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jueves, 17 de julio de 2014

Algunas curiosidades sobre los números de Fibonacci

Curiosidades sobre los números de Fibonacci en Menéame

Tanto la sucesión de Fibonacci $F_n$ como el número de oro o número aúreo $\phi$ poseen multitud de propiedades y relaciones. Algunas son relativamente evidentes y otras son bastante curiosas. Os voy a comentar en este artículo algunas con las que me he topado en los últimos días que me parecen interesantes y (en algún caso diría que) sorprendentes.

Fórmula de Binet
La siguiente fórmula, atribuida a Binet aunque parece que De Moivre ya la conocía 100 años antes (ya sabemos que en matemáticas no siempre podemos fiarnos de los nombres) nos dice cómo calcular el $n$ -ésimo número de Fibonacci. Nos la podemos encontrar de varias formas:
$F_n=\cfrac{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}{2^n \sqrt{5}}$ $F_n =\cfrac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt 5}$ $F_n=\cfrac{\varphi^n-(-1/\varphi)^{n}}{\sqrt 5}$
Es sencillo comprobar este hecho por inducción. En este enlace podéis ver una prueba de ello.

Dado que $(1-\phi)^n$ tiende a ${0}$ cuando $n \rightarrow \infty$ podemos aproximar el número de Fibonacci $F_n$ a través de $\textstyle{\frac{\phi^n}{\sqrt{5}}}$ . Añadiendo un sumando podemos dar una fórmula exacta más reducida que las anteriores:

$F_n=\bigg \lfloor \cfrac{\varphi^n}{\sqrt 5} + \cfrac{1}{2} \bigg \rfloor$
Serie de potencias
Si tomamos la sucesión de Fibonacci de la siguiente forma:
$F_n= \begin{cases} 0, \mbox{ si } n = 0 \\ 1, \mbox{ si } n = 1 \\ F_{n-1}+F_{n-2}, \mbox{ si } n > 1 \end{cases}$
los números de Fibonacci son $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, \ldots$ . Tomemos la función $f(x)$ definida como la serie de potencias centrada en ${0}$ cuyos coeficientes son los números de Fibonacci, es decir:
$f(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty F_n \, x^n}=0 \, x^0+1 \, x^1+1 \, x^2+2 \, x^3+ \ldots$
Entonces podemos demostrar que la $f(x)$ tiene una expresión bastante sencilla:

$f(x)=\cfrac{x}{1-x-x^2}$
Comprobar si un número entero positivo es un número de Fibonacci
Esta es la propiedad que más me sorprendió al verla de las que voy a comentar en esta entrada. Dice lo siguiente:

Si $N$ es un número entero positivo, $N$ es un número de Fibonacci si y sólo si $5 \cdot N^2+4$ ó $5 \cdot N^2-4$ es un cuadrado perfecto.

Como podéis ver la regla es bien sencilla. Veamos algunos ejemplos:

$F_0=0$ es un número de Fibonacci porque $5 \cdot 0^2+4=4=2^2$
$F_1=1$ es un número de Fibonacci porque $5 \cdot 1^2-4=1=1^2$
$F_2=1$ es un número de Fibonacci porque $5 \cdot 1^2+4=9=3^2$
$F_3=2$ es un número de Fibonacci porque $5 \cdot 2^2-4=16=4^2$
$F_4=3$ es un número de Fibonacci porque $5 \cdot 3^2+4=49=7^2$
$4$ no es un número de Fibonacci porque ni $5 \cdot 4^2-4=76$ ni $5 \cdot 4^2+4=84$ son cuadrados perfectos.
$F_5=5$ es un número de Fibonacci porque $5 \cdot 5^2-4=121=11^2$
$6$ no es un número de Fibonacci porque ni $5 \cdot 6^2-4=176$ ni $5 \cdot 6^2+4=184$ son cuadrados perfectos.

Este dato lo he sacado de esta página, donde además comentan que este hecho fue demostrado por un tal Ira Gessel. He intentado buscar una demostración por internet pero no he encontrado nada concluyente. Partiendo de la fórmula de Binet yo he conseguido (a falta de ordenar mi razonamiento y algún pequeño detalle) demostrar la implicación hacia la derecha, es decir, Si $N$ es un número de Fibonacci entonces $5 \cdot N^2+4$ ó $5 \cdot N^2-4$ son cuadrados perfectos. La otra no he tenido tiempo de intentarla. A ver si alguien se anima con ello (con las dos implicaciones; si no sale nada ordeno mi demostración y la publico).
Relación con los números de Lucas
La sucesión de Lucas es una sucesión del mismo tipo que la sucesión de Fibonacci, es decir, se define igual, pero cuyos primeros términos son $2$ y $1$ , esto es:
$L_n=\begin{cases} 2, \mbox{ si } n = 0 \\ 1, \mbox{ si } n = 1 \\ L_{n-1}+L_{n-2}, \mbox{ si } n > 1 \end{cases}$
Su nombre viene de Édouard Lucas, matemático francés que estudió este tipo de sucesiones. Los números de Lucas son los términos de dicha sucesión. Los primeros son:
$2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322, \ldots$
Existe una relación muy estrecha entre la sucesión de Fibonacci y la sucesión de Lucas. De hecho internet está lleno de información sobre el tema. La curiosidad que quiero comentar me ha surgido escribiendo este artículo y no recuerdo haberla visto en ninguna página (si la encontráis por ahí escribid un comentario).

La cuestión está relacionada con la propiedad anterior. Hemos dicho que $N$ es un número de Fibonacci si $5 \cdot N^2+4$ ó $5 \cdot N^2-4$ son cuadrados perfectos. Según parece en cada caso uno y sólo uno de esos dos números es un cuadrado perfecto (con excepción de $F_1=F_2=1$ , para los cuales tanto uno como otro cumplen esa propiedad). No tengo demostración de ello pero así lo creo. Pero hay más: cuando $n$ es par el cuadrado perfecto es el que lleva el $+4$ y cuando $n$ es impar es el que tiene el $-4$ el que cumple que es un cuadrado perfecto. Lo he comprobado con más números pero no me he podido parar a intentar demostrarlo.

Y no acaba la cosa aquí. Conforme escribía los ejemplos me he fijado en los cuadrados perfectos que iban apareciendo: $2^2,1^2,3^2,4^2,7^2,11^2,18^2,29^2, \ldots$ ¿Os suenan? Pues sí,son los cuadrados de los números de Lucas. Al menos eso es lo que parece conforme avanzamos en el cálculo. Si esta propiedad fuera cierta, teniendo en cuenta la relación $+4$ si $n$ es par y $-4$ si $n$ es impar, tendríamos que la siguiente igualdad es cierta:
$(L_n)^2=5 \cdot (F_n)^2+4 \cdot (-1)^n$
No creo que haya descubierto nada nuevo, pero no recuerdo haberla visto en ninguna de las fuentes que he consultado. Si alguien tiene información sobre la veracidad o falsedad de la misma que nos lo comunique a través de un comentario.

Como he dicho antes hay otras muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci (y de su relación con los números de Lucas) que serían dignas de mención. De hecho algunas de ellas ya han sido comentadas en Gaussianos. Otras todavía no. Os invito a que participéis en los comentarios con opiniones sobre las tres propiedades que os he presentado (demostrar los detalles que faltan sería interesante) así como con aportes en forma de otras propiedades interesantes sobre estos números.

TOMADO DE: http://gaussianos.com/algunas-curiosidades-sobre-los-numeros-de-fibonacci/

La trigonometría y el número de oro

Consideremos un pentágono regular en el cual se han dibujado las diagonales.

En esta figura sólo aparecen tres ángulos diferentes. Miden 36º, 72º y 108º. La relación entre estos ángulos es la siguiente: 72 es el doble de 36 y 108 es el triple de 36. Hay varios tipos diferentes de triángulos isósceles, de los cuales seleccionamos tres: los triángulos ABE, ABF y AFG. El resto de triángulos son semejantes a alguno de estos y no aportan información adicional. Finalmente, hay cuatro segmentos diferentes en estos triángulos, que llamaremos: BE=a, AB=AE=b, AF=BF=AG=c y GF=d. Las longitudes de estos segmentos cumplen: a>b>c>d.

Consideremos cada uno de estos triángulos por separado y apliquemos el teorema del seno.

Triángulo ABE

Triángulo ABF

Triángulo AFG

Como 72º=180º-108º, se verifica que sen72º=sen108º.

En consecuencia podemos establecer las siguientes proporciones:

Es decir, una vez ordenadas las longitudes de los cuatro segmentos de mayor a menor, la razón entre cada una de ellas y la siguiente es constante e igual a nuestro número de oro.

Tomando la primera de las proporciones, teniendo en cuenta que c=a-b y haciendo b=1:

(el numero de oro)

Es decir, dos de estos segmentos consecutivos cumplen la proporción áurea.

Como consecuencia, se verifica

TOMADO DE: http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm

lunes, 14 de julio de 2014

CHISTE N° 13

TOMADO DE : http://www.sectormatematica.cl/recreativa/chistes.htm

La fórmula para resolver la ecuación de tercer grado

TOMADO DE: http://www.cienciaxxi.com/2010/06/la-formula-para-resolver-la-ecuacion-de.html

Ecuaciones cuadráticas, cúbicas y cuárticas.

A menudo se afirma que los babilonios (circa 400 a.C.) fueron los primeros en resolver ecuaciones cuadráticas. Esto es sólo una simplificación, en realidad los babilonios no tenían noción de lo que era una ecuación. Lo que ellos desarrollaron fue una aproximación algorítmica a resolver ciertos problemas, que en nuestra terminología, darían lugar a una ecuación cuadrática. El método era esencialmente el de completación de cuadrados. Además, todos los problemas babilónicos tenían soluciones positivas (las obtenían sin signo), cantidades que representaban usualmente una longitud.

Alrededor del 300 a.C., Euclides desarrolló un método geométrico para hallar una longitud que en nuestra notación es la raíz de una ecuación cuadrática. Aunque matemáticos posteriores lo usaron para resolver ecuaciones cuadráticas, Euclides no tenía noción ni de ecuación, ni de coeficientes. Trabajaba sólo con cantidades geométricas. Los matemáticos indúes llevaron los métodos babilónicos mas allá. Brahmagupta (598-665 AD) da un método, casi moderno, que admite resultados negativos. Usa abreviaciones para las indeterminadas, usualmente la letra inicial de un color, y a veces resolvían problemas con más de una indeterminada. Los árabes no conocían los avances indúes y no manejaron cantidades negativas ni abreviaciones para las indeterminadas. Sin embargo, al-Khwarizmi (circa 800) da una clasificación de diferentes tipos de cuadráticas (aunque sólo ejemplos numéricos). Precísamente, estos tipos surgen al no considerar resultados menores o iguales que cero. Considera seis tipos y dedica un capítulo a cada tipo de ecuación. Las ecuaciones se construyen con tres tipos de cantidades: raíces, cuadrados de raíces y números; esto es, x, x² and numbers.

Cuadrados igualados a raíces.
Cuadrados igualados a números.
Raíces igualadas a números.
Cuadrados y raíces igualados a números, p.ej. x² + 10x = 39.
Cuadrados y números igualados a raíces, p.ej x² + 21 = 10x.
Raíces y números igualados a cuadrados, p.ej. 3x + 4 = x².

Al-Khwarizmi da la regla para resolver cada tipo de ecuación, esencialmente la fórmula cuadrática escolar aplicada a cada tipo de ejemplo, acompañada de una demostración geométrica que es la completación de cuadrados en cada caso. Abraham bar Hiyya Ha-Nasi, conocido por Savasorda, se hizo famoso por su libro Liber embadorum, publicado en 1145, que es el primero en Europa en publicar la solución completa de la ecuación de segundo grado.

Una nueva fase empezó en Italia alrededor de 1500. En 1494, apareció la primera edición del libro del fraile Luca Pacioli, titulado Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita, conocido hoy como la Suma. Este libro era un compendio del saber acumulado y no introduce ningún resultado nuevo sobre ecuaciones. Pero la notación y la distribución del cálculo sí son nuevos y casi actuales:

6.p.R.10

18.m.R.90

108.m.R.3240.p.R.3240.m.R.900

hoc est 78.

En notación actual (6 + 10)(18 - 90) = (108- 3240 + 3240 - 900) = 78.

Pacioli no discute ecuaciones cúbicas pero sí algunas cuárticas. Por ejemplo, x⁴ = a + bx² resuelta por métodos cuadráticos. Sin embargo, las bicuadráticas x⁴ + ax² = b y x⁴ + a = bx² no las consideró por imposibles en aquella época.

Scipione dal Ferro (1465-1526) fue catedrático de Aritmética y Geometría en la universidad de Bolonia y debió de conocer a Pacioli que fue lector en Bolonia en 1501-2. A del Ferro se le atribuye la resolución algebráica de la ecuación cúbica, pero no el caso general. Parece que del Ferro sólo podía resolver ecuaciones de la forma x³ + mx = n. De hecho, para una cúbica más general y³ - by² + cy - d = 0, haciendo el cambio y = x + b/3 se obtiene x3 + mx = n donde m = c - b2/3, n = d - bc/3 + 2b3/27. Sin embargo, sin el conocimento hindú de los números negativos, del Ferro no podía usar su solución para resolver todas las cúbicas. Curiosamente, del Ferro resolvió sus ecuaciones cúbicas en 1515 pero mantuvo su trabajo en secreto hasta poco antes de su muerte, en 1526, cuando se lo reveló a su estudiante Antonio Fior. Fior era un mediocre matemático y tampoco era bueno para guardar secretos. Pronto corrió el rumor en Bolonia de que la ecuación cúbica había sido resuelta. Nicolo of Brescia, conocido como Tartaglia conociendo al parecer la solución de del Ferro, se puso a trabajar y encontró el método general para una cúbica arbitraria y no lo mantuvo en secreto. Fior retó a Tartaglia a un concurso público: las reglas fueron que cada uno diera 30 problemas al otro con 40 or 50 dias para resolverlos, ofreciendo un premio por cada una resuelta y otro al ganador absoluto. Tartaglia resolvió todos los problemas de Fior en dos horas, además todos los problemas de Fior eran del tipo x³ + mx = n que del Ferro no sabía resolver. Tartaglia había ganado.

Las noticias de la victoria de Tartaglia llegaron hasta Girolamo Cardano, en Milan, donde estaba preparando la publicación su libro Practica Arithmeticae (1539). Cardano invitó a Tartaglia y , después de mucha persuasión, consiguió que le dijera cúal era su solución de la cúbica. Tartaglia le pidió a Cardano que la matuviera en secreto hasta que él mísmo la publicara. Cardano no cumplió su promesa. En 1545, publicó Ars Magna el primer tratado de álgebra en latín.

En notación moderna, la solución publicada por Cardano, de la ecuación x³ + mx = n es:

Como la diferencia de cubos es (a - b)³ + 3ab(a - b) = a³ - b³

Si a y b satisfacen

3ab = m

a³ - b³ = n

entonces a - b es una solución de x³ + mx = n.

Pero entonces b = m/3a

y entonces a³ - m³/27a³ = n o equivalentemente a⁶ - na³ - m³/27 = 0.

Esta última es una ecuación cuadrática en a³ (llamada resolvente de la cúbica), y usamos la fórmula usual para hallarla. Ahora, a se despeja tomando raíces cúbicas en la expresión anterior. Análogamente, b es una raíz cúbica (también usando b=m/3a). Finalmente, x = a - b es una solución de la cúbica.

El propio Cardano encontró algo extraño cuando aplicaba la fórmula a ciertas cúbicas. Resolviendo x³ = 15x + 4 obtuvo una expresión que implicaba a -121. Cardano sabía que la raíz cuadrada de un número negativo no existe pero también sabía que una solución de la cúbica era x = 4. Escribió a Tartaglia el 4 de agosto de 1539, para aclarar esta dificultad. Tartaglia tampoco lo entendía. En Ars Magna, Cardano hace un cálculo con números complejos para resolver un problema similar, pero sin entender sus propios cálculos, de los cuales díce que son tan sutiles como prácticos. Dió un temprano ejemplo de que la verdad en matemáticas es su falta de contradicción (su uso correcto) y no su ajuste a una realidad concreta (los números reales en este caso).

Después de que Tartaglia enseñara a Cardano a resolver cúbicas, Cardano animó a su alumno, Lodovico Ferrari, para que estudiara las ecuaciones cuárticas. Ferrari resolvió la cuárticas con quizás el más elegante de todos los métodos para resolver este tipo de problemas. Cardano de nuevo se apropió de este resultado y publicó 20 casos de ecuaciones cuárticas en su Ars Magna.

En notación moderna, la solución de Ferrari de la ecuación: x⁴ + px² + qx + r = 0 es:

Primero se completa el cuadrado para obtener x⁴ + 2px² + p² = px² - qx - r + p²

esto es (x² + p)² = px² - qx - r + p²

Ahora el truco. Para cada y tenemos

(x² + p + y)² = px² - qx - r + p² + 2y(x² + p) + y² = (p + 2y)x² - qx + (p² - r + 2py + y²) (*)

Ahora el miembro de la derecha es cuadrático en x, pudiendo elegir y tal que sea un cuadrado perfecto. Esto se hace igualando el discriminante a cero, en este caso

(-q)² -4(p + 2y)(p² - r + 2py + y²) = 0.

reescribiendo esta última ecuación como

(q² - 4p³ + 4 pr) + (-16p² + 8r)y - 20 py² - 8y³ = 0

que es una cúbica en y (llamada la resolvente cúbica de la cuártica). Sabemos como resolver cúbicas, y podemos hallar los tres valores de y. Con estos valores de y, el miembro de la derecha de (*) es un cuadrado perfecto. Extrayendo los raíces cuadradas en ambos miembros, obtenemos una ecuación cuadrática en x. Resolviéndola obtenemos la deseada solución de la cuártica.

El caso irreducible de la cúbica, en que la fórmula de Cardano conduce a una raíz cuadrada de un número negativo, fue estudiado en detalle por Rafael Bombelli en 1572 en su trabajo Algebra. En los años posteriores al Ars Magna, de Cardano, muchos matemáticos contribuyeron a la solución de las ecuaciones cúbicas y cuárticas. Viète, Harriot, Tschirnhaus, Euler, Bezout y Descartes idearon métodos. El método de Tschirnhaus fue extendido por el matemático sueco E. S. Bring hacia el final del siglo dieciocho.

Thomas Harriot hizo varias contribuciones. Una de las más interesante es la observación de que si x = b, x = c, x = d son soluciones de una cúbica entonces la cúbica es

(x - b)(x - c)(x - d) = 0

Harriot también dió un método para resolver un caso especial de cúbica.

En marzo de 1673, Leibniz escribió escribió una carta a Huygens. En ella, hizo varias aportaciones al entendimiento de las cúbicas. Quizás la más llamativa sea una comprobación directa de las fórmulas de Cardano-Tartaglia, reconstruyendo la cúbica a partir de las tres raíces. Fue el primero en verificar esas fórmulas directamente en forma algebráica. Todas las demostraciones anteriores eran geométricas.

TOMADO DE: http://www.ugr.es/~eaznar/ecuaciones.htm