiplo de las dimensiones del ladrillo” por lo tanto el Mínimo Común Múltiplo de: 0,3m de largo, 0,05 m de grosor y 0,08m de alto en centímetros: 30 cm.,5 cm. y 8 cm. (solo se multiplica por 100 a cada uno) :  MCM (30;5;8)

•       MÉTODOS DE CÁLCULO DEL MCM:

A)      Descomposición Individual:

Se descompone canónicamente cada número, es decir, en base a sus factores primos:

30 = 2x3x5

  5 = 5

  8 = 2³

Ahora consideramos todos los factores comunes y no comunes con sus mayores exponentes:

MCM (30;5;8) = 2³x3x5 = 120 cm.

B)      Descomposición Simultánea:

Se descomponen los números al mismo tiempo, y consideramos factores primos comunes y no comunes hasta llegar a 1.

Finalmente, al resolver el problema:

La longitud de la arista del cubo debe ser 120 cm. para calcular el número de ladrillos se realiza la siguiente operación: