sábado, 19 de abril de 2014

Una ilusión matemática




Permítanme que comience haciéndoles una pregunta: de los dos segmentos que aparecen en la figura de la derecha, ¿cuál es el más largo?
A primera vista parece que el segmento mayor es el B, pero si prestan atención y se fijan bien podrán comprobar como por muchas vueltas que le den el segmento B sigue pareciendo mayor que el A.

Sin embargo, por extraño que les parezca, lo que está llegando a sus ojos es una imagen en la que aparecen dos segmentos que tienen exactamente la misma longitud (compruébenlo aquí),  aunque por culpa de las flechas dibujadas en los extremos lo que vemos es que el segmento de arriba es menor que el de abajo. Y lo más curioso es que seguiremos viéndolo así aunque sepamos que estamos equivocados.
Este conocido ejemplo de ilusión óptica viene como anillo al dedo para ilustrar un curioso problema que nuestro cerebro no es capaz de interpretar correctamente, por lo que podríamos decir que se trata de una especie de ilusión matemática.
Se trata de comparar el tamaño de dos conjuntos muy concretos, en el sentido de averiguar cuál de ellos tiene más elementos. El primer conjunto será N, el de los números naturales, que son aquellos con los que podemos contar cosas: 1, 2, 3, 4, … , que como supongo que sabrán tiene una cantidad infinita de elementos. El segundo conjunto es el formado por todas las parejas de números naturales que podamos hacer, es decir, el (1,1), el (1,2), o el (84,123312) por ejemplo, que obviamente también es un conjunto infinito y que llamaremos NxN. ¿Cuál de los dos conjuntos tiene más elementos?
Veamos que nos dice la intuición. Si llamamos ω al número de elementos del conjunto de los números naturales, como cada número natural aparece en NxN emparejado con todos los demás parece lógico pensar que este segundo conjunto tiene bastantes más elementos que el primero, tantos como resulte de multiplicar ωxω. Es decir, nuestro cerebro nos dice que NxN debe tener ω veces más elementos que N, y por tanto tiene que ser muchísimo mayor.
Sin embargo podemos demostrar fácilmente no sólo que esto no es cierto, sino que ademásambos conjuntos tienen exactamente el mismo número de elementos. Si ordenamos los elementos de NxN en una tabla donde en la primera fila aparezcan los elementos que empiezan con el 1, en la segunda los que lo hacen con el 2, etcétera; y disponemos las columnas de la misma manera, podemos escoger los elementos de NxN siguiendo el orden que indican las flechas:
 
Comprobamos entonces cómo los elementos de NxN pueden ordenarse de tal forma que (1,1) es el 1º, (2,1) es el 2º, (1,2) es el tercero, (1,3) el cuarto y así sucesivamente. Esto significa quepodemos contar todos elementos de NxN, y como contar es asignar números naturales, a cada elemento de NxN se le puede asignar otro de N. Por tanto, al contrario de lo que pensábamos, ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos, o dicho de otro modo ωxω=ω.
Así, aunque nuestro cerebro nos dice que ambos conjuntos no son iguales, la lógica nos demuestra que lo son. Y por mucho que intenten convencerse de ello, no es posible hacerse una imagen en la cabeza de cómo pueden tener los mismos elementos dos conjuntos cuando uno de ellos se construye a partir de los ladrillos del otro, aunque sí se pueda comprender la lógica de la demostración.
En definitiva este problema nos muestra que el cerebro humano es imperfecto, hasta el punto de que nuestra imaginación sí tiene límites. Y si no se lo creen, fíjense en las películas que ha sacado Hollywood en los últimos diez años y después me cuentan.
Javier Oribe

TOMADO DE: http://www.hablandodeciencia.com/articulos/2011/10/07/una-ilusion-matematica/

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Los Puntazos de Pitágoras

por Miguel Olvera

Pitágoras (siglo VI a .C.) es conocido por todos por el famoso teorema que lleva su nombre (en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos) pero, pese a llevar su nombre, no fue él quien lo descubrió, pues ya era conocido por los babilonios.
En la escuela pitagórica fundada por Pitágoras en Crotona (Italia) se dedicaban por igual a la ciencia, a la filosofía, a la mística y a la política; Pitágoras además era sacerdote de ritos arcaicos y su escuela puede clasificarse como secta. Los pitagóricos convirtieron al “número” en esencia de todas las cosas; toda forma, estructura y, por lo tanto, todo objeto natural, tenía que poseer su propio número característico. El mismo Dios era numérico. Este misticismo que daban los pitagóricos a los números se vino abajo cuando descubrieron la existencia de números irracionales, es decir, la existencia de números que no eran enteros ni fraccionarios, únicos números que conocían. Parece ser que el descubrimiento se ocultó. Pero sin entrar más en dicha faceta, lo cierto es que se les puede atribuir el nacimiento de la matemática como ciencia deductiva.
Los pitagóricos no se interesaban por los métodos de cálculo, sino que cultivaban la parte más teórica o artística. A ellos se les debe la clasificación de los números (hablamos sólo de números enteros y positivos), según diversos criterios, en pares e impares, perfectosamigos, triangulares, pentagonales, poligonales…
* Par: un número que es divisible entre 2
* Impar: el que no es par
* Perfecto: aquel número que es la suma de sus divisores excluyendo al propio número. Te damos aquí algunos números perfectos, pero tú puedes buscar dos menores que treinta que también lo son.
496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +...+ 30 + 31
8128 = 1 + 2 + 3 +...+ 126 + 127
El número 2216090· (2216091 - 1) es perfecto, y tiene mas de cien mil dígitos
* Amigos: dos números se llaman amigos cuando cada uno de ellos es igual a la suma de los divisores del otro, sin incluir a los mismos números entre dichosdivisores. No son fáciles de hallar ya que entre los números hay bastantes problemillas y es complicado encontrar dos que se lleven bien. Fuera bromas tepresentaremos algunos:
Los números 220 y 284 son amigos. Los divisores de 220 son: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 y 220, si los sumamos (excluyendo 220) da 284. Los divisores de 284 son: 1, 2, 4, 71, 142 y 284, si los sumamos (excluyendo 284) da 220. Este par de números amigos era conocido por los griegos. Otros números amigos son 17296 y 18416; y 9363584 y 9437056.
Para entender mejor otras clasificaciones representaremos los números mediante puntos, como ellos hacían, y así, tenemos otras tipos de números entre las que destacamos:

 Oblongo: si  es el producto de dos números distintos: 6 = 2 × 3
 Cuadrado: si es el producto de dos números iguales: 9 = 3 × 3
Triangular:
Sólido: si es producto de tres números: 30 = 5 × 2 × 3
Cubo: si es producto de tres factores iguales: 8 = 2 × 2 × 2


Piramidal: es la suma de una serie de números cuadrados: 5 = 1 + 4



Pues bien, esta representación de los números mediante puntos en disposiciones adecuadas, que nos puede parecer una sandez, les permitió descubrir muchas propiedades de los números, las cuales no nos parecerán bobadas:

1.- El cuadrado de un número n es la suma de los n primeros impares. El siguiente gráfico pone de manifiesto la propiedad, pues son números cuadrados que se obtienen al sumar los números representados en cada escuadra; en el último, las escuadras representan al 1, 3, 5, y 7 respectivamente, que son los cuatro primeros números impares, y su suma es el cuadrado de 4.



2.- El cuadrado de un número par es par, y el cuadrado de un impar es impar.
Es consecuencia de la anterior propiedad. Si n es par, su cuadrado es la suma de un número par (n) de impares y por tanto par. Si n es impar su cuadrado es la suma de un número impar (n) de impares y por tanto impar.

3.- La suma de los primeros n números pares sucesivos es el producto de este número n, por el siguiente. En la última representación del siguiente gráfico se ve que al sumar los números 2, 4, 6, y 8, que son los cuatro primeros pares, se obtiene el área del rectángulo que es base por altura, es decir, 4 × 5.
4.- La suma de los primeros n números naturales es el semiproducto de ese número por el sucesivo (1 + 2 + 3 +….+ n = n · (n + 1)/2, por ejemplo, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 7 · 8/2 = 28) Esto se ve fácilmente en las siguientes representaciones, el área de los triángulos que se obtiene al dividir los rectángulos en dos, se puede obtener de dos formas:
- Sumando los números que se representan verticalmente con puntos, en el último 1 + 2 + 3 + 4 = 10
- Haciendo la mitad del área del rectángulo, en el último (4 × 5)/2 = 10
TOMADO DE: http://www.oocities.org/es/matesbueno/articulos/los_puntazos_de_pitagoras.htm

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