La estrategia del límite

Introducción

Vamos a hablar sobre un concepto clave en varias ramas importantes de la matemática: la estrategia del límite. Junto al de función, es la idea básica del “análisis ( o cálculo) infinitesimal”, que comprende tanto el estudio de la derivada como el de la integral.
A pesar de la importancia de este concepto ( o método), durante el Bachillerato no se llega a explicar suficientemente el significado ni el alcance de esta potente herramienta. Eso sí, los alumnos calculan límites con una gran pericia cuando se aprenden las distintas técnicas elementales, que parecen “extraídas de la manga”. Así, no se arrugan ante cálculos tan laboriosos como 
Incluso les gusta realizar estos cálculos que les resulta bastante sencillo, pero no llegan a entender para qué sirve calcular estos límites.
¿ Para qué necesitan calcular el límite de la función ? ¿ O el ? Los más aventajados calculan este último límite para hallar una asíntota oblicua de una función , pero ,además de esta aplicación, no encontrarán otro sentido a este límite.

No asimilan ( o no nos esforzamos los profesores porque lo asimilen) las ideas básicas que subyacen en estos cálculos. Algo parecido ocurre con otros conceptos o métodos matemáticos: el cálculo de las raíces cuadradas, de derivadas, de integrales ( los alumnos calculan con destreza hasta llegar a sus resultados, pero en general desconocen el significado y las aplicaciones de éstos, que es lo más importante ).

La mayoría de nuestros alumnos de Bachillerato no sabrían responder con cierto criterio a las siguientes preguntas: ¿ qué problemas prácticos resuelve el método de los límites? ¿ qué significa la expresión ? ¿cómo explicar con palabras sencillas el significado de que ? ¿ Por qué ?

Incluso me atrevo a indicar que muchos estudiantes universitarios de Ciencias tampoco sabrían responder a estas preguntas con cierta profundidad. Muchos estudiantes de Ingeniería calculan límites muy complicados, pero estoy convencido de que pocos de ellos tienen una idea clara de su contenido y alcance.
Es cierto que los conceptos matemáticos son más difíciles de asimilar que los métodos memorísticos de cálculo y van madurando en un proceso lento de varios años . Pero los profesores no debemos renunciar a explicar las ideas básicas que conforman los conceptos matemáticos importantes desde el primer momento en que los manejan nuestros alumnos.
Es mucho más fácil explicar el cálculo de un límite que el de razonar sobre su significado, pero no nos debemos limitar al simple cálculo y tenemos que esforzarnos para que nuestros alumnos desde el principio asimilen las ideas principales de este concepto, aunque en los primeros momentos les resulte difícil. Sin este esfuerzo, realizado a lo largo de varias etapas de maduración, nuestros alumnos no asimilarán la idea de límite, y no les habrá servido de nada su estudio durante tantos años.
Veamos con tres ejemplos sencillos el alcance y la estrategia del límite.
a) Trabajo de un motor

Para empezar, consideremos un recipiente cilíndrico de altura h y radio de la base R. Queremos extraer con un motor el agua que lo llena. ¿Qué trabajo realiza este motor para vaciar el recipiente?

Sabemos que el trabajo es el producto de una fuerza por un desplazamiento. En este caso, la fuerza es el peso del agua, y el desplazamiento es la altura que tiene que subir el agua hasta el nivel superior del recipiente, antes de sacarla de éste.
Pero aquí surge el problema : esta altura es diferente para cada capa de agua. El agua que está en el fondo hay que elevarla una altura mayor que la que se encuentra en la mitad del recipiente. El desplazamiento de cada capa de agua es diferente, varía según la altura de dicha capa dentro del recipiente.
Si consideramos el recipiente descompuesto en 8 capas y suponemos que la altura del agua en cada capa es igual (lo cual evidentemente no es cierto), al sumar el trabajo de elevar estas 8 capas no obtenemos el valor exacto, pero sí una aproximación a este trabajo.
Como la densidad del agua es 1000 kg/m3 , el peso de la capa superior es . Suponiendo que toda esta capa se eleva h/8, el trabajo efectuado por el motor es 
Del mismo modo , el trabajo del motor para elevar la segunda capa es 
Así , el trabajo total del motor para elevar las 8 capas es : 
¿Cómo podemos mejorar este cálculo para aproximarnos más al valor exacto del trabajo?
Si en vez de 8 capas, consideramos 16 de igual altura, el error de considerar que todo el agua de una misma lámina está a la misma altura es evidentemente menor que antes. Este trabajo es .
Si sucesivamente vamos considerando 32 capas, 64,..... obtenemos una sucesión de valores, en la que cada término se aproxima más al valor buscado.
Si dividimos el recipiente en n capas de igual altura, el trabajo es 
= 
Si n aumenta , el cociente 1/n disminuye hasta casi anularse , lo mismo que la altura h/n de cada lámina . De este modo , el error que hemos cometido al considerar que todo el agua de cada lámina se encontraba a la misma altura, se puede hacer tan pequeño como queramos siempre que el espesor de cada capa sea suficientemente pequeño. El trabajo realizado por el motor es la tendencia ( el límite ) de la expresión anterior al aumentar n indefinidamente. Su valor exacto es kilográmetros, si R y h están expresados en ms.
Reflexionemos sobre este proceso que hemos seguido. Se trata de un razonamiento teórico en el que hemos sustituido el movimiento continuo de extracción del agua por el discreto de considerar el agua compuesta por capas . Evidentemente este proceso no refleja la exactitud del proceso físico que se sigue en la realidad. Pero hemos conseguido una sucesión de aproximaciones en la que cada término se ajusta más al proceso real, de modo que en el límite esta aproximación se acerca al valor buscado tanto como se quiera.
El método del límite consiste , por tanto, fundamentalmente en que para determinar el valor de una magnitud, se sigue un proceso en el que se van calculando aproximaciones al valor buscado. En este proceso se debe asegurar que cada aproximación debe mejorar la aproximación anterior.
Del estudio de este proceso, se observa la tendencia de sus aproximaciones sucesivas y se calcula el valor al que tienden éstas. Pero para asegurarnos que éste es el valor buscado, debemos garantizar que la diferencia entre éste y las sucesivas aproximaciones se puede hacer tan pequeña como se quiera.
Por tanto, la estrategia del límite incluye tres pasos:
1) Se construye un proceso de aproximaciones al valor buscado.
2) Se calcula el valor al que tienden estas aproximaciones.
3) Se garantiza que las aproximaciones se acercan al valor anterior tanto como se quiera.

Veamos ahora cómo este método permite definir de un modo natural el número e. La mayoría de los libros de texto inician el estudio de este número sacándose de la chistera la sucesión que le origina, para terminar expresando que e es la base de los logaritmos naturales ( pues si no llega a ser natural...).

TOMADO DE: http://www.jpimentel.com/departamentos/matematicas/nanagonza/limite.htm