Cajas, cubos y redes

Éstos son algunos ejemplos de pentominós y sus nombres.

Monominó

Dominó

Trominó

Tetrominó

Pentominó

Hexominó

Hay varias formas diferentes de formar cada tipo de poliominó, mientras mayor sea la cantidad de cuadrados, más maneras hay de formar pentominós con esa cantidad de cuadrados. En octubre y noviembre de 2006, nuestros acertijos matemáticos se concentraron en encontrar todos los pentominós posibles y resolver los acertijos de poliominós: acertijos de rompecabezas que usan poliominós como piezas para completar una forma en particular.

El acertijo de este mes les da a los pentominós y hexominós una nueva dimensión, literalmente. Supongamos que tenemos una caja con forma de cubo. Comencemos con una sin tapa como la que se muestra aquí.

Si tomamos unas tijeras y cortamos cuidadosamente la caja a lo largo de sus bordes verticales, la forma que obtendremos al aplanarla será un pentominó. Este pentominó particular a veces se llama pentominó en cruz o pentominó X porque los cinco cuadrados forman una cruz o una forma de x perfectamente simétrica.

Una forma plana que se puede plegar y lograr una forma tridimensional sin cortarla se llama red.

Acertijo 1

Éste es el primer acertijo. Encontrarás todos los pentominós diferentes que forman redes de cajas de cubos abiertos. No todos los pentominós son redes de cajas de cubos. Por ejemplo, el pentominó en I (abajo) no se puede plegar para armar una caja. ¿Puedes ver por qué? (Los cuadrados marcados con "X" se superpondrían y el resultado sería un "tubo" cuadrado sin fondo ni tapa).

Tu desafío: encontrar todos los diferentes pentominós que son redes para cajas de cubos con tapa abierta. ¿Cómo sabrás que los has encontrado a todos? Bien, hay 12 pentominós diferentes en total (Si deseas verlos, se pueden encontrar en la solución del Acertijo Matemático de octubre de 2006. Si deseas encontrarlos a todos tú mismo, puedes hacerlo). Algunos de ellos son redes y otros no. Tu tarea es decidir cuáles son.

Te recomendamos que dibujes los pentominós en un papel cuadriculado, los recortes y los pliegues para verificar que realmente se pliegan para formar una caja abierta.

Por último, para cada pentominó que no puede formar una red de una caja abierta, debes explicar cómo sabes que no se puede formar esta red.

Recuerda que dos pentominós pueden parecer diferentes, pero aún son la misma forma si son congruentes entre sí. El pentominó A de la figura de abajo se puede tomar, mover y girar de modo que encaje exactamente encima del pentominó B. Ésta es una forma de mostrar que son congruentes.

Acertijo 2

Tu segundo desafío es acercarte a los hexominós y las redes de cubos cerrados. Recuerda que los hexominós están formados por 6 cuadrados conectados. Encuentra todos los diferentes hexominós que son redes de un cubo cerrado. Un ejemplo se muestra en la siguiente figura. Puedes pensar en este hexominó como un pentominó X con un cuadrado agregado. El cuadrado agregado se pliega para cerrar la parte superior del cubo.

Desafortunadamente hay 35 hexominós diferentes. Sería tedioso encontrarlos a todos y probar cuáles pueden y cuáles no pueden ser redes de cubos. Sin embargo, hay un buen atajo que te ahorrará muchos problemas.

Una red de un cubo sólo se puede formar agregando un cuadrado a un pentominó que es una red para una red de una caja de cubo con tapa abierta. ¿Puedes convencerte de que es verdad? Toma un pentominó que no puede formar una red de una caja. ¿Puedes encontrar una forma de agregarle un cuadrado y formar una red para un cubo? Prueba usando el pentominó en I. Ya sabemos que no puede formar una caja abierta. ¿Puedes agregarle un cuadrado de una manera que le permita plegarse para formar un cubo?

 

Antecedentes

Primero, veamos algunas definiciones. Un polígono es una forma bidimensional cerrada cuyas aristas son líneas rectas que no se intersectan. Un poliedro es una forma tridimensional cerrada cuyas caras son polígonos.

La geometría bidimensional y la tridimensional se estudian como si fuesen materias diferentes. En los acertijos de este mes y del mes pasado, estudiamos una forma en que están relacionadas, a través de la construcción de redes, formas bidimensionales compuestas por polígonos que se pliegan en poliedros.

Este acertijo se basa en tres ideas matemáticas importantes.

La primera es el concepto de congruencia, que presentamos antes.
Matemáticamente, dos formas son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma, sin importar su orientación. Si puedes tomar una de las formas y girarla, muévela o deslízala de modo que encaje exactamente encima de las demás formas, entonces las dos formas son congruentes. Ésta es una prueba sencilla de congruencia. Hay muchas más.

La segunda es la idea de que a veces hay que probar para estar seguro de que dos objetos matemáticos son iguales o diferentes. Simplemente porque dos poliominós parecen diferentes, no se puede estar seguro de que sean diferentes hasta que se haya tomado uno y se haya comprobado que no es congruente con el otro. Para los poliominós, la congruencia es la prueba, pero los matemáticos tienen muchas otras pruebas que pueden usar para los diferentes tipos de problemas.

La tercera es la idea de encontrar todas las maneras posibles de resolver un problema en particular. Éste es un tipo común de problema en la combinatoria. Por ejemplo, encuentra todas las formas posibles de ordenar los números de uno a n. O, para mencionar un ejemplo más cotidiano, un restaurante sirve cuatro variedades diferentes de pizza: cebollas, hongos, salchichas y queso extra. ¿Cuántos tipos de pizzas diferentes pueden hacer usando 1, 2, 3 ó 4 de las variedades? (Claro que un restaurante verdadero probablemente ofrecería más que cuatro variedades).

Los problemas de combinatoria con geometría pueden ser mucho más complejos. Por ejemplo, si N es el número de caras de un poliedro, no existe una regla o fórmula conocida que pueda decirte cuántas redes diferentes se pueden construir para un poliedro con N caras. (Los matemáticos han descifrado la cantidad exacta de redes para muchos poliedros diferentes, pero no se ha encontrado ninguna regla general).

Puedes encontrar información sobre poliominós y su origen en la sección Antecedentes del Acertijo del Mes de octubre de 2006.

Poliominós

Solución 1: ¿Puedes encontrar los cinco tetrominós diferentes?

Una estrategia para construirlos es comenzar con ambos tipos de trominós y agregar un cuadrado en cada ubicación posible. Verifica siempre para ver si has duplicado uno que ya hayas hecho. Éste es el procedimiento:

Comienza primero con el trominó recto y agrega un cuadrado más para formar un tetrominó.

Hasta ahora has formado 3 tetrominós. ¿Puedes formar más desde el trominó recto? Reflexiona sobre ello. Supongamos que pones el cuadrado verde en la parte superior izquierda.

Éste es congruente con el segundo tetrominó que se muestra arriba porque si lo eliges y lo das vuelta, encajará exactamente encima del segundo. Si pones el cuadrado verde en cualquier otra ubicación, coincidirá con uno de los tres primeros.

Ahora comienza con el trominó de la esquina y fíjate cuántos puedes armar. Resulta que puedes formar cuatro tetrominós diferentes del trominó de la esquina.

Sin embargo, el segundo y el cuarto son congruentes con dos de los que ya armamos antes. Así que hay sólo dos nuevos de cinco tetrominós en total.

Al armar tetrominós sistemáticamente de esta forma, también has probado que no puede haber ninguno más. Has realizado todas las combinaciones posibles de cuatro cuadrados, comenzando por los dos trominós posibles y has eliminado todos los duplicados.

Solución 2: ¿Cuántos pentominós diferentes puedes encontrar?

Podemos resolver este problema usando el mismo método que usamos para los tetrominós, comenzando con un tetrominó, agregando un cuadrado en diferentes posiciones hasta que hayamos encontrado todas las posibilidades y luego pasando al siguiente hasta que los hayamos encontrado a todos. Comenzando con el tetrominó recto, podemos armar tres pentominós diferentes. Si agregas el cuadrado verde en cualquier otra ubicación, tu nueva forma será congruente con uno de estos tres.

Puedes resolver el resto tú solo, comenzando con cada uno de los demás tetrominós. Resulta que hay doce en total.

A propósito, si utilizaste la pista de que todos los pentominós encajan en un tablero de ajedrez si le quitas los ángulos, podrías haber deducido anticipadamente que tenía que haber exactamente 12 pentominós. Un tablero de ajedrez tiene 64 cuadrados. Si quitas los ángulos obtienes 60 cuadrados. Como cada pentominó tiene 5 cuadrados, debe haber 12 cuadrados en total porque 60/5 = 12.

A propósito, aquí hay una forma en que todos pueden encajar en el tablero de ajedrez:

Hay muchos otros acertijos con pentominós. Intentaremos algunos el mes próximo.

Tal vez te interese saber que Salomon Golomb nombró a todos los pentominós según las letras del alfabeto a la que se parecen. Los nombres son

T, U, V, X, W, Y, Z, F, I, L, P, N

Sólo por diversión, prueba si puedes distinguir cuál es cuál. Debes girar o dar vuelta los pentominós para que se parezcan a las letras.

Solución 3: ¿Cuántos hexominós puedes formar?

Hay exactamente 35 hexominós diferentes. En lugar de usar el espacio para mostrártelos a todos, te dejaremos que los encuentres tú solo si te interesa. Verifica cuidadosamente para asegurarte de que hayas eliminado todos los duplicados. Buena búsqueda.

Solución: Acertijo matemático de junio de 2007

Cajas, cubos y redes

Acertijo 1: ¿Cuántos pentominós diferentes se plegarán para formar una caja abierta?

Hay 12 pentominós diferentes. Ocho de estos se pueden plegar para formar cajas abiertas. Cuatro no se pueden plegar. ¿Cómo haces para decidir cuáles funcionan y cuáles no? Para la mayoría de nosotros, la forma más segura es cortar las formas y plegarlas para ver si se superponen dos de los cuadrados. Por otro lado, algunas personas pueden visualizar el proceso de plegado sin tener que hacerlo en realidad. Y otras personas pueden visualizar el plegado de algunas de las formas y no de otras.

Aquí hay 12 pentominós, divididos entre los que funcionan y los que no.

Éstos no funcionan. Los cuadrados marcados con una “X” se superponen cuando se pliega la forma. Por lo tanto, la forma no se pliega para formar una caja abierta. El pentominó de la parte inferior izquierda no se puede plegar porque cuatro de los cuadrados están conectados en dos lados diferentes.

Los siguientes ocho pentominós sí funcionan. Se pueden plegar para formar cajas abiertas. Córtalos y trata de plegarlos si puedes convencerte visualizándolos.

Acertijo 2: Encuentra todos los hexominós que son redes para cubos cerrados. Es decir, encuentra todas las formas con seis cuadrados que se pliegan para formar un cubo.

Éste es un problema mucho más difícil porque hay 35 hexominós diferentes y sería tedioso encontrarlos y probarlos a todos, así que podemos usar un atajo.

Cualquier pentominó que no forme una caja abierta no se puede armar como cubo agregándole un cuadrado más. Así que podemos comenzar agregándole un cuadrado a uno de los ocho pentominós para formar redes de cajas abiertas. Como hay ocho pentominós para comenzar y hay muchas formas de agregarle un cuadrado a cada uno, puedes pensar que hay una gran cantidad de posibilidades pero la mayoría son incongruentes con las demás.

Éste es un punto de inicio. Cualquier hexominó con cuatro cuadrados consecutivos y un cuadrado de cada lado es una red para un cubo. Por ejemplo, comenzando por el pentominó L podemos formar 4 redes diferentes de esta forma. Deberemos rotular cada una para llevar el control de las redes y poder volver a buscarlas.

N1	N2	N3	N4

Un pentominó más incluye una tira de cuatro y forma dos redes más.

	N5	N6

Ahora tenemos seis. ¿Cuántas más podemos encontrar? En este punto podemos descartar varias posibilidades.

Cualquier hexominó con una tira de tres o cuatro cuadrados y dos cuadrados del mismo lado de la tira no pueden formar una red. Los cuadrados marcados con una X se superponen cuando se pliega la forma.

Además, también se debe descartar cualquier hexominó con cuatro lados que forme un cuadrado más grande. La forma no se puede plegar.

Si piensas un poco verás que ni el pentominó X ni el T pueden formar una red que no tengamos ya. Así que, de los ocho pentominós, tenemos cuatro más que podrían formar redes. Tenemos que pensar detenidamente en cada uno.

Comenzando por el primero, podemos descartar varias posibilidades. Los primeros dos son congruentes con las redes que ya tenemos, N2 y N6, y los últimos cuatro son imposibles.

	N2	N6

¿Y qué sucede con éstos? Tenemos que analizar cada uno:

	N7	N8

El primero se puede descartar porque contiene uno de los pentominós que no pueden formar una red para una caja abierta, así que no puede ser una red para un cubo. Pero los dos siguientes se pueden plegar en redes para un cubo así que tenemos dos más, N7 y N8.

Ahora usando el segundo pentominó no utilizado, podemos descartar nuevamente dos porque incluyen un cuadrado de cuatro cuadrados.

Pero necesitamos analizar cuidadosamente cada uno de los siguientes. El primero es congruente con N7. El segundo no funciona. Los cuadrados marcados con una X se superponen al plegarse. El tercero forma una nueva red, N9.

N7		N9

Todavía nos quedan dos pentominós más por analizar. Comenzando por el tercer pentominó anterior obtenemos cinco hexominós diferentes. Hay otras ubicaciones donde podríamos colocar un cuadrado verde pero todos son congruentes con uno de los cinco hexominós mostrados.

		N3	N10

Podemos descartar fácilmente los primeros tres. El primero contiene un cuadrado de cuatro cuadrados; el segundo incluye uno de los pentominós que no se pliega para formar una caja. El tercero tiene dos cuadrados extra del mismo lado. Necesitamos verificar los dos últimos más cuidadosamente. Primero debemos fijarnos si son congruentes con cualquiera de las redes “aprobadas”. El cuatro hexominó es congruente con N3. (Si giras el N3 90 grados hacia la derecha, coincide con el cuarto hexominó.)

El último hexominó, N10 no es congruente con ninguno de los demás que hemos analizado hasta ahora. Así que lo probamos cortándolo y plegándolo. Funciona, por lo que obtenemos nuestra décima red.

Hay un pentominó más por comprobar. El último de los cuatro pentominós restantes que se muestran arriba. Éste el más complejo de todos, porque produce 10 hexominós incongruentes que debemos comprobar. Los rotularemos de H1 al H10 y veremos cuáles se pueden descartar rápidamente.

	H1	H2	H3	H4	H5
	H6	H7	H8	H9	H10

N11

El H1, H2, H6 y el H7 se pueden descartar porque incluyen pentominós que no forman una caja. El H3 se puede descartar porque incluye una tira de cuatro cuadrados con dos cuadrados de un lado de la tira. Esto nos deja por verificar el H4, H5, H8, H9 y H10. Primero los verificaremos para ver si son congruentes con cualquiera de los que ya probamos. H4 no es como ninguno de los que ya vimos. H5 es congruente con uno de los hexominós que no funciona. H8, H9 y H10 son congruentes con N10, N7 y N8, respectivamente.

Esto nos deja al H4 por comprobar cortándolo y plegándolo. Funciona. Así que aquí tenemos una solución más. H4 se convierte en nuestra red final, N11.

TOMADO DE:http://www.planetseed.com/es/mathpuzzles/cajas-cubos-y-redes

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