PROBLEMAS RESUELTOS DE DERIVADAS
1.- Encontrar la derivada de las siguientes funciones polinomiales.
a).- 
b).- 
c).- 
d).- 
como sabemos el operador de derivada se distribuye sobre cada uno de los términos de las funciones, es decir si 
entonces
entonces
por lo que para la función planteada en el ejercicio:
Recordando que la derivada de una función potencia 
es 
y que en la derivada de una constante es cero tendremos
es y que en la derivada de una constante es cero tendremos
es decir 
Para este caso 
Distribuyendo la derivada tenemos:
y utilizando directamente la fórmula para 
la cual es 
:
la cual es :
observamos que al derivar, por ejemplo, 
obtenemos 
por lo que :
obtenemos por lo que :
De forma similar a los dos ejercicios anteriores obtenemos:
como sabemos si f(x)=a v(x) donde a es constante se obtiene 
por lo tanto:
derivando cada término
Por lo que:
2.- Obtener los siguientes problemas.
a).- 
b).- 
c).- 
d).- 
Para la solución de estos problemas utilizaremos, además de las fórmulas expuestas en el ejercicio anterior la fórmula siguiente:
para obtener la solución tenemos dos caminos.
1ero
en este caso si comparamos con la fórmula para derivar la división de dos funciones tendríamos el análogo f(x)=x y g(x)=x2+1
derivando cada función obtendríamos:
f´(x)=1
y
g´(x)=2x
sustituyendo en (A.1) tendríamos:
simplificando:
2ada forma Como
ya que x2+1 nunca es cero, entonces:
podremos utilizar la fórmula:
donde f(x)=x y g(x)=(x2+1)-1
derivando cada función obtendríamos:
f´(x)=1
y
sustituyendo en A.2 obtenemos:
b).-Solución
aplicando la fórmula
tenemos:
del ejercicio anterior ya obtuvimos que:
y 
entonces:
entonces:
por lo tanto:
sustituyendo en la ecuación (A.1)
por lo tanto:
aplicando la fórmula
tenemos:
pero ya hemos calculado 
del ejercicio a)
del ejercicio a)
y la derivada de x3-x es:
de lo que:
1.-Encontrar las derivadas de las siguiente funciones:
a).- 
b).- 
c).- 
d).- 
e).- 
a) Solución
para la solución de estos problemas ocuparemos las siguientes fórmulas
utilizando C.5 y haciendo 
tenemos
tenemos
pero 
por lo que
simplificando
b) Solución
utilizando C.5 y haciendo 
tenemos:
tenemos:
utilizaremos la derivada de un cociente:
en este caso la f(x)= x2 cos x y g(x)=(2x+1)3 pero la hemos obtenido, del ejercicio anterior el valor de f´(x)
por lo que solo falta calcular la derivada de g(x)
sustituyendo en la fórmula (B.2)
factorizando (2x+1)2 tendremos:
pero
por lo tanto:
finalmente al sustituir en b.1 tenemos:
c) Solución
tomando, en la fórmula C.3, u=x y v=sen x
tenemos:
d) Solución
aplicando directamente C.1 tenemos
e). solución
aplicando primeramente la derivada par aun producto de funciones obtenemos:
2.- Demuestre la fórmula
como
pero de la propiedad:
entonces
derivando tenemos:
utilizando el hecho de que 
y la derivada de un logaritmo natural tenemos:
y la derivada de un logaritmo natural tenemos:
simplificando, tenemos:
Derivadas trigonométricas
1.-Encontrar las derivadas de las siguiente funciones:
a).- 
b).- 
c).- 
d).- 
a) Solución
aplicaremos la fórmula para derivar un producto de funciones:
tenemos:
pero:
por lo tanto:
b) Solución
utilizaremos la derivada de un cociente:
en este caso la f(x)= x2 cos x y g(x)=(2x+1)3 pero la hemos obtenido, del ejercicio anterior el valor de f´(x)
por lo que solo falta calcular la derivada de g(x)
sustituyendo en la fórmula (B.2)
factorizando (2x+1)2 tendremos:
pero
por lo tanto:
c) Solución
haciendo u=csc 3x tenemos:
aplicando la regla de la cadena
tenemos
pero v= csc 3x
recordando que
tenemos
sustituyendo en y´(x) tenemos:
d) Solución
aplicando la fórmula (B.1) tenemos:
simplificando tenemos:
1.- obtener las siguiente derivadas funciones inversas:
a).-
b).-
Aplicando la fórmula para un producto de funciones tenemos
para derivar la función arc cos(2x+1) utilizaremos la fórmula
por lo que
con la restricción
Finalmente la solución es:
b) Solución
pero
entonces basta con poner la restricción
 y aplicar la fórmula
2.- Obtener la derivada de la función F(x) cuando y graficar la solución
a)
b)
 con k1 y k constantes
el gráfico es una línea recta paralela al eje X. El gráfico para k=5 es el siguiente
Utilizando la fórmula
 tenemos  
su gráfico es el siguiente:
1.- Encontrar la solución de los siguientes ejercicios
a)
b)
a) Solución
Utilizando la fórmula
 tenemos:
b) Solución
2.- Determine la derivadas de las funciones inversas logarítmicas
a)
b)
a) Solución
Aplicando directamente la fórmula:
tenemos:
   |
