LOGARITMOS

Definición, propiedades, representación gráfica.

En la expresión a^b =c "a" es la base y "b" es el exponente.

    En la expresión log_a c= b, "a" se denomina base del logaritmo y b se llama argumento, con a>0, b>0 y a ¹1.     

     La base de la potencia ha pasado a ser la base del logaritmo, y el exponente el resultado del logaritmo; el argumento era el resultado de la potenciación, parece complicado, pero con un ejemplo es más fácil de ver.

2^x= 32

esto es algo incómodo de calcular, así que se recurre a los logaritmos

 log₂32=x

En otras palabras, el resultado del logaritmo en base x de un número es el exponente al que hay que elevar la base x para obtener el número.

Cualquier número real positivo se puede expresar con logaritmos.

log₁₀5=0.6 , porque 10^0.6=5

Un número negativo no puede ser el resultado de una potencia.

Propiedades:

Las cuatro últimas propiedades encierran la utilidad de los logaritmos: trabajando con exponentes, el producto se convierte en suma; el cociente, en diferencia; la potencia, en producto; y la raíz en cociente. Todas las operaciones se transforman en otra más sencilla.

Logaritmos decimales

Los logaritmos decimales son aquellos cuya base es 10 , son los más comunes para operar, y se representan como log x=y

Logaritmos neperianos

Después de estudiar diversos fenómenos de crecimiento y decrecimiento en la Naturaleza (por ejemplo: aumento de una población de bacterias, desintegración radiactiva, etc.), se observó que una y otra vez aparecían las potencias de un número irracional al que se llamó el “ número e ”:

 

Para estudiar esos fenómenos son muy útiles los logaritmos cuya base es el número  e , llamados logaritmos neperianos  en honor de John Neper.  Se representan así:   ln x = log _e x 

Cambios de base de logaritmos

Para intercambiar logaritmos en base 10 con logaritmos neperianos podemos aplicar esta fórmula:

ln x = log x / log e

En general para intercambiar bases podemos utilizar esta fórmula:

Función logarítmica:

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

Ecuaciones logarítmicas

Cuando en una ecuación la variable o incógnita aparece como argumento o como base de un logaritmo, se llama logarítmica.
La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos procedimientos utilizados en la resolución de las ecuaciones habituales. Aunque no existen métodos fijos, habitualmente se procura convertir la ecuación logarítmica en otra equivalente donde no aparezca ningún logaritmo. Para ello, se ha de intentar llegar a una situación semejante a la siguiente:
loga f (x) = loga g (x)
Entonces, se emplean los antilogaritmos para simplificar la ecuación hasta f (x) = g (x), que se resuelve por los métodos habituales.
También puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación equivalente del tipo:
loga f (x) = m
de donde se obtiene que f (x) = am, que sí se puede resolver de la forma habitual.

Sistemas de ecuaciones logarítmicas

Cuando en un sistema aparecen una o varias ecuaciones logarítmicas, se denomina sistema de ecuaciones logarítmicas. En el caso de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se pueden producir tres casos distintos:

• Un sistema formado por una ecuación polinómica y una logarítmica.
• Un sistema constituido por dos ecuaciones logarítmicas.
• Un sistema compuesto por una ecuación polinómica y una ecuación exponencial.

En cada caso, se utilizan los métodos habituales de resolución de sistemas de ecuaciones, teniendo siempre presente que estas ecuaciones han de transformarse en otras equivalentes, donde la incógnita no aparezca en el argumento o la base del logaritmo, ni en el exponente de la función exponencial.

EJERCICIOS:

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5 

TOMADO DE:http://www.vitutor.com/al/log/g_e.html  

http://www.colegiosansaturio.com/deptomatesweb/SANSAMATES/Trabajos/logaritmos/def.html

Destacó John Napier por sus aportes a las matemáticas aplicadas

• Si cuatro números forman una proporción geométrica, sus logaritmos constituyen una progresión aritmética
Actualmente existe una unidad de medida matemática relativa al área de las telecomunicaciones que mantiene vivo su apellido: el ''neper o neperio''
El teólogo y matemático escocés John Napier, quien murió el 4 de abril de 1617, es recordado por sus aportes al desarrollo de los logaritmos, método matemático ideado para simplificar el cálculo numérico utilizado en las matemáticas aplicadas. 
 
Actualmente existe una unidad de medida matemática relativa al área de las telecomunicaciones que mantiene vivo su apellido: el "neper o neperio".
 
De acuerdo con la página www.johnnapier.com, Napier nació en 1550 y pasó toda su vida buscando el conocimiento; quienes lo conocían admiraban su sabiduría y era respetado por los científicos y matemáticos de la época.
 
A él también se deben las "Napier Rechenstäbchen" (barras de Napier), otro importante aporte al mundo de las matemáticas, que además de en la multiplicación, también se utilizaron en la toma de raíces cuadradas y cúbicas.
 
Según  sus  biógrafos, Napier nació en el castillo de Merchiston, Edimburgo, Escocia. Con tan sólo 13 años de edad ingresó a las universidades de Saint-Andrews y luego a la de París. También vivió en Italia y Holanda.
 
De regreso a Escocia, en 1581, dedicó su vida al estudio, la administración de su patrimonio y a desempeñarse en  diversos cargos públicos, entre ellos, participar en delegaciones protestantes enviadas por el rey en busca de apoyo en la lucha contra los católicos.
 
Además de sus aportes a las matemáticas, Napier proyectó máquinas de guerra con vistas a la defensa de la isla británica contra Felipe II de España y sostuvo las propiedades fertilizantes de las sales.
 
Su descubrimiento de los logaritmos fue publicado en 1614 con el tratado "Mirifici logarithmorum canonis descriptio", fruto de un estudio de dos décadas.
 
La página biografiasyvidas.com explica que el teorema fundamental de la teoría de Napier demuestra que a todo número corresponde un logaritmo; sin embargo, el matemático escocés no sólo no lo demostró, sino que ni siquiera enunció ese "teorema de existencia".
 
Llegó por otros caminos a sus propias conclusiones basándose en la comparación entre dos progresiones, geométrica una y aritmética otra, estableciendo el teorema fundamental de la propia teoría y demostrando que si cuatro números forman una proporción geométrica, sus logaritmos constituyen una progresión aritmética.
 
Las aportaciones de Napier fueron acogidas con entusiasmo por Edward Wright, matemático y cartógrafo, y por Henry Briggs, profesor entonces en Londres y más tarde en Oxford; ambos, habiendo visitado a Napier en 1615, le propusieron la creación de los logaritmos de base 10, y el mismo Napier los calculó para los primeros mil números, publicándolos en 1617.
 
En el área de la trigonometría por haber encontrado importantes relaciones entre los elementos  de los triángulos planos (teorema de Napier) y entre los de los triángulos esféricos (analogías de Napier).
TOMADO DE:
http://www.informador.com.mx/cultura/2012/367595/6/destaco-john-napier-por-sus-aportes-a-las-matematicas-aplicadas.htm

CHISTE Nº 57

TOMADO DE: http://desmotivaciones.es/carteles/matematico/4

Matriz inversa (II) (método de Gauss)

Recordarás que al estudiar por vez primera la matriz inversa dijimos que más adelante volveríamos a estudiarla introduciendo una pequeña variante debido a Carlos Federico Gauss un prodigio de inteligencia desde su más tierna infancia que vivió entre los años 1775 al 1855 en Alemania.

Vamos a hacer el cálculo de la matriz inversa sirviéndonos del método de Gauss.
Como ya hemos estudiado, tenemos que calcular una matriz A^-1que multiplicada por la matriz A obtengamos el resultado:

Haciendo uso del método de Gauss escribimos la matriz original del modo siguiente:

Le hemos agregado los elementos del resultado que nos tiene que dar.

A la derecha de la raya roja la matriz identidad, a la izquierda la matriz propuesta.

Hemos de conseguir que a la izquierda de la vertical de color rojo aparezca la matriz identidad y a la derecha los elementos de la matriz inversa:

Cuando a la matriz propuesta la hayamos transformado en matriz identidad, los elementos que ocuparán su lugar original será el valor de la matriz inversa (x, y, u, v).

El 2 que ocupa el lugar (1   2) debe darnos un 0 y para ello realizo las siguientes operaciones: F1 = 2F1 – F2:

El 3 que ocupa el lugar (1   2) nos interesa vamos a convertirlo en 1, para ello tendremos que dividir a todos los elementos de la fila entre 3:

Multiplicamos por  – 1 a todos los términos de la primera fila:

El valor del elemento (2   1) debe tener el valor 0 y para ello realizo la operación: F2 = F2 – F1:

Necesitamos que el valor del lugar (2  2) sea igual a 1 y para ello multiplico a cada uno de los elementos de la fila por 3/4:

Ya hemos concluido, la matriz inversa es lo que se halla a la derecha de la matriz identidad:

es decir : 
Estos valores corresponden a x, y, u, v.

Comprobamos:

No es complicado calcular la matriz inversa, lo malo es el tiempo que hay que utilizar en resolver y lo fácil que es equivocarse.

Ejercicio #32 

Calcula la matriz inversa de 

tomado de: http://www.aulafacil.com/matematicas-matrices-determinantes/curso/Lecc-15.htm

CALCULAR EL RANGO DE LAS MATRICES

No siempre es tan sencillo calcular el rango, a veces, es algo más complicado pero si llevas a cabo los pasos siguientes no hallarás dificultades.

Vamos a obtener matrices escalonadas porque sabemos que si una fila solamente contiene ceros será linealmente dependiente.

Para obtener una matriz escalonada el elemento (2  1), es decir, el 4 lo hemos de convertir en 0 y para ello, multiplicamos a los valores de  la F1 (fila 1) por  4 y vamos restando a los valores de F2 (fila 2) tal como queda indicado más abajo:

Antes de comenzar a realizar algunas operaciones recordarte el orden jerárquico de los signos. Primero se hacen multiplicaciones y divisiones y por último las sumas y restas:

Siguiendo con la construcción de una matriz escalonada, el elemento que se halla en la posición (3  1) que es el 7 también ha de ser igual a cero y para ello multiplicamos a los valores de la fila 1 (F1) por -7 y vamos restando de los valores de F2:

Recuerda que tratamos de obtener una matriz escalonada. En este momento el valor situado en (3   2),  -6 ha de ser cero por lo que debo dirigirme a la F2 que ya comienza su fila con el valor cero. No relaciono F3 con F1 porque obtendría un valor para el lugar (3   1) que ya lo tengo y es cero.

Multiplico a cada valor de F2 por – 2  y resto de los valores que tengo en F3:

Observo que tengo dos filas linealmente independientes o dos filas que no son ceros, luego el rango vale 2.

Ejercicio #30  

Calcula el rango de la matriz:

Respuesta: rang (D) = 2

Solución

Siempre has de tratar de conseguir que el primer elemento de la 2ª  fila (2   1) sea 0. Seguidamente, el (3   1) también, y así hasta lograr que a partir de la 2ª fila, los elementos de la 1ª columna sean ceros.

Una vez que lo hayas conseguido y si ves que todavía no sabes el rango de la matriz, debes tratar que el 2º elemento de la 3ª fila sea cero, es decir, tratar de obtener una matriz escalonada.

En cuanto veas que la última o últimas filas completas sus elementos son iguales a cero has terminado con el cálculo. Cuantas las filas independientes y ya tienes su rango.

Esto es lo que ves a continuación paso a paso:

Vemos que dos filas son linealmente independientes, luego el rango de esta matriz es 2.

Ejercicio #31 

Calcula el rango de la matriz siguiente:
Respuesta: r(A) vale 3

tomado de: http://www.aulafacil.com/matematicas-matrices-determinantes/curso/Lecc-14.htm

Método de Newton (para cálculo de la raíz cuadrada)

Ejercicio sacado de [Abel96] (fuente).

El método computacional más común para calcular raíces cuadradas (y otras funciones también) es elmétodo de Newton de aproximaciones sucesivas. Cada vez que tenemos una estimación y del valor de la raíz cuadrada de un número x, podemos hacer una pequeña manipulación para obtener una mejor aproximación (una más cercana a la verdadera raíz cuadrada) promediando y con x/y.

Por ejemplo, calculemos la raíz cuadrada de 2 usando la aproximación inicial 2√≈1:

Estimación y	Cuociente x/y	Promedio
1	2/1=2	(2+1)/2=1.5
1.5	2/1.5=1.3333	(1.3333+1.5)/2=1.4167
1.4167	2/1.4167=1.4118	(1.4118+1.4167)/2=1.4142
1.4142	...	...

Al continuar este proceso, obtenemos cada vez mejores estimaciones de la raíz cuadrada.

El algoritmo debe detenerse cuando la estimación es «suficientemente buena», que debe ser un criterio bien definido.

1. Escriba un programa que reciba como entrada un número real x y calcule su raíz cuadrada usando el método de Newton. El algoritmo debe detenerse cuando el cuadrado de la raíz cuadrada estimada difiera de x en menos de 0,0001.
   (Este criterio de detención no es muy bueno).
2. Escriba un programa que reciba como entrada el número real x y un número entero indicando con cuántas cifras decimales de precisión se desea obtener su raíz cuadrada.
   El método de Newton debe detenerse cuando las cifras de precisión deseadas no cambien de una iteración a la siguiente.
   Por ejemplo, para calcular 2√ con dos cifras de precisión, las estimaciones sucesivas son aproximadamente 1; 1,5; 1,416667 y 1,414216. El algoritmo debe detenerse en la cuarta iteración, pues en ella las dos primeras cifras decimales no cambiaron con respecto a la iteración anterior:

   Ingrese x: 2
   Cifras decimales: 2
   La raiz es 1.4142156862745097

   (La cuarta aproximación es bastante cercana a la verdadera raíz 1.4142135623730951).

[Abel96]

Harold Abelson, Gerald Jay Sussman. Structure and Interpretation of Computer Programs. 2nd Edition. MIT Press, 1996. tomado de:http://progra.usm.cl/apunte/ejercicios/1/metodo-newton.html