MATRICES

Una matriz es un arreglo rectangular ordenado de números en filas y columnas

Se representa mediante letras mayúsculas,

 

EN EL EJEMPLO LA MATRIZ A

La matriz es de orden 3X3

EJEMPLOS PRÁCTICOS

NOTACIÓN  GENERAL

Matrices Especiales

Matriz cuadrada

Esta matriz se caracteriza por tener igual cantidad de filas y columnas. Es una matriz de orden n x n o simplemente de orden n

Matriz rectangular

Matriz  donde el número de filas es distinta al número de columnas

Matriz nula

Matriz  cuadrada o rectangular en donde todos sus elementos son nulos 

Matrices cuadradas

Matriz diagonal

Todos sus elementos son nulos a excepción de por lo menos un elemento de la diagonal principal

Matriz escalar

Sus elementos de la diagonal principal son iguales y no nulos

Matriz identidad

Es una matriz escalar cuyos elementos  no nulos son iguales a 1

Matriz TRIANGULAR

Matriz SIMÉTRICA Y ANTISIMÉTRICA

Matriz RECTANGULAR

EJERCICIOS  RESUELTOS

Solución en el video

MATRICES Y SISTEMAS LINEALES

TOMADO DE: http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/Libros/algebralineal/Matrices%20y%20sistemas%20lineales.pdf

Teorema de Rouché-Fröbenius

Con el enunciado del teorema debido al francés Eugène Rouché y al alemán Georg Ferdinand Fröbenius se hace posible resolver cualquier tipo de sistema de ecuaciones de primer grado, tenga o no solución. En esencia, este teorema se basa en el análisis del rango de las matrices representativas del sistema.

Enunciado del teorema de Rouché-Fröbenius

Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, cuya expresión general sería:

se pueden definir su matriz de coeficientes C y su matriz ampliada A como:

Según el teorema de Rouché-Fröbenius, la condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas sea compatible (tenga solución) es que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al rango de la matriz ampliada.

Discusión y clasificación de sistemas lineales

Como consecuencia de la aplicación del teorema de Rouché-Fröbenius, los sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas se pueden discutir y resolver con cierta rapidez. Así, se tiene que:

• Si los rangos de las matrices de los coeficientes y ampliada son iguales, el sistema es compatible (tiene solución). Si el número de incógnitas es igual a dicho rango, será determinado (una solución), y si el número de incógnitas es mayor que el rango, el sistema es indeterminado (infinitas soluciones).
• Cuando los rangos de las matrices de los coeficientes y ampliada son distintos, el sistema es incompatible (no tiene solución).

Discusión de un sistema por el teorema de Rouché-Fröbenius.

Resolución por el teorema de Rouché-Fröbenius

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales basándose en el teorema de Rouché- Fröbenius, se procede del modo siguiente:

• Se discute el sistema, analizando los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada.
• Si el sistema es compatible determinado, se toma el menor de la matriz de los coeficientes que ha dado el rango.
• El sistema equivalente que resulta se resuelve por la regla de Cramer (ver t18).

Sistemas lineales homogéneos

Los sistemas lineales en los que los términos independientes son siempre cero se llaman homogéneos. Un sistema homogéneo tiene siempre la solución trivial o impropia en la que todas las incógnitas son iguales a cero. Sin embargo, las raíces de interés en el análisis del sistema son todas las demás, si existieren, que se dicen soluciones propias.

Si se aplica el teorema de Rouché-Fröbenius a estos sistemas, se obtiene que:

• Cuando el rango de las matrices es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y por tanto su única solución es la trivial.
• Si el número de incógnitas es mayor que el rango, el sistema es compatible indeterminado y posee infinitas soluciones.

Un sistema lineal homogéneo nunca puede ser incompatible.

Discusión de un sistema lineal homogéneo por el teorema de Rouché-Fröbenius.

Sistemas dependientes de parámetros

En los sistemas de ecuaciones que dependen de uno o dos parámetros no existe un método fijo de resolución. Sin embargo, sus soluciones pueden discutirse con mayor facilidad por medio del teorema de Rouché-Fröbenius.

Normalmente, al calcular los determinantes de las matrices de coeficientes y ampliada, se obtiene una dependencia de los parámetros, de manera que del estudio de sus posibles valores se deduce si el sistema es compatible (determinado o indeterminado) o incompatible.

tomado de: http://www.hiru.com/matematicas/teorema-de-rouche-frobenius

Propiedades de los determinantes

El uso de determinantes simplifica de forma muy notable la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para ello, se aplican propiedades generales que permiten acometer la discusión y la resolución de tales sistemas mediante un procedimiento riguroso.

Cálculo de determinantes

En el manejo de determinantes se pueden establecer algunas propiedades que facilitan las operaciones de cálculo. Tales propiedades son:

• 1. Una matriz cuadrada con una fila o una columna en la que todos los elementos son nulos tiene un determinante igual a cero.
• 2. El determinante de una matriz con dos filas o dos columnas iguales es nulo.
• 3. Cuando dos filas o dos columnas de una matriz son proporcionales entre sí (una se puede obtener multiplicando la otra por un factor), su determinante es cero.
• 4. Al intercambiar dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo.
• 5. Al multiplicar todos los elementos de una fila o una columna de una matriz por un número, el determinante de la matriz resultante es igual al de la original multiplicado por ese mismo número.
• 6. El determinante de una matriz triangular o una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.
• 7. Cuando a una fila (o columna) de una matriz se le suma o resta una combinación lineal de otras filas (o columnas), el valor de su determinante no se altera.

Propiedad 4.

Otras propiedades de los determinantes

• 1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al de su traspuesta: |A| = |A^t|.
• 2. El determinante de un producto de matrices coincide con el producto de los determinantes de cada matriz:|A × B| = |A| ×|B|.
• 3. Cuando una matriz tiene inversa, su determinante es distinto de cero; análogamente, si el determinante de una matriz no es nulo, dicha matriz tiene inversa.
• 4. El determinante de la inversa de una matriz es igual al inverso del determinante de la matriz. 
• 5. La suma de los productos de los elementos de una fila o columna de una matriz por los adjuntos de otra fila o columna es siempre nula.
• 6. La matriz de los adjuntos de una matriz A dada de dimensión n tiene un determinante igual al determinante de A elevado a n-1.

El método de Gauss

La aplicación de las propiedades de los determinantes permite obtener el valor de un determinante dado a través de su transformación en otro de igual valor. Un procedimiento particularmente interesante es el llamado método de Gauss, que consiste en:

• Elegir el primer elemento de la diagonal principal del determinante.
• Aplicar las propiedades de cálculo de los determinantes hasta lograr que todos los elementos de la columna del elegido, salvo él mismo, sean iguales a cero.
• Elegir el segundo elemento de la diagonal principal y aplicar las propiedades de los determinantes para obtener que todos los elementos de su columna situados debajo de él sean nulos.
• Aplicar sucesivamente este método hasta obtener un determinante triangular o diagonal, cuyo valor será el producto de los elementos de su diagonal principal.

Rango de una matriz

Dada una matriz cuadrada A de orden n, es posible considerar múltiples submatrices también cuadradas de orden h, siendo h£ n. El determinante de cada una de estas submatrices se dice menor de orden h de la matriz A.

Entonces, se llama rango de una matriz al máximo orden de sus menores no nulos. El rango se simboliza por rang (A).

TOMADO DE: http://www.hiru.com/matematicas/propiedades-de-los-determinantes

Definición de matriz

Definición de matriz

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos a_ij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(a_ij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a₂₅ será el elemento de la fila 2 y columna 5.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

Algunos tipos de matrices

Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.
Atendiendo a la forma
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1´n.
A=(a₁₁ a₁₂ ... a_1n)

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m ´1.

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n ´ n.
Los elementos a_ij con i = j, o sea a_ii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos a_ij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.

En la matriz la diagonal principal está formada por 
(1, 1, 9) y la diagonal secundaria por (0, 1, 3).

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por A^t, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de A^t , la segunda fila de A es la segunda columna de A^t, etc.
De la definición se deduce que si A es de orden m ´ n, entonces A^t es de orden n ´ m.


Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = A^t, es decir, si a_ij = a_ji " i, j.


Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si 
A = –At, es decir, si a_ij = –a_ji " i, j.


Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:
Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, a_ij =0 " i
Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, a_ij =0 "j
TOMADO DE: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.html

PROBLEMAS SOLUCIONADOS DE DETERMINANTES

PROBLEMAS RESUELTOS DE DETERMINANTES from JUANCA

MATRICES-PROBLEMAS SOLUCIONADOS

MATRICES-PROBLEMAS RESUELTOS from JUANCA

MATRICES INTRODUCCION

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MATRICES 3

MATRICES 2

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