MATEMÁTICA PARA TODOS
domingo, 4 de mayo de 2014
4 ACERTIJOS
Acertijo 1.
Un pastor tiene que pasar un lobo, una cabra y una lechuga a la otra orilla de un río, dispone de una barca en la que solo caben el y una de las otras tres cosas. Si el lobo se queda solo con la cabra se la come, si la cabra se queda sola con la lechuga se la come, ¿cómo debe hacerlo?.
Acertijo 2.
Un oso camina 10 Km. hacia el sur, 10 hacia el este y 10 hacia el norte, volviendo al punto del que partió. ¿De que color es el oso?
Acertijo 3.
Un hombre esta al principio de un largo pasillo que tiene tres interruptores, al final hay una habitación con la puerta cerrada. Uno de estos tres interruptores enciende la luz de esa habitación, que esta inicialmente apagada.
¿Cómo lo hizo para conocer que interruptor enciende la luz recorriendo una sola vez el trayecto del pasillo?
Pista: El hombre tiene una linterna.
Acertijo 4.
En una mesa hay tres sombreros negros y dos blancos. Tres señores en fila india se ponen un sombrero al azar cada uno y sin mirar el color.
Se le pregunta al tercero de la fila, que puede ver el color del sombrero del segundo y el primero, si puede decir el color de su sombrero, a lo que responde negativamente.
Se le pregunta al segundo que ve solo el sombrero del primero y tampoco puede responder a la pregunta.
Por ultimo el primero de la fila que no ve ningún sombrero responde acertadamente de que color es el sombrero que tenia puesto.
¿Cuál es este color y cual es la lógica que uso para saberlo?
Solución 1
El pastor pasa primero la cabra, la deja en la otra orilla y regresa a por el lobo, al cruzar deja al lobo y vuelve con la cabra, deja la cabra y cruza con la lechuga, deja la lechuga con el lobo y regresa a por la cabra.Solución 2
El color del oso es blanco, por ser un oso polar.
Los únicos lugares donde se cumple la condición de regresar al punto de partida son el Polo Norte y cualquier punto situado a 10 km al norte de los paralelos que midan 10 km de circunferencia, puesto que al hacer los 10 km al este volveremos al punto de partida.
En cualquiera de estos casos estaremos en uno de los Polos, por lo que el oso será blanco.
Los únicos lugares donde se cumple la condición de regresar al punto de partida son el Polo Norte y cualquier punto situado a 10 km al norte de los paralelos que midan 10 km de circunferencia, puesto que al hacer los 10 km al este volveremos al punto de partida.
En cualquiera de estos casos estaremos en uno de los Polos, por lo que el oso será blanco.
Solución 3
Al principio del pasillo hay tres interruptores, A,B y C, nuestro personaje pulsa el interruptor A, espera 10 minutos, lo apaga, pulsa el B y atraviesa el pasillo.
Al abrir la puerta se puede encontrar con tres situaciones:
Si la luz esta encendida el pulsador será el B.
Si la luz esta apagada y la bombilla caliente será el A.
Y si esta apagada y la bombilla fría será el C.
Solución 4
El ultimo de la fila puede ver el color del sombrero de sus compañeros, si no puede saber cual es el color del suyo es porque los otros dos no son blancos, por lo que o son los dos negros o es uno de cada color.
El segundo de la fila puede ver el color del sombrero del primero y ya ha deducido lo que penso el tercero, si tampoco responde a la pregunta es porque ve que el color del primero es negro, si fuera blanco sabría que el suyo es negro.
El primero por ese mismo planteamiento deduce que su sombrero es negro
Al abrir la puerta se puede encontrar con tres situaciones:
Si la luz esta encendida el pulsador será el B.
Si la luz esta apagada y la bombilla caliente será el A.
Y si esta apagada y la bombilla fría será el C.
Solución 4
El ultimo de la fila puede ver el color del sombrero de sus compañeros, si no puede saber cual es el color del suyo es porque los otros dos no son blancos, por lo que o son los dos negros o es uno de cada color.
El segundo de la fila puede ver el color del sombrero del primero y ya ha deducido lo que penso el tercero, si tampoco responde a la pregunta es porque ve que el color del primero es negro, si fuera blanco sabría que el suyo es negro.
El primero por ese mismo planteamiento deduce que su sombrero es negro
TOMADO DE: http://www.juegosdelogica.com/neuronas/acertijo.htm
sábado, 3 de mayo de 2014
Adivinar el número de cerillas
La propiedad antes descrita, del sistema binario, se puede utilizar también para el siguiente truco: Propóngase a cualquiera, colocar sobre una mesa una caja de cerillas, incompleta y que, en línea con ella y a su izquierda, se coloquen 7 papelitos de forma rectangular.
Figura 40. Adivinación del número de cerillas. Acciones sucesivas del participante
Después, ausentándonos, pidamos que se haga lo siguiente: dejando la mitad de cerillas en la caja, que se traslade la otra mitad al papelito más próximo; si el número de cerillas es impar, la cerilla sobrante se coloca al lado del papelito. Es necesario dividir en dos partes iguales las cerillas que se encuentran sobre el papelito (no tocando la que se halla junto a él): la mitad se coloca en la caja y el resto se pone en el siguiente papelito; en el caso de un número impar, la cerilla que queda se pone, junto al segundo papelito. Después se procede en igual forma, restituyendo cada vez, de vuelta a la caja, la mitad de las cerillas y poniendo el resto sobre el siguiente papelito, sin olvidar colocar una cerilla a un lado de este, cuando se presente un número impar.
Al final se restituyen a la caja todas las cerillas, salvo las que se hallan junto a los papelitos (ver figs. 40 y 41).
Figura 41. Continuación del truco: aspecto final de los papelitos
Cuando se haya hecho esto, uno se presenta en la habitación y, echando una mirada sobre los papelitos vacíos, nombra el número total de cerillas.
¿Cómo se puede adivinar el número inicial de cerillas en la caja, con base en los papelitos vacíos y las cerillas dispuestas al azar?
Estos papelitos “vacíos”, en el caso dado, son bastante dicientes: conforme a ellos y a las cerillas dispuestas al azar, se puede leer literalmente el número buscado, porque está escrito sobre la mesa, en el sistema binario de numeración. Aclaremos esto con un ejemplo.
Supóngase que el número de cerillas en la caja es 66. En los esquemas de las Figs. 40 y 41 se muestran las operaciones sucesivas con ellas y el aspecto final de los papelitos.
No es difícil darse cuenta de que las operaciones efectuadas con los cerillas, en esencia, son las mismas que hubiésemos realizado de haber querido determinar el número de cerillas de la caja, en el sistema binario de numeración; el esquema final representa directamente este número en el sistema binario si los papelitos vacíos se adoptan como ceros, y los papeles con un cerilla al lado, como unidades. Leyendo el esquema de izquierda a derecha, obtenemos:
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
64
|
32
|
16
|
8
|
4
|
2
|
1
|
en el sistema decimal:
64 + 2 = 66
Si hubiera 57 cerillas, los esquemas serían los correspondientes a las figuras 42 y 43.
Figura 42. Otro caso de adivinación. Principio del truco
Figura 43. Final del truco
El número buscado, escrito en el sistema binario es:
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
32
|
16
|
8
|
4
|
2
|
1
|
Y en el sistema decimal:
32 + 16 + 8 + 1 = 57.
TOMADO DE:http://www.librosmaravillosos.com/aritmeticarecreativa/capitulo06.html
LOS 8 PANES
En el cual encontramos un rico sheik, casi muerto de hambre en el desierto. La propuesta que nos hizo sobre los ocho panes que teníamos y como se resolvió, de manera imprevista, el pago con ocho monedas. Las tres divisiones de Beremís: la división simple, la división exacta y la división perfecta. Elogio que un ilustre visir dirigió al “Hombre que calculaba”
Tres días después, nos aproximábamos a una pequeña aldea –llamada Lazakka- cuando encontramos, caído en el camino, a un pobre viajero herido.
Socorrímosle y de su labios oímos el relato de su aventura.
Llamábase Salem Nasair, y era uno de los más ricos negociantes de Bagdad. Al regresar, pocos días antes, de Basora, con una gran caravana, fue atacado por una turba de persas, nómades del desierto. La caravana fue saqueada, pereciendo casi todos sus componentes a manos de los beduinos. Sólo se había salvado él, que era el jefe, ocultándose en la arena, entre los cadáveres de sus esclavos.
Al terminar el relato de sus desgracias, nos preguntó con voz
- ¿Tenéis, por casualidad, musulmanes, alguna cosa para comer?
- Tengo solamente tres panes –respondí.
- Yo traigo cinco –afirmó a mi lado el “Hombre que calculaba”.
- Pues bien –sugirió el sheik [1] -; juntemos esos panes y hagamos una sociedad única. Cuando lleguemos a Bagdad os prometo pagar con ocho monedas de oro el pan que coma.
Así hicimos, y al día siguiente, al caer la tarde, entramos en la célebre ciudad de Bagdad, la perla de Oriente.
Al atravesar una hermosa plaza, nos enfrentamos con un gran cortejo. Al frente marchaba, en brioso alazán, el poderoso Ibraim Maluf, uno de los visires [2] del califa en Bagdad.
Al ver el visir a sheik Salem Nasair en nuestra compañía, gritó, haciendo parar su poderosa escolta, y le preguntó:
- ¿Qué te ha pasado, amigo mío? ¿Por qué te veo llegar a Bagdad sucio y harapiento, en compañía de dos hombres que no conozco?
El desventurado sheik narró, minuciosamente, al poderoso ministro todo lo que le ocurriera en el camino, haciendo los mayores elogios respecto de nosotros.
- Paga sin pérdida de tiempo a esos dos forasteros, ordenó el visir.
Y sacando de su bolsa 8 monedas de oro las entregó a Salem Nasair, insistiendo:
- Quiero llevarte ahora mismo al palacio, pues el Comendador de los Creyentes desea, con seguridad, ser informado de esta nueva afrenta que lo beduinos practicaran, al matar a nuestros amigos saqueando caravanas dentro de nuestras fronteras.
- Voy a dejaros, amigos míos -; dijo Nasair- mas, antes deseo agradeceros el gran servicio que me habéis prestado. Y para cumplir la palabra, os pagaré el pan que tan generosamente me dierais.
Y dirigiéndose al “Hombre que calculaba” le dijo:
- Por tus cinco panes te daré cinco monedas.
Y volviéndose hacia mí, concluyó:
- Y a ti, “bagdalí”, te daré por los tres panes tres monedas.
Con gran sorpresa nuestra, el “Calculista” objetó, respetuosamente:
- ¡Perdón, oh sheik! La división hecha de ese modo será muy sencilla, mas no es matemáticamente exacta. Si yo di 5 panes, debo recibir 7 monedas; y mi compañero, “el Bagdad” que dio tres panes, solamente debe recibir una moneda.
- ¡Por el nombre de Mahoma! [3] –dijo el visir Ibraim, interesado vivamente por el caso-. ¿Cómo justificas, extranjero, tan disparatada forma de pagar 8 panes con 8 monedas? Si contribuiste con 5 panes, ¿por qué exiges 7 monedas? Y si tu amigo contribuyó con 3 panes, ¿por qué afirmas que debe recibir únicamente una moneda?
El “Hombre que calculaba” se aproximó al poderoso ministro y así le habló:
- Voy a probaros que la división de las monedas hecha en la forma propuesta por mí, es más justa y más exacta. Cuando, durante el viaje, teníamos hambre, sacaba un pan de la caja y lo partía en tres trozos, uno para cada uno de nosotros. Todos los panes que eran 8, fueron divididos, pues, en la misma forma. Es evidente, por lo tanto, que si yo tenía 5 panes, di 15 pedazos; si mi compañero tenía 3 panes, dio 9 pedazos. Hubo, así, un total de 24 pedazos, de los cuales cada uno de nosotros comió 8. Ahora bien; si de mis 15 pedazos comí 8, di, en realidad, 7; y mi compañero, que tenía 9 pedazos, al comerse 8, solo dio 1. Los 7 que di yo y el que suministró “el bagdalí” formaron los 8 que comiera el sheik Salem Nasair. Por consiguiente, es justo que yo reciba 7 monedas y mi compañero 1.
El gran visir, después de hacer los mayores elogios al “Hombre que calculaba”, ordenó que le fueran entregadas las 7 monedas, pues a mí sólo me tocaba, por derecho, 1. La demostración lógica y perfecta presentada por el matemático no admitía duda.
- Esa división – replicó entonces el “Calculista”- es matemáticamente exacta, pero a los ojos de Dios no es perfecta.
Y tomando las ocho monedas en la mano las dividió en dos partes iguales. Dióme una de ellas y se guardó la otra.
- Ese hombre es extraordinario –exclamó el visir-. No aceptó la división propuesta de las ocho monedas en dos partes de 5 y 3, en la que salía favorecido; demostró tener derecho a 7 y su compañero a 1, acabando por dividir las 8 monedas en dos partes iguales, que repartió con su amigo.
Y añadió con entusiasmo:
- ¡ Mac Alah ! [4] Ese joven, además de parecerme un sabio habilísimo en los cálculos de Aritmética, es bueno como amigo y generoso como compañero. Tómolo ahora mismo como secretario mío.
- Poderoso visir –le dijo el “Hombre que calculaba”-, veo que acabáis de hacer, con 29 palabras y un total de 145 letras, el mayor elogio que oí en mi vida, y yo, para agradecéroslo, me veo en la obligación de emplear 58 palabras en las cuales figuran nada menos que 290 letras, el doble de las vuestras [5] , precisamente. ¡Que Alah os bendiga y proteja!
Con estas palabras el “Hombre que calculaba” nos dejó a todos maravillados de su argucia e invencible talento de calculista.
Tres días después, nos aproximábamos a una pequeña aldea –llamada Lazakka- cuando encontramos, caído en el camino, a un pobre viajero herido.
Socorrímosle y de su labios oímos el relato de su aventura.
Llamábase Salem Nasair, y era uno de los más ricos negociantes de Bagdad. Al regresar, pocos días antes, de Basora, con una gran caravana, fue atacado por una turba de persas, nómades del desierto. La caravana fue saqueada, pereciendo casi todos sus componentes a manos de los beduinos. Sólo se había salvado él, que era el jefe, ocultándose en la arena, entre los cadáveres de sus esclavos.
Al terminar el relato de sus desgracias, nos preguntó con voz
- ¿Tenéis, por casualidad, musulmanes, alguna cosa para comer?
- Tengo solamente tres panes –respondí.
- Yo traigo cinco –afirmó a mi lado el “Hombre que calculaba”.
- Pues bien –sugirió el sheik [1] -; juntemos esos panes y hagamos una sociedad única. Cuando lleguemos a Bagdad os prometo pagar con ocho monedas de oro el pan que coma.
Así hicimos, y al día siguiente, al caer la tarde, entramos en la célebre ciudad de Bagdad, la perla de Oriente.
Al atravesar una hermosa plaza, nos enfrentamos con un gran cortejo. Al frente marchaba, en brioso alazán, el poderoso Ibraim Maluf, uno de los visires [2] del califa en Bagdad.
Al ver el visir a sheik Salem Nasair en nuestra compañía, gritó, haciendo parar su poderosa escolta, y le preguntó:
- ¿Qué te ha pasado, amigo mío? ¿Por qué te veo llegar a Bagdad sucio y harapiento, en compañía de dos hombres que no conozco?
El desventurado sheik narró, minuciosamente, al poderoso ministro todo lo que le ocurriera en el camino, haciendo los mayores elogios respecto de nosotros.
- Paga sin pérdida de tiempo a esos dos forasteros, ordenó el visir.
Y sacando de su bolsa 8 monedas de oro las entregó a Salem Nasair, insistiendo:
- Quiero llevarte ahora mismo al palacio, pues el Comendador de los Creyentes desea, con seguridad, ser informado de esta nueva afrenta que lo beduinos practicaran, al matar a nuestros amigos saqueando caravanas dentro de nuestras fronteras.
- Voy a dejaros, amigos míos -; dijo Nasair- mas, antes deseo agradeceros el gran servicio que me habéis prestado. Y para cumplir la palabra, os pagaré el pan que tan generosamente me dierais.
Y dirigiéndose al “Hombre que calculaba” le dijo:
- Por tus cinco panes te daré cinco monedas.
Y volviéndose hacia mí, concluyó:
- Y a ti, “bagdalí”, te daré por los tres panes tres monedas.
Con gran sorpresa nuestra, el “Calculista” objetó, respetuosamente:
- ¡Perdón, oh sheik! La división hecha de ese modo será muy sencilla, mas no es matemáticamente exacta. Si yo di 5 panes, debo recibir 7 monedas; y mi compañero, “el Bagdad” que dio tres panes, solamente debe recibir una moneda.
- ¡Por el nombre de Mahoma! [3] –dijo el visir Ibraim, interesado vivamente por el caso-. ¿Cómo justificas, extranjero, tan disparatada forma de pagar 8 panes con 8 monedas? Si contribuiste con 5 panes, ¿por qué exiges 7 monedas? Y si tu amigo contribuyó con 3 panes, ¿por qué afirmas que debe recibir únicamente una moneda?
El “Hombre que calculaba” se aproximó al poderoso ministro y así le habló:
- Voy a probaros que la división de las monedas hecha en la forma propuesta por mí, es más justa y más exacta. Cuando, durante el viaje, teníamos hambre, sacaba un pan de la caja y lo partía en tres trozos, uno para cada uno de nosotros. Todos los panes que eran 8, fueron divididos, pues, en la misma forma. Es evidente, por lo tanto, que si yo tenía 5 panes, di 15 pedazos; si mi compañero tenía 3 panes, dio 9 pedazos. Hubo, así, un total de 24 pedazos, de los cuales cada uno de nosotros comió 8. Ahora bien; si de mis 15 pedazos comí 8, di, en realidad, 7; y mi compañero, que tenía 9 pedazos, al comerse 8, solo dio 1. Los 7 que di yo y el que suministró “el bagdalí” formaron los 8 que comiera el sheik Salem Nasair. Por consiguiente, es justo que yo reciba 7 monedas y mi compañero 1.
El gran visir, después de hacer los mayores elogios al “Hombre que calculaba”, ordenó que le fueran entregadas las 7 monedas, pues a mí sólo me tocaba, por derecho, 1. La demostración lógica y perfecta presentada por el matemático no admitía duda.
- Esa división – replicó entonces el “Calculista”- es matemáticamente exacta, pero a los ojos de Dios no es perfecta.
Y tomando las ocho monedas en la mano las dividió en dos partes iguales. Dióme una de ellas y se guardó la otra.
- Ese hombre es extraordinario –exclamó el visir-. No aceptó la división propuesta de las ocho monedas en dos partes de 5 y 3, en la que salía favorecido; demostró tener derecho a 7 y su compañero a 1, acabando por dividir las 8 monedas en dos partes iguales, que repartió con su amigo.
Y añadió con entusiasmo:
- ¡ Mac Alah ! [4] Ese joven, además de parecerme un sabio habilísimo en los cálculos de Aritmética, es bueno como amigo y generoso como compañero. Tómolo ahora mismo como secretario mío.
- Poderoso visir –le dijo el “Hombre que calculaba”-, veo que acabáis de hacer, con 29 palabras y un total de 145 letras, el mayor elogio que oí en mi vida, y yo, para agradecéroslo, me veo en la obligación de emplear 58 palabras en las cuales figuran nada menos que 290 letras, el doble de las vuestras [5] , precisamente. ¡Que Alah os bendiga y proteja!
Con estas palabras el “Hombre que calculaba” nos dejó a todos maravillados de su argucia e invencible talento de calculista.
Notas:
[1] Sheik – término respetuoso que se aplica, en general, a los sabios, religiosos y personas respetables por la edad o posición social.
[2] Visir – ministro – Califa - soberano musulmán. Los Califas decíanse sucesores de Mahoma.
[3] Mahoma nació en la Meca, en el año 571 y allí murió., en el año 632. Huérfano desde temprana edad fue criado primeramente por su abuelo y luego por un tío, ambos pobres; tuvo, pues, que emplearse como pastor, pasando a servir más tarde como guía para las caravanas, entrando, por fin, al servicio de una prima viuda y rica, llamada Cadidja.
[4] ¡Mac Alah! (Poderoso es Dios). Exclamación usual entre los musulmanes.
[5] En la traducción, esta relación de duplicidad solo se ha conservado aproximadamente.
TOMADO DE:http://www.librosmaravillosos.com/hombrecalculaba/capitulo04.html
LOS 35 CAMELLOS
Singular aventura acerca de 35 camellos que debían ser repartidos entre tres árabes. Beremís Samir efectúa una división que parecía imposible, conformando plenamente a los tres querellantes. La ganancia inesperada que obtuvimos con la transacción.
Hacía pocas horas que viajábamos sin interrupción, cuando nos ocurrió una aventura digna de ser referida, en la cual mi compañero Beremís puso en práctica, con gran talento, sus habilidades de eximio algebrista.
Encontramos, cerca de una antigua posada medio abandonada, tres hombres que discutían acaloradamente al lado de un lote de camellos.
Furiosos se gritaban improperios y deseaban plagas:
- ¡No puede ser!
- ¡Esto es un robo!
- ¡No acepto!
El inteligente Beremís trató de informarse de que se trataba.
- Somos hermanos –dijo el más viejo- y recibimos, como herencia, esos 35 camellos. Según la expresa voluntad de nuestro padre, debo yo recibir la mitad, mi hermano Hamed Namir una tercera parte, y Harim, el más joven, una novena parte. No sabemos sin embargo, como dividir de esa manera 35 camellos, y a cada división que uno propone protestan los otros dos, pues la mitad de 35 es 17 y medio. ¿Cómo hallar la tercera parte y la novena parte de 35, si tampoco son exactas las divisiones?
- Es muy simple –respondió el “Hombre que calculaba”-. Me encargaré de hacer con justicia esa división si me permitís que junte a los 35 camellos de la herencia, este hermoso animal que hasta aquí nos trajo en buena hora.
Traté en ese momento de intervenir en la conversación:
- ¡No puedo consentir semejante locura! ¿Cómo podríamos dar término a nuestro viaje si nos quedáramos sin nuestro camello?
- No te preocupes del resultado “bagdalí” –replicó en voz baja Beremís-. Sé muy bien lo que estoy haciendo. Dame tu camello y verás, al fin, a que conclusión quiero llegar.
Fue tal la fe y la seguridad con que me habló, que no dudé más y le entregué mi hermoso “jamal” [1] , que inmediatamente juntó con los 35 camellos que allí estaban para ser repartidos entre los tres herederos.
- Voy, amigos míos –dijo dirigiéndose a los tres hermanos- a hacer una división exacta de los camellos, que ahora son 36.
Y volviéndose al más viejo de los hermanos, así le habló:
- Debías recibir, amigo mío, la mitad de 35, o sea 17 y medio. Recibirás en cambio la mitad de 36, o sea, 18. Nada tienes que reclamar, pues es bien claro que sales ganando con esta división.
Dirigiéndose al segundo heredero continuó:
- Tú, Hamed Namir, debías recibir un tercio de 35, o sea, 11 camellos y pico. Vas a recibir un tercio de 36, o sea 12. No podrás protestar, porque también es evidente que ganas en el cambio.
Y dijo, por fin, al más joven:
- A ti, joven Harim Namir, que según voluntad de tu padre debías recibir una novena parte de 35, o sea, 3 camellos y parte de otro, te daré una novena parte de 36, es decir, 4, y tu ganancia será también evidente, por lo cual sólo te resta agradecerme el resultado.
Luego continuó diciendo:
- Por esta ventajosa división que ha favorecido a todos vosotros, tocarán 18 camellos al primero, 12 al segundo y 4 al tercero, lo que da un resultado (18 + 12 + 4) de 34 camellos. De los 36 camellos sobran, por lo tanto, dos. Uno pertenece, como saben, a mi amigo el “bagdalí” y el otro me toca a mí, por derecho, y por haber resuelto a satisfacción de todos, el difícil problema de la herencia [2] .
- ¡Sois inteligente, extranjero! –exclamó el más viejo de los tres hermanos-. Aceptamos vuestro reparto en la seguridad de que fue hecho con justicia y equidad.
El astuto beremís –el “Hombre que calculaba”- tomó luego posesión de uno de los más hermosos “jamales” del grupo y me dijo, entregándome por la rienda el animal que me pertenecía:
- Podrás ahora, amigo, continuar tu viaje en tu manso y seguro camello. Tengo ahora yo, uno solamente para mí.
Y continuamos nuestra jornada hacia Bagdad.
Hacía pocas horas que viajábamos sin interrupción, cuando nos ocurrió una aventura digna de ser referida, en la cual mi compañero Beremís puso en práctica, con gran talento, sus habilidades de eximio algebrista.
Encontramos, cerca de una antigua posada medio abandonada, tres hombres que discutían acaloradamente al lado de un lote de camellos.
Furiosos se gritaban improperios y deseaban plagas:
- ¡No puede ser!
- ¡Esto es un robo!
- ¡No acepto!
El inteligente Beremís trató de informarse de que se trataba.
- Somos hermanos –dijo el más viejo- y recibimos, como herencia, esos 35 camellos. Según la expresa voluntad de nuestro padre, debo yo recibir la mitad, mi hermano Hamed Namir una tercera parte, y Harim, el más joven, una novena parte. No sabemos sin embargo, como dividir de esa manera 35 camellos, y a cada división que uno propone protestan los otros dos, pues la mitad de 35 es 17 y medio. ¿Cómo hallar la tercera parte y la novena parte de 35, si tampoco son exactas las divisiones?
- Es muy simple –respondió el “Hombre que calculaba”-. Me encargaré de hacer con justicia esa división si me permitís que junte a los 35 camellos de la herencia, este hermoso animal que hasta aquí nos trajo en buena hora.
Traté en ese momento de intervenir en la conversación:
- ¡No puedo consentir semejante locura! ¿Cómo podríamos dar término a nuestro viaje si nos quedáramos sin nuestro camello?
- No te preocupes del resultado “bagdalí” –replicó en voz baja Beremís-. Sé muy bien lo que estoy haciendo. Dame tu camello y verás, al fin, a que conclusión quiero llegar.
Fue tal la fe y la seguridad con que me habló, que no dudé más y le entregué mi hermoso “jamal” [1] , que inmediatamente juntó con los 35 camellos que allí estaban para ser repartidos entre los tres herederos.
- Voy, amigos míos –dijo dirigiéndose a los tres hermanos- a hacer una división exacta de los camellos, que ahora son 36.
Y volviéndose al más viejo de los hermanos, así le habló:
- Debías recibir, amigo mío, la mitad de 35, o sea 17 y medio. Recibirás en cambio la mitad de 36, o sea, 18. Nada tienes que reclamar, pues es bien claro que sales ganando con esta división.
Dirigiéndose al segundo heredero continuó:
- Tú, Hamed Namir, debías recibir un tercio de 35, o sea, 11 camellos y pico. Vas a recibir un tercio de 36, o sea 12. No podrás protestar, porque también es evidente que ganas en el cambio.
Y dijo, por fin, al más joven:
- A ti, joven Harim Namir, que según voluntad de tu padre debías recibir una novena parte de 35, o sea, 3 camellos y parte de otro, te daré una novena parte de 36, es decir, 4, y tu ganancia será también evidente, por lo cual sólo te resta agradecerme el resultado.
Luego continuó diciendo:
- Por esta ventajosa división que ha favorecido a todos vosotros, tocarán 18 camellos al primero, 12 al segundo y 4 al tercero, lo que da un resultado (18 + 12 + 4) de 34 camellos. De los 36 camellos sobran, por lo tanto, dos. Uno pertenece, como saben, a mi amigo el “bagdalí” y el otro me toca a mí, por derecho, y por haber resuelto a satisfacción de todos, el difícil problema de la herencia [2] .
- ¡Sois inteligente, extranjero! –exclamó el más viejo de los tres hermanos-. Aceptamos vuestro reparto en la seguridad de que fue hecho con justicia y equidad.
El astuto beremís –el “Hombre que calculaba”- tomó luego posesión de uno de los más hermosos “jamales” del grupo y me dijo, entregándome por la rienda el animal que me pertenecía:
- Podrás ahora, amigo, continuar tu viaje en tu manso y seguro camello. Tengo ahora yo, uno solamente para mí.
Y continuamos nuestra jornada hacia Bagdad.
Notas:
[1] Jamal – una de las muchas denominaciones que los árabes dan a los camellos.
[2] Este curioso resultado proviene de ser la suma
Habiendo aumentado el dividendo a 36, el sobrante resultó entonces 1/18 de 36, o sea los dos camellos referidos en el reparto hecho por el “Hombre que calculaba”.
1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18
menor que la unidad. De modo que el reparto de los 35 camellos entre los tres herederos no se habría hecho por completo; hubiera sobrado 1/18 de 35 camellos.Habiendo aumentado el dividendo a 36, el sobrante resultó entonces 1/18 de 36, o sea los dos camellos referidos en el reparto hecho por el “Hombre que calculaba”.
TOMADO DE:http://www.librosmaravillosos.com/hombrecalculaba/capitulo03.html
jueves, 1 de mayo de 2014
CUATRO PROBLEMAS INTERESANTES II
5) Colocar los números impares del 1 al 31, ambos inclusive, y los números 20,32,34,38 y 40 en los 20 vértices de los 4 pentágonos y en el centro de la tela de araña, de manera que la suma de los 5 números de los vértices de cualquier pentágono sea igual a la suma de los cinco números de cualquier radio e igual a 100.
No caben más posibilidades, pues si x=9, sería y=2, z=1, y las condiciones impuestas no se cumplen.
Nótese que se pide contar sólo los cubitos a través de cuyo interior pasa la diagonal, aquellos que sólo son tocados en una arista o un vértice no cuentan.
SOLUCIÓN
6) Tres estudiantes, Antonio, Berta y Carlos, participan en una serie de exámenes. En cada prueba, el que queda primero recibe x puntos, el segundo recibe y puntos y el tercero z puntos, donde x, y, z, son números enteros mayores que cero tales que x > y > z. No hay empates.
En total, Antonio acumuló 20 puntos, Berta 10 puntos y Carlos 9 puntos. Antonio quedó el segundo en el exámen de Algebra.
¿Quién quedó segundo en el exámen de geometría?.
En total, Antonio acumuló 20 puntos, Berta 10 puntos y Carlos 9 puntos. Antonio quedó el segundo en el exámen de Algebra.
¿Quién quedó segundo en el exámen de geometría?.
SOLUCIÓN
El número total de puntos acumulado en las pruebas es 20+10+9 = 39 puntos. Como 39 = 13*3, la suma x+y+z debe valer uno u otro factor. Descartemos el 3, pues entonces debería ser x=2; y=1; z=0, en contra de lo supuesto. Por tanto x+y+z = 13. Puesto que se han celebrado tres pruebas, el mejor puntuado no superará los máximos de cada una, es decir que 3x>=20. Luego x>=7. Análogamente 3z<=9 o sea que z<=3.
Si x=7, la puntuación de A exigiría que y=6, lo que no puede ser (pues entonces z=0). Probemos con x=8. Entonces y=4 y z=1. Las pruebas se desarrollaron así:
Si x=7, la puntuación de A exigiría que y=6, lo que no puede ser (pues entonces z=0). Probemos con x=8. Entonces y=4 y z=1. Las pruebas se desarrollaron así:
| PRUEBA | A | B | C |
| 1 | 8 | 1 | 4 |
| 2 | 4 | 8 | 1 |
| 3 | 8 | 1 | 4 |
No caben más posibilidades, pues si x=9, sería y=2, z=1, y las condiciones impuestas no se cumplen.
7) Un paralelepípedo de dimensiones 150 x 324 x 375 se construye pegando cubitos de 1 x 1 x 1. Una diagonal interior del sólido pasa a través del interior de ¿cuántos cubitos unitarios?.
Nótese que se pide contar sólo los cubitos a través de cuyo interior pasa la diagonal, aquellos que sólo son tocados en una arista o un vértice no cuentan.
SOLUCIÓN
Empecemos por el caso bidimensional (rectángulo de lados m x n), y contemos las celdas que va atravesando la línea. Cada vez que atraviesa un plano, se añade una celda al cómputo, salvo si atraviesa dos o más a la vez. Al final, esto se habrá producido en un número de casos igual al máximo común divisor de m y n, por lo que fácilmente concluímos que:
N = m+n-mcd(m,n)
En el caso de tres es análogo. Cada vez que se atraviesa una arista deja de añadirse una celda al cómputo, y esto ocurre para los mcd de (m,n), de (m,p) y de (n,p). Pero cuando pasamos por un nudo de la red estamos restando tres unidades cuando sólo deberíamos restar 1, por lo que hay que restablecer las casillas indebidamente restadas, resultando al final:
N = m+n+p-mcd(m,n)-mcd(m,p)-mcd(n,p)+mcd(m,n,p)
N = m+n-mcd(m,n)
En el caso de tres es análogo. Cada vez que se atraviesa una arista deja de añadirse una celda al cómputo, y esto ocurre para los mcd de (m,n), de (m,p) y de (n,p). Pero cuando pasamos por un nudo de la red estamos restando tres unidades cuando sólo deberíamos restar 1, por lo que hay que restablecer las casillas indebidamente restadas, resultando al final:
N = m+n+p-mcd(m,n)-mcd(m,p)-mcd(n,p)+mcd(m,n,p)
8)Averiguar sin ayuda de calculadora el valor de la expresión:
(10 + 324)4.(22 + 324)4.(34 + 324)4.(46 + 324)4.(46 + 324)4.(58 + 324)4
x = -----------------------------------------------------------------------
(4 + 324)4.(16 + 324)4.(28 + 324)4.(40 + 324)4.(52 + 324)4
SOLUCIÓN
Todo numéro de la forma:
descomponiendo numerador y denominador de esta forma, y eliminando los factores comunes nos queda:
a + 324 = [a(a-6)4+18][a(a+6)+18]
x = (58.64+18) / (-2.4+18) = 373
TOMADO DE:http://www.mensa.es/juegosmensa/e006010.html
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