La disputa entre Newton y Leibniz por la creación del cálculo I PARTE

En la historia de las matemáticas y las ciencias, pocos conflictos han alcanzado la notoriedad de la disputa entre Newton y Leibniz sobre la invención del cálculo infinitesimal. La cuestión principal del conflicto era cuál de los dos, Sir Isaac Newton o Gottfried Wilhelm Leibniz, merecía el crédito por la invención del cálculo diferencial e integral. Una cronología cuidadosamente reconstruida revela que Newton formuló los fundamentos de su cálculo en 1666, años antes de que Leibniz hubiera alcanzado el conocimiento matemático necesario para desarrollar su propio punto de vista sobre el cálculo.

Probablemente, lo que establece este caso particular, aparte de la importancia de los hombres involucrados, era la importancia de la obra que estaba en juego, el tiempo a través del cual la disputa se extendió, y la pura intensidad de la controversia. Aunque esta se originó por la cuestión de la prioridad sobre la invención del cálculo, el asunto se agravó por el hecho de que no coincidieron en el tema de la filosofía natural del mundo. Newton y su teoría de la gravitación era visto como un retroceso a los tiempos de ocultismo por Leibniz y muchos otros filósofos mecánicos de esa época. Esta mezcla de temas filosóficos empeoró la naturaleza de la controversia. Una de las razones por las cuales el conflicto asumió proporciones tan importantes y por qué Newton y Leibniz estaban ansiosos de ser considerados los inventores del cálculo era debido a la actitud hacia el plagio que reinaba en el siglo 17. En el siglo 17, la correspondencia e incluso la revelación en presencia de testigos fiables de manuscritos privados o instrumentos tenían un peso considerable, el trabajo no tenía por qué haber sido publicado.

Como la mayoría de los descubrimientos, el cálculo fue la culminación de siglos de trabajos. Matemáticos de todo el mundo contribuyeron a su desarrollo, sin embargo para la mayoría los dos descubridores reconocidos del cálculo fueron Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. El crédito se presta actualmente a estos dos hombres. Los historiadores de las matemáticas han concluido que el trabajo de Newton fue anterior al de Leibniz, pero que este último obtuvo sus resultados de una manera independiente a Newton. Se sabe, sin embargo, que ambos tuvieron la influencia de Barrow, quien se considera el matemático que había llegado más lejos en la comprensión de que la derivada y la integral tenían una naturaleza inversa, aunque con una óptica esencialmente geométrica.

 Isaac Newton

Isaac Newton nació en Woolsthorpe, cerca de Grantham en Lincolnshire,Inglaterra. Aunque por el calendario en uso en la fecha de su nacimiento él nació el día de Navidad de 1642, la fecha del 4 de Enero de 1643 es la que corresponde al 'corregido' calendario gregoriano que la pone en la línea de nuestro actual calendario. (El calendario gregoriano no fue adoptado en Inglaterra hasta 1752). Isaac Newton venía de una familia de granjeros pero nunca conoció a su padre, también llamado Isaac Newton, que murió en octubre de 1642, tres meses antes de que naciese su hijo. La madre de Isaac, Hannah Ayscough se volvió a casar con Barnabas Smith, el ministro de la iglesia de North Witham, un pueblo cercano, cuando Isaac tenía dos años de edad. El joven niño fue entonces dejado al cuidado de su abuela Margery Ayscough en Woolsthorpe.

A la muerte de su padrastro en 1653, Newton vivía en una amplia familia compuesta de su madre, su abuela, un medio hermano, y dos medio hermanas.

Un tío, William Ayscough, decidió que Isaac debería prepararse para ingresar en la universidad, a Isaac se le permitió regresar a la Escuela Libre de Gramática en Grantham en 1660 para completar su educación escolar. Newton ingresó en el viejo College de su tío, el Trinity College de Cambridge, el 5 de Junio de 1661.

Newton nunca asistió regularmente a sus clases, ya que su principal interés era la biblioteca. Se graduó en el Trinity College con una formación principalmente autodidacta, leyendo algunos de los libros más importantes de matemática y filosofía natural de la época.

Newton estudió la filosofía de Descartes, Gassendi, Hobbes, y en particular a Boyle. La mecánica de la astronomía copernicana de Galileo le atrajo y también estudió la Optica de Kepler. Registró sus pensamientos en un libro que tituló Quaestiones Quaedam Philosophicae (Cuestiones Filosóficas Ciertas). Es una relación fascinante de cómo las ideas de Newton se estaban ya formando alrededor de 1664.

Volvió entonces a releer el Clavis Mathemática de Oughtred y la Geometría de Descartes, de Frans van Schooten. La nueva geometría algebraica y analítica de Viète también. Otra obra importante de matemáticas que estudió en esta época fue la Opera mathematica de Viète, editadas por Van Schooten y, en 1664, la Aritmética de John Wallis, que le serviría como introducción a sus investigaciones sobre las series infinitas, el teorema del binomio y ciertas cuadraturas.

Sería fácil pensar que el talento de Newton comenzó a emerger a la llegada de Barrow a la cátedra Lucasiana de Cambridge en 1663 cuando se convirtió en un alumno del Trinity College. Ciertamente la fecha encaja con el inicio los estudios matemáticos profundos de Newton. Sin embargo, parecería que la fecha de 1663 es sólo una coincidencia y que no fue hasta algunos años después cuando Barrow reconoció al genio matemático entre sus alumnos.

A pesar de algunas pruebas de que su progreso no había sido particularmente bueno, Newton fue elegido becario el 28 de abril de 1665. Parecería que su genio científico todavía no había emergido, pero lo hizo de forma repentina cuando la peste cerró la universidad en el verano de 1665 y tuvo que regresar a Lincolnshire. Allí, en un periodo de menos de dos años, mientras Newton tenía todavía menos de 25 años, comenzó revolucionarios avances en matemáticas, óptica, física, y astronomía.

Mientras Newton permaneció en casa, sentó las bases para el cálculo diferencial e integral, varios años antes de su descubrimiento independiente por Leibniz. El 'método de flujos' (fluxions), como él lo llamó, estaba basado en su crucial y agudo análisis de que la integración de una función es simplemente el procedimiento inverso a su diferenciación. El De Methodis Serierum et Fluxionum de Newton fue escrito en 1671 pero Newton no consiguió publicarlo y no apareció en imprenta hasta que John Coilson produjo una traducción al inglés en 1736.

Newton regreso a la Universidad de Cambridge cuando reabrió tras la plaga en 1667. En Julio de 1669 Barrow intentó asegurarse de que los logros matemáticos de Newton eran dados a conocer al mundo. Envió el texto de Newton De Analysi a Collins.

Collins mostró a Brouncker, el Presidente de la Royal Society, los resultados de Newton (con el permiso del autor) pero después de esto Newton solicitó que se le devolviera su manuscrito. Collins no pudo dar una crónica detallada pero de Sluze y Gregory[[i]] aprendieron algo de la obra de Newton a través de Collins. Barrow dimitió de la cátedra Lucasiana en 1669, recomendando que Newton (todavía con sólo 27 años) fuera designado en su lugar.

La primera obra de Newton como profesor de la cátedra Lucasiana fue sobre óptica y éste fue el contenido de su primera clase del curso que empezó en 1670. Había alcanzado la conclusión durante los dos años de epidemia de que la luz blanca no es una entidad simple. Cuando pasó un fino haz de luz solar a través de un prisma de cristal, Newton percibió el espectro de colores que se formaba.

 

 Newton por Kneller en 1702.

Arguyó que la luz blanca es en realidad una mezcla de muchos tipos diferentes de rayos que se refractan a ángulos ligeramente diferentes, y que cada tipo diferente de rayo produce un diferente color espectral.

En 1672 Newton fue elegido miembro de la Royal Society tras donar un telescopio reflector. También en 1672 Newton publicó su primer artículo científico sobre la luz y el color en el Philosophical Transactions of the Royal Society. El artículo fue en general bien recibido pero Hooke y Huygens objetaron al intento de Newton de probar, sólo por la experimentación, que la luz se compone del movimiento de pequeñas partículas en lugar de por ondas. Newton temía las críticas y concluyó que la forma más fácil de evitar ser criticado era no publicar nada.

Las relaciones de Newton con Hooke se deterioraron aun más cuando, en 1675, Hooke afirmó que Newton había robado algunos de sus resultados en óptica. Aunque los dos hombres hicieron las paces con un intercambio de cartas corteses, Newton se encerró sobre sí mismo y se alejó de la Royal Society que él asociaba con Hooke como uno de sus líderes. 'Optiks' de Newton apareció en 1704. Trataba de la teoría de la luz y el color.

Otra disputa, esta vez con los Jesuitas Ingleses de Lieja sobre su teoría del color, condujo a un violento intercambio de cartas; después, en 1678, parece haber sufrido una depresión nerviosa. Su madre murió al año siguiente y él se replegó más sobre sí mismo, mezclándose lo menos posible con la gente durante unos cuantos años.

El mayor logro de Newton fue su obra sobre física y mecánica celeste, que culminó en la teoría de la gravitación universal. Alrededor de 1666 Newton tenía versiones tempranas de sus tres leyes de movimiento. Había descubierto también la ley que daba la fuerza centrífuga de un cuerpo que se movía uniformemente en una trayectoria circular.

La nueva idea de Newton de 1666 fue imaginar que la gravedad de la Tierra influenciaba a la Luna, contrarrestando su fuerza centrífuga. A partir de su ley de la fuerza centrífuga y de la tercera ley del movimiento planetario de Kepler, Newton dedujo la ley del cuadrado inverso.

Halley persuadió a Newton a escribir un tratado completo de su nueva física y su aplicación a la astronomía. Sobre un año después (1687) Newton publicó la Philosophiae naturalis principia mathematica o Principia como se le ha conocido siempre.

De entre el trabajo matemático de Newton, profundo y poderoso, se pueden distinguir algunos temas centrales. Estos son los desarrollos en serie de potencias, en especial el desarrollo del binomio, algoritmos para hallar raíces de ecuaciones y de inversión de series, relación inversa entre diferenciación e integración y el concepto de fluentes y fluxiones como variables que cambian en el tiempo. Newton estuvo muy interesado también en óptica, dinámica, alquimia, cronología de la historia y en la interpretación de las sagradas escrituras.

Newton analizó el movimiento de los cuerpos en medios resistentes y no resistentes bajo la acción de fuerzas centrípetas. Los resultados fueron aplicados a los cuerpos en órbita, proyectiles, péndulos, y a la caída libre cerca de la Tierra. Además demostró que los planetas eran atraídos hacia el Sol por una fuerza que varía con el cuadrado inverso de la distancia y generalizó que todos los cuerpos celestes se atraen mutuamente unos a otros.

Una generalización posterior llevó a Newton la ley de la gravitación universal.

“... toda la materia atrae a toda la otra materia con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos.”

Newton explicó un amplio rango de fenómenos previamente inconexos: las órbitas excéntricas de los cometas, las mareas y sus variaciones, la precesión del eje de la Tierra, y la perturbación del movimiento de la Luna por la gravedad del Sol. Este trabajo hizo a Newton un líder internacional en investigación científica. Los científicos continentales no aceptaban la idea de la acción a distancia y continuaban creyendo en la teoría del vórtice de Descartes en la que las fuerzas funcionan a través del contacto. Sin embargo esto no detuvo la admiración universal por la habilidad técnica de Newton.

Tras sufrir una segunda depresión nerviosa en 1693, Newton se retiró de la investigación. Las teorías acerca de su depresión han sido muchas: desde envenenamiento químico como resultado de sus experimentos alquímicos; frustración con sus investigaciones; el fin de una amistad personal con Fatio de Duillier, un matemático suizo residente en Londres hasta problemas resultantes de sus creencias religiosas. El propio Newton culpaba a la falta de sueño pero esto era casi con certeza un síntoma de la enfermedad más que su causa.

Newton decidió abandonar Cambridge para ocupar un puesto de gobierno en Londres convirtiéndose en el Guardián de la Casa Real de la Moneda en 1696 y en Maestre en 1699. Sin embargo, no dimitió de sus puestos en Cambridge hasta 1701.

En 1703 fue elegido presidente de la Royal Society y fue reelegido cada año hasta su muerte. Fue armado caballero en 1705 por la Reina Ana. Sin embargo la última parte de su vida no fue fácil, dominada en muchos aspectos por la controversia con Leibniz, en la que nos centraremos más adelante, sobre quién había inventado el cálculo infinitesimal.

Murió pacíficamente, entre la una y las dos de la mañana, el 31 de marzo de 1727, a los 85 años. Fue enterrado en la Abadía de Westminster.

Leibniz

Cuatro años era menor que Newton, nació en Leipzig el 1 de julio de 1646; vivió 70 años, y murió en Hanover el 14 de noviembre de 1716. Su padre, profesor de filosofía moral en Leipzig, procedía de una buena familia, que había servido al gobierno de Sajonia durante tres generaciones.

La madre de Leibniz fue Catalina Schmunk, hija de un abogado y tercera esposa de Friedrich Leibniz. Sin embargo, Friedrich Leibniz murió cuando Leibniz tenía sólo seis años y tuvo que ser educado por su madre.

A la edad de siete años, Leibniz ingresó en la Escuela Nicolai en Leipzig. Aunque se le enseñó latín en la escuela, Leibniz aprendió latín avanzado y algo de griego a la edad de 12 años por su cuenta. Parece haber estado motivado por el deseo de leer los libros de su padre. Mientras progresaba en la escuela aprendió la lógica aristotélica y la teoría del razonamiento categórico. Mientras seguía con sus clases en la escuela, Leibniz estudió los libros de su padre. Concretamente leyó libros de metafísica y de teología de escritores católicos y protestantes.

En 1661, a la edad de catorce años, Leibniz entró en la Universidad de Leipzig. Estudió Filosofía, que también se enseñaba en la Universidad de Leipzig, así como Matemáticas, que se enseñaba muy por encima. Se licenció en Filosofía y Letras en 1663 con la tesis De Principio Individui (Sobre el Principio del Individuo).

Hacia octubre de 1663 Leibniz se encontraba de vuelta en Leipzig para terminar sus estudios de Doctor en Leyes. Obtuvo el grado de Maestro en Filosofía con una disertación que combinó aspectos de la Filosofía y el Derecho estudiando las relaciones de estas materias con las ideas matemáticas que había aprendido. Unos pocos días después de presentar su disertación, la madre de Leibniz murió.

Después de obtener la Licenciatura en Derecho, Leibniz trabajó en su habilitación en Filosofía. Su obra fue publicada en 1666 como Dissertatio de Arte Combinatoria (Disertación sobre el Arte de la Combinatoria). En su obra, Leibniz llegó a reducir todos los razonamientos y descubrimientos a una combinación de elementos básicos tales como los números, las letras, los sonidos y los colores.

Sirvió como secretario en la Sociedad de Alquimia de Nuremberg por un tiempo y después conoció al barón Johann Christian von Boineburg. Hacia noviembre de 1667 Leibniz estuvo viviendo en Frankfurt, contratado por Boineburg. Durante los años siguientes Leibniz desarrolló varios proyectos científicos, literarios y políticos. También continuó su carrera de Derecho, instalándose en el Tribunal de Mainz antes de 1670. Una de sus tareas allí, tomada por mandato del Elector de Mainz, fue la mejora del Código Civil Romano de Mainz.

Boineburg era católico mientras que Leibniz era luterano, pero uno de las mayores ilusiones de la vida de Leibniz era la reunificación de las iglesias cristianas y con el apoyo de Boineburg, hizo el borrador de un cierto número de monografías de asuntos religiosos, principalmente para encontrar puntos de encuentro entre ambas iglesias.

Para Leibniz, otro de los mayores deseos de su vida era recopilar todo el conocimiento humano. Por supuesto vio su trabajo en el Código Civil Romano como parte de este esquema y, como una parte más de su plan, Leibniz trató de agrupar el trabajo de las sociedades para coordinar la búsqueda. Leibniz empezó por estudiar el movimiento y, aunque tenía en mente el problema de explicar los resultados de Wren y Huygens sobre las colisiones elásticas, empezó con ideas abstractas sobre el movimiento. En 1671 publicó la Hypothesis Physica Nova (Nueva Hipótesis Física). En su trabajo proclamó, al igual que hizo Kepler, que el movimiento depende de la acción de un espíritu. Se comunicó con Oldenburg, el secretario de la Royal Society de Londres, y dedicó algunos de sus trabajos científicos a la Royal Society y a la Academia de Paris.

Leibniz deseó visitar París para obtener más contactos científicos. Había comenzado la construcción de una máquina calculadora. También en París elaboró un plan político para persuadir a los franceses de que atacaran Egipto. En 1762 Leibniz fue a París en apoyo de Boineburg para intentar usar su plan de distraer a Luís XIV de atacar las zonas alemanas.

En París, Leibniz estudió matemáticas y física bajo la tutela de Christian Huygens, hecho que comenzó en otoño de 1762. También en otoño de 1762, el hijo de Boineburg fue enviado a Paris para estudiar bajo la tutela de Leibniz, lo cual le supuso asegurarse el apoyo financiero. El sobrino de Boineburg acompañaba al hijo de este en una misión diplomática para tratar de persuadir a Luís XIV de que celebrara un congreso de paz. Boineburg murió el 15 de diciembre pero Leibniz continuó siendo apoyado por la familia de este.

Gottfried Leibniz (1646-1716) por Christoph Bernhard Francke cerca de 1700.

En enero de 1763 Leibniz y el sobrino de Boineburg fueron a Inglaterra para intentar la misma misión de paz, al haber fallado el intento en Francia. Leibniz visitó la Royal Society e hizo una demostración de su máquina calculadora aún incompleta. También habló con Hooke, Boyle y Pell. Mientras explicaba sus resultados en las series a Pell, éste le dijo que podría encontrarlas en un libro de Mouton. Al día siguiente consultó el libro de Mouton y descubrió que Pell tenía razón. En la reunión de la Royal Society el 15 de febrero, a la cual Leibniz no acudió, Hooke hizo algunos comentarios desfavorables sobre la máquina calculadora de Leibniz. Leibniz volvió a París al escuchar la noticia de que el Elector de Mainz había muerto. Leibniz se dio cuenta de que sus conocimientos en matemáticas eran menores de lo que a él le hubiera gustado que fueran así que redobló sus esfuerzos en la materia.

La Royal Society de Londres admitió a Leibniz el 19 de abril de 1673. También volvió a coincidir con Huygens quien le dio una lista de libros para leer, entre los que se encontraban obras de Pascal, Fabri, Gregory, Saint-Vincent, Descartes y Sluze. Comenzó a estudiar la geometría de los infinitesimales[[ii]] y escribió a Oldenburg en la Royal Society en 1674. Oldenburg respondió que Newton y Gregory habían encontrado métodos generales. Sin embargo Leibniz no estaba en los mejores términos con la Royal Society desde que no mantuvo su promesa de terminar su máquina calculadora. En agosto de 1675 Tschirnhaus llegó a París y nació una gran amistad con Leibniz, que se demostró muy provechosa para ambos dentro de las matemáticas.

Fue durante este período en París que Leibniz desarrolló las bases de su versión del cálculo. En 1673 todavía se esforzaba en desarrollar una buena notación para sus cálculos ya que el primer cálculo diferencial era confuso. El 21 de noviembre de 1675 escribió un manuscrito empleando la notación    f(x) dx por primera vez. En el mismo manuscrito aparece la regla para la derivada del producto. En el otoño de 1676 Leibniz descubrió la famosa fórmula d(x^n ) =nx^(n-1) dx tanto para n entera como para n fraccional.

Leibniz aceptó un puesto del duque de Hanover, Johan Friedrich, de bibliotecario y de Canciller del Tribunal de Hanover. Abandonó París en octubre de 1676 realizando el viaje a Hanover a través de Londres y Holanda.

En Hanover se desarrollo como bibliotecario. Sin embargo emprendió una colección completa de otros proyectos. Por ejemplo uno de esos grandes proyectos empezó en 1678-79, e implicaba el desagüe de las minas de las montañas Harz. Su idea fue emplear energía eólica e hidráulica para accionar las bombas. Diseñó muchos tipos diferentes de molinos de pozos eólicos, bombas, engranajes pero cada uno de estos proyectos terminaba en fracaso. El mismo Leibniz creía que esto se debía a la obstrucción deliberada de los administradores y técnicos, y al temor de los trabajadores de que estas maquinas les costara sus empleos.

Leibniz había alcanzado importantes resultados científicos convirtiéndose en una de las primeras personas que estudiaran geología a través de las observaciones que recopilara para el proyecto Harz. Durante su trabajo fundó la hipótesis de que la Tierra estuvo en sus orígenes fundida.

Otro de los grandes logros de Leibniz en matemáticas fue el desarrollo del sistema binario de aritmética. Perfeccionó su sistema hacia 1679 pero no publicó nada hasta 1701 cuando envió el artículo Essay d'une nouvelle science des nombres (Ensayo sobre una nueva ciencia de los números) a la Academia de París para marcar su elección a la Academia. Otra de las principales obras matemáticas de Leibniz fue su trabajo sobre determinantes que surgió de su desarrollo de métodos para resolver los sistemas de ecuaciones lineales. Aunque no publicó su trabajo en vida, desarrolló muchos acercamientos diferentes al tema intentando muchas notaciones diferentes para averiguar cuál es la más útil. Un artículo inédito con fecha de 22 de enero de 1684 contiene una notación y unos resultados muy satisfactorios.

Otro gran proyecto en el que se embarcó Leibniz, en esta ocasión para el duque Ernst August, fue el escribir la historia de la familia Guelf, de la cual la Casa de Brunswick era parte. Hizo un largo viaje para buscar archivos de material en el que basar su historia.  Aunque Leibniz publicó nueve grandes volúmenes de material de archivo sobre la historia de la familia Guelf, nunca terminaría la obra que le fue encomendada.

En 1684 Leibniz publicó detalles de su cálculo diferencial en Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus en Acta Eruditorum, un diario establecido en Leipzig dos años antes. El artículo contenía la familiar anotación d, las reglas para el cálculo de las derivadas de potencias, productos y cocientes. Sin embargo no contenía demostraciones y Jacobo Bernoulli lo llamó un enigma más que una explicación.

En 1686 Leibniz publicó, en Acta Eruditorum, un artículo en el que trataba el cálculo integral con la primera aparición en imprenta de la notación .

Otra parte importante de la obra matemática emprendida por Leibniz fue su trabajo de dinámica.

Criticó las ideas de Descartes sobre mecánica y examinó lo que eran efectivamente la energía cinética, la energía potencial y el momento. Este trabajo comenzó en 1676 pero volvió a él varias veces, particularmente mientras estaba en Roma en 1689.

Leibniz puso muchas energías en promocionar las sociedades científicas; además  tuvo más de 600 corresponsales, no es exagerado decir que Leibniz mantuvo correspondencia con la mayoría de los eruditos de Europa, muchos de ellos matemáticos. Leibniz además debatió sobre los logaritmos de los números negativos con Johann Bernoulli.

En 1710 Leibniz publicó Théodicée, un trabajo filosófico que intenta enfrentar el problema del mal en un mundo creado por un Dios bueno. Leibniz afirma que el universo tuvo que ser imperfecto, o de otro modo no sería distinto de Dios. En 1714 Leibniz escribió Manadologia, que sintetizaba la filosofía de su primer trabajo, el Théodicée.

Gran parte de la actividad matemática de los últimos años de Leibniz trató sobre la disputa prioritaria de la invención del cálculo diferencial.

Iniciadores en el desarrollo del cálculo

Se atribuye la invención del cálculo a Newton y Leibniz. Sin embargo, ambos hombres deben muchísimo a sus predecesores inmediatos en el desarrollo del mismo.

No entraremos en detalles aquí sobre cómo se fue desarrollando el cálculo sino que mencionaremos algunos de los hitos más importantes.

Ya los griegos se habían preocupado de cómo tratar el infinito. Para los griegos el infinito aparece de dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Ya apareció de algún modo en la inconmensurabilidad de la diagonal de cuadrado; también, claro está, lo tenemos en la famosa paradoja de Zenón sobre Aquiles y la tortuga, por ello no es de extrañar que alguien intentara regularlos.

Zenón de Elea, alrededor de 450 a. C., planteó una serie de problemas que estaban basados en el infinito. Por ejemplo, argumentó que el movimiento es imposible:

Si un cuerpo se mueve de A a B entonces, antes de llegar a B pasa por el punto medio, B1, de AB. Ahora bien, para llegar a B1 debe primero pasar por el punto medio B2 de AB1. Continuando con este argumento se puede ver que A debe moverse a través de un número infinito de distancias y por lo tanto no puede moverse.

Fue Eudoxo, discípulo de Platón y contemporáneo  de Aristóteles quien hizo el primer uso "racional" del infinito en las matemáticas. Eudoxo postuló que «toda magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada». Es el famoso principio de Arquímedes que éste toma prestado a Eudoxo y que sirvió a aquel para superar la primera crisis de las Matemáticas -debida al descubrimiento de los irracionales-.

Sin embargo, Arquímedes, alrededor de 225 a. C. hizo uno de las contribuciones griegas más significativas. Su primer avance importante fue demostrar que el área de un segmento de parábola es 4/3 del área del triángulo con los mismos base y vértice y es igual a 2/3 del área del paralelogramo circunscrito. Arquímedes construyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área A y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas.

A, A + A/₄, A + A/₄ + A/₁₆, A + A/₄ + A/₁₆ + A/₆₄, ...

El área del segmento de la parábola es, por lo tanto:

A(1 + ¹/₄ + ¹/₄² + ¹/₄³ + ...) = (⁴/₃)A.

Este es el primer ejemplo conocido de suma de una serie infinita. Arquímedes usó el método exhaustivo para encontrar la aproximación al área de un círculo. Esto, por supuesto, es un ejemplo temprano de integración que llevó a valores aproximados de π.

Entre otras 'integraciones' de Arquímedes estaban el volumen y la superficie de una esfera, el volumen y área de un cono, el área de una elipse, el volumen de cualquier segmento de un paraboloide de revolución y un segmente de un hiperboloide de revolución.

La genial idea de siracusano fue considerar las áreas como una colección -necesariamente infinita- de segmentos.

Esquema de Arquímedes

No hubo más progresos hasta el siglo XVI cuando la mecánica empezó a llevar a los matemáticos a examinar problemas como el de los centros de gravedad.

Fueron Fermat, Roberval y Cavalieri en hacer las siguientes contribuciones importantes. Este último llegó a su 'método de los indivisibles' por los intentos de integración de Kepler. No fue riguroso en su acercamiento y es difícil ver con claridad cómo se le ocurrió su método. Al parecer Cavalieri pensó en un área como formada por componentes que eran líneas y luego sumó su número infinito de 'indivisibles'. Demostró, usando estos métodos, que la integral de x^n entre 0 y a era a^(n+1)/(n+1) mostrando el resultado para ciertos valores de n e infiriendo el resultado general.

Roberval consideró problemas del mismo tipo pero fue mucho más riguroso que Cavalieri. Roberval se fijó en el área entre una curva y una línea como formada por un número infinito de rectángulos infinitamente delgados.

Fermat también fue más riguroso en su acercamiento pero no dio demostraciones. Fermat investigó máximos y mínimos considerando dónde la tangente a la curva es paralela al eje X. Le escribió a Descartes dando el método esencialmente como se usa hoy, es decir, encontrando los máximos y los mínimos calculando dónde la derivada de la función es 0. De hecho, debido a este trabajo Lagrange afirmó claramente que él consideraba a Fermat como el inventor del cálculo.

Descartes produjo un importante método para determinar normales en La Géometrie en 1637 basado en la doble intersección. De Beaune extendió sus métodos y los aplicó a las tangentes; en este caso la doble intesección se traduce en raíces dobles. Hudde descubrió un método más sencillo, llamado la Regla de Hudde, que básicamente involucra a la derivada. El método de Descartes y la Regla de Hudde tuvieron una influencia importante sobre Newton.

Huygens criticó las pruebas de Cavalieri diciendo que lo que se necesita es una demostración que al menos convenza de que puede construirse una prueba rigurosa. Huygens tuvo gran influencia sobre Leibniz y por lo tanto jugó un papel importante en la producción de un acercamiento más satisfactorio al cálculo.

El siguiente paso importante lo dieron Torricelli y Barrow. El segundo dio un método de tangentes a una curva en el que la tangente está dada como el límite de una cuerda cuando los puntos se acercan uno a otro y que es conocido como el triángulo diferencial de Barrow.

Tanto Torricelli como Barrow estudiaron el problema del movimiento con velocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa nos lleva de la velocidad a la distancia. De aquí empezó a evolucionar naturalmente una concienciación de la inversa de la diferenciación y que Barrow estuviera familiarizado con la idea de que integral y derivada son inversas una de otra. De hecho, aunque Barrow nunca afirmó explícitamente el teorema fundamental del cálculo, estaba trabajando hacia el resultado y Newton continuaría en esta dirección y daría explícitamente el Teorema Fundamental del Cálculo.

Otro de los protagonistas de nuestra historia es, sin duda, Grégoire de Saint-Vicent. Sus principales aportaciones las publicó en su Opus geometricum  de 1647. En ella desarrolla un método de integración geométrico, estudia las series geométricas incluyendo diversas aplicaciones de las mismas discutiendo, como no, la conocida aporía de Zenón sobre Aquiles y la tortuga que además resolvía magistralmente argumentando que Zenón no consideró en la persecución de Aquiles que el tiempo formaba una progresión geométrica de razón 1/2 y por tanto tardaba un tiempo finito en alcanzar a la tortuga. Finalmente, una de sus aportaciones más valiosas consistió en que encontró que el área encerrada bajo una hipérbola se expresaba mediante los logaritmos.

 Triángulo de Barrow

Wallis aritmetizó los indivisibles de Cavalieri asignándoles valores numéricos convirtiendo de esta forma el cálculo de áreas -hasta el momento algo meramente geométrico- en cálculos aritméticos más un primitivo proceso al límite haciendo además un uso descarado del infinito -a él debemos también el símbolo que usamos actualmente, ese 8 acostado-.

El trabajo de Wallis influyó enormemente en Newton quien aseguró que el desarrollo del binomio y otras ideas iniciales sobre el cálculo tuvieron los orígenes en el estudio que realizó del libro de Wallis en su época de estudiante en Cambridge.

Referencia: http://www.mundohistoria.org/blog/articulos_web/la-disputa-entre-newton-leibniz-por-la-invencion-del-calculo