IGUALDAD DE TRIÁNGULOS

EL MARAVILLOSO TRIÁNGULO ARITMÉTICO

INTRODUCCIÓN Y BIOGRAFÍAS DE LOS MATEMÁTICOS RELACIONADOS

   Dentro de un ciclo de jornadas matemáticas de una Universidad catalana se daba una conferencia titulada "Las Matemáticas durante el Renacimiento", el ponente comenzó su exposición diciendo:
        - “U; u, u; u, ...       *(en catalán u = uno)
    De pronto uno de los asistentes exclama en voz suficientemente alta como para ser oído por la mesa:
        - ¡Vaya, nos ha tocado un “tartajas”!
    Entonces el ponente, con mucha calma, retomó su conferencia:
        - “Bien, como las iba diciendo, u; u u; u dos u; u tres tres u; ... algunos de ustedes ya se habrán dado cuenta que no se trata de un “tartajas” sino de Tartaglia, más concretamente del archiconocido triángulo de Tartaglia, atribuido también a Pascal o, en países asiáticos, a Yang Hui. Sin duda, se trata de una de las joyas de la matemática, datado durante el Renacimiento en Europa, con el que quería comenzar esta exposición ...”

   Anécdotas aparte, comenzaré este capítulo dedicado al mencionado triángulo aritmético, término con el cual también es conocido, debido a las diversas paternidades que le son atribuidas, con una breve referencia histórica de los tres matemáticos con el que está asociado: 
    · Niccolo Fontana más conocido como Tartaglia, nació en Brescia en el año 1.499, y murió en Venecia el 13 de diciembre de 1.557. Era hijo de un humilde cartero. 
    A los doce años, sobrevivió milagrosamente cuando en 1.512 los franceses invadieron su villa provocando una monstruosa matanza, aunque las horribles cicatrices que le quedaron en la cara le obligaron a llevar barba toda su vida adulta, además, al ser afectadas sus cuerdas vocales, hablaba con dificultades y de aquí el sobrenombre de Tartaglia, que quiere decir tartamudo en italiano.
    Fue el primer matemático en idear un procedimiento general de resolución de las ecuaciones de tercer grado, manteniendo en secreto sus métodos. 
    Cardano, otro gran matemático italiano de la época, le engañó prometiéndole que él también los mantendría en secreto, sin embargo, faltó a su palabra de honor y los publicó en su obra Ars Magna. 
    Tartaglia publicó en 1.537 su primer libro sobre teoría balística.

    · Blaise Pascal nació en Clermont el día 19 de agosto de 1.623.
    Era hijo de un insigne magistrado y estudioso de problemas físicos y matemáticos, recibió de éste su primera formación. En 1.631 se trasladaron a París y frecuentaron el círculo de intelectuales organizado por Mersenne. Pronto destacó por sus investigaciones en geometría y física. A los 15 años publicó "Ensayo sobre las cónicas".
    Sobre 1.646 se adhirió al jansenismo, hecho que marcó para él, el comienzo de sus preocupaciones por el estudio del hombre, pero sin abandonar el campo científico. Desarrolló la teoría de las combinaciones, creó las bases del cálculo de probabilidades, y estudió la cicloide.
    En física, publicó la obra “Nuevos experimentos entorno al vacío” (1.647) y elaboró el principio que lleva su nombre y que dice: Toda presión ejercida sobre un líquido, se transmite por igual a todos los puntos de su masa y actúa perpendicularmente sobre las paredes del recipiente que lo contiene.
    Publicó un tratado sobre el tema que nos ocupa "Triángulo aritmético" (1.654)
    En el año 1.654 siente una profunda religiosidad que marcará el resto de su existencia y se une al grupo de los solitarios de Port-Royal, un grupo laico que vivía dedicado a la meditación.
    En 1.656 escribe, en contra de la ortodoxia, sus cartas “Provinciales” que fueron condenadas por la Iglesia.
    En 1.658 publica su obra póstuma “Pensamientos”.
    Debilitada su salud por una larga enfermedad murió el 19 de agosto de 1.662 en París, justo el día de su 39º aniversario, reconciliado con la Iglesia.

    · Yang Hui era un oficial menor chino que escribió dos libros, datados en 1.261 y en 1.275.
    En ellos, utiliza las fracciones decimales (mucho antes que en Occidente), también aparece documentado el triángulo aritmético.
    La referencia más antigua al triángulo aritmético es atribuida a Omar Khayyam, un poeta, matemático y astrónomo persa que, probablemente, precedió a Yang Hui, pero no se tiene certeza de la fecha exacta en que transcurrió su vida.

CARACTERÍSTICAS Y PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO ARITMÉTICO

    Como muchos de vosotros ya sabréis, este triángulo se genera a partir de colocar el número 1 en su extremo superior y, a partir de aquí, las sucesivas filas se construyen colocando un 1 en cada esquina, el resto de casillas es igual a la suma de los dos números que tiene justo encima –observad la figura- en una infinita serie de unos laterales y de sumatorios de casillas que producen un incesante aumento de los números que lo componen.
   Pues bien, esta figura, que podría parecer para los neófitos un simple entretenimiento de cálculo, esconde una diversidad de propiedades y curiosidades tan grande que lo convierten en un pequeño universo matemático en sí mismo y una herramienta de inmensa utilidad en el campo numérico, etc.
    Los matemáticos de todas las épocas, desde su descubrimiento, han puesto sus ojos en él y han buscado todo tipo de sorprendentes relaciones, utilidades y recursos.
    Y a mí, que también me ha fascinado siempre este triángulo, me ha llevado a hacer una pequeña investigación sobre él, fruto de la cual he hallado algunos aspectos interesantes, aparte de los habitualmente estudiados.

   Comenzaré por partes, e iré enumerando y explicando sus propiedades más características:
    - El número 1 de l’extrem superior del triángulo se considera como la fila cero.

    - Cada número se genera a partir de la suma de los dos números que tiene encima, como ya dije.
    Así, por ejemplo, los dos unos de la fila 1 sumados forman el 2 central de la segunda fila.
    La tercera fila se forma a partir del 1 + 2 = 3  y  2 + 1 = 3. La cuarta es 1 + 3 = 4, 3 + 3 = 6, etc.

    - Todas las filas muestran una estructura simétrica, las de orden par tienen un número central único, las de orden impar tienen dos números idénticos en el centro. La suma de cada semifila impar es, obviamente, igual.

    - La suma de los números de cada fila es igual a 2 elevado al número de la fila.
    La cuarta fila, por ejemplo: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2⁴. La sexta 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 2⁶

    - Cada fila expresa las sucesivas potencias del número 11, las cuatro primeras de forma clara, y a partir de la quinta fila, si una casilla está formada por más de una cifra, efectuamos una sencilla suma llevándonos alguna cifra. Ejemplos:

11⁰ = 1, 11¹ = 11, 11² = 121, 11³ = 1.331, 11⁴ = 14.641     Ahora comienzan los cambios: 11⁵sería 15(10)(10)51, pero hacemos la suma llevándonos las decenas y obtenemos: 11⁵ = 161.051
11⁶ = 16(15)(20)(15)61 => 11⁶ = 1.771.561, etc.

    - Si nos situamos en las filas correspondientes a los números primeros observaremos que se forman triángulos invertidos con sus múltiplos siguiendo un patrón infinito y maravilloso que he intentado reflejar en esta ilustración.

    El número 11, aunque no está completo en el gráfico, os garantizo que también lo forma y así los sucesivos números primeros.
    Es muy curioso que este patrón sólo se presente en los números primeros y, en cambio, no suceda con el resto de números, observad como falla con los números pares o con el 9, el 15, etc.
    Podríais hallar una razón o demostración para esta propiedad.  (Demostración)
    - La suma de los números unidos por líneas rojas, y situados a salto de caballo, forman la conocida serie de Fibonacci.
    Veámoslo: 1, 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 1 + 3 + 1 = 5, 3 + 4 + 1 = 8, 1 + 6 + 5 + 1 = 13, 4 + 10 + 6 + 1 = 21, etc.

    - Cada fila determina los coeficientes que se obtienen desarrollando las sucesivas potencias del binomio:

(a + b)ⁿ         Por ejemplo, la segunda fila está compuesta por las cifras 1, 2, 1 y estos son, precisamente, los coeficientes del desarrollo de:    (a + b)² = a² + 2ab + b²
        La fila 3 está formada por los valores 1, 3, 3, 1, que determinen, por tanto, los coeficientes del desarrollo de:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³         Generalizando el desarrollo del binomio:
(a + b)ⁿ = k₀aⁿ + k₁a^n-1b +  k₂a^n-2b² + k₃a^n-3b³ + ... + k_n-1ab^n-1 + k_nbⁿ         k_n son los coeficientes que obtenemos en el triángulo. De hecho, k₀ = k_n = 1, k₁ = k_n-1 = n

    - Cada término del triángulo se puede expresar como el resultado del número combinatorio:

        número de combinaciones posibles de un conjunto de n elementos tomados en grupos de m elementos. 
        (n! se lee "n factorial" y se calcula: n! = n·(n - 1)·(n - 2)·... ·2·1.  (por ejemplo,  5! = 5·4·3·2·1 = 120) 
        En el triángulo aritmético n es, también, el número de la fila y m el número de la columna. 
        Por eso los números del triángulo reciben también el nombre de números combinatorios. 
        Por ejemplo, la tercera fila está formada por los números combinatorios: C_3,0 = 1 ,C_3,1 = 3, C_3,2 = 3, C_3,3 = 1 
        En la cuarta fila observamos que: C_4,0 = 1 ,C_4,1 = 4, C_4,2 = 6, C_4,3 = 4, C_4,4 = 1, etc. 
        El número combinatorio C_n,m  representa el número de grupos diferentes de m elementos que se pueden formar a partir de n objetos, combinaciones de n elementos tomados de m en m. 
        Por ejemplo, si queremos calcular cuantos grupos de 4 miembros se pueden formar dentro de un conjunto de 10 personas, tenemos que el resultado es C_10,4; combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4. 
        Esto se puede calcular con el algoritmo anterior o bien buscando en el triángulo aritmético: décima fila, cuarto término, dónde obtenemos el valor 210 que es el resultado exacto.

Analizaré ahora las diagonales formadas desde la parte superior (con colores en la ilustración).

    - La segunda diagonal, situada al lado de la diagonal formada por los unos exteriores, contiene la evidente sucesión de números naturales.

    - La tercera diagonal, coloreada en amarillo, determina la serie de números triangulares:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, etc.         El algoritmo que generan estos números triangulares es: a_n  = n · (n + 1) / 2 
        La serie de los números triangulares presenta muchas curiosidades o propiedades interesantes, como: 
        · La suma de dos términos consecutivos a_n  y  a_n-1 de esta serie es igual al cuadrado del número n. 
          Por ej.: 3 + 1 = 4, 6 + 3 = 9, 10 + 6 = 16, etc.

          De hecho, demostrarlo es bastante sencillo:

(n + 1) · n / 2 + n · (n - 1) / 2 = (n² + n + n² - n) / 2 = 2n² / 2 = n²         · El resto de dos términos consecutivos a_n  y  a_n-1 de la serie es igual al propio número n. 
          Por ejemplo: 3 - 1 = 2, 6 - 3 = 3, 10 - 6 = 4, etc. De manera análoga a la anterior demostración tenemos que:
(n + 1) · n / 2 - n · (n - 1) / 2 = (n² + n - n² + n) / 2 = 2n / 2 = n         · La diferencia de los cuadrados de dos términos consecutivos a_n²  y  a_n-1² de esta serie es igual al cubo del número n. Por ejemplo: 3² - 1² = 8 = 2³, 6² - 3² = 27 = 3³, 21²- 15² = 216 = 6³, etc.
[(n + 1) ·n]² / 2² – [n·(n - 1)]² / 2² = (n⁴ + 2n³ + n² – n⁴ + 2n³- n²) / 4 = 4n³ / 4 = n³

    Es decir, también los números cúbicos aparecen en el triángulo aritmético si sabemos buscarlos.

      Si tomamos los números de esta tercera diagonal de forma alterna, aparecen los números hexamórficos:

1, 6, 15, 28, 45, 66, ...

    - En la cuarta diagonal, coloreada en verde y formada por la serie: 1, 4, 10, 20, 35, etc., si restamos los números haciendo saltos dobles (con el antepenúltimo) aparece la serie de números cuadrados, o sea:

1 - 0 = 1, 4 - 0 = 4, 10 - 1 = 9, 20 - 4 = 16, 35 - 10 = 25, 56 - 20 = 36, 84 - 35 = 49, 120 - 56 = 64, etc.     Esto se puede demostrar sin muchas dificultades. (Demostración cuadrados) 
    Además esta diagonal es la serie de los números tetramórficos.

    - En la quinta diagonal, coloreada en rojo y compuesta por la serie: 1, 5, 15, 35, 70, 126, etc., si restamos los números efectuando saltos triples aparece la suma del cuadrados mágicos de orden igual al lugar que ocupa el número a la serie, es decir:
    15 - 0 = 15 (orden 3, tercer nº de la serie),  35 - 1 = 34(orden 4, cuarto nº.), 70 - 5 = 65 (orden 5, quinto nº)

126 - 15 = 111 (orden 6, 6º nº),  210 - 35 = 175 (orden 7, 7º nº),  330 - 70 = 260 (orden 8, 8º nº), etc.     Si os interesa podéis ver su demostración, pero prefiero situarla aparte para no cansaros en demasía.
(Posible novedad en el triángulo aritmético)

    - Se han estudiado además otras propiedades numéricas del triángulo, criterios de divisibilidad, algoritmos para calcular los restos de las divisiones, etc.

    Analizaré ahora algunas relaciones que existen entre los números de las columnas centrales del triángulo aritmético, lo que yo denomino la columna vertebral del mencionado triángulo, y en la que he encontrado dos propiedades muy importantes:
    - Si dividimos la suma de cada fila por el valor central, en el caso de las filas de orden par, o por uno de los dos números centrales, en el case de las filas de orden impar, obtenemos valores que tienden a:

    La suma de cada fila, como ya hemos visto, es igual a 2ⁿ, mientras que, en forma de números combinatorios, el número central de cada fila es igual a n sobre n / 2. 
    Sí, increíblemente nos hallamos con el número p presente en el triángulo aritmético, a partir de una simple división de dos valores enteros como son la suma de cada fila y la cifra central. ¡¡Maravillas insondables de las matemáticas!! 

    - Si nos fijamos sólo en los valores centrales de las filas de orden par y hacemos las sucesivas divisiones entre cada término y su anterior, comenzando desde el extremo superior, observaremos que estos cocientes aumentan progresivamente y tienden a un valor finito.
    Pues bien, calculando el límite cuando el orden de las filas tiende a infinito obtenemos que la razón tiende a 4. 
    Si os interesa os ofrezco la demostración de esta propiedad.
(Posible novedad en el triángulo aritmético)     Si analizamos el resultado obtenido veremos que es muy lógico que tienda a 4. 
    Las filas de orden impar tienen dos valores centrales idénticos que, por tanto, generan un valor doble que es, precisamente, el número central de las filas de orden par. Este es siempre mayor que sus dos vecinos, pero que cuando avanzamos hacia a las filas de orden infinito, los valores centrales tienden a igualarse dando lugar a un aumento progresivo de las divisiones.
    Si el salto de las filas de orden impar a par tiene por razón 2, las otras también tienden a 2 y, entonces, la razón del salto entre dos filas pares consecutivas tiende a 2 por 2, o sea, a 4.
NÚMEROS TRIANGULARES

    Los números triangulares se generan geométricamente formando triángulos con aristas que aumenten progresivamente su número de puntos, un ejemplo fácil de imaginar es formar triángulos con monedas o con bolas situadas una encima de la otra.
    Así necesitaríamos 1 bola para formar un triángulo de una sola fila, 3 para uno de dos filas, 6 para uno de tres filas, 10 para uno de cuatro, etc.
    El algoritmo que genera estos números triangulares es:  a_n  = n · (n + 1) / 2
    Los Pitagóricos adoraban los números triangulares, incluso, antiguamente tenían un cierto valor místico.
    Tienen muchas y muy curiosas propiedades, veamos varias antes de volver al tema:
        · Cada número al cuadrado es igual a ocho veces un número triangular más 1.
        · Todo número triangular se puede expresar como la suma de tres números triangulares. (Gauss)
        · Es posible hallar una infinitud de números triangulares que multiplicados entre sí, su resultado
        sea un número al cuadrado., etc.

NOMBRES HEXAMÓRFICOS o HEXAGONALES

    Son los números generados, geométricamente, al formar hexágonos contenidos progresivamente unos dentro de los otros. El número de puntos necesarios para formarlos son los números hexamórficos.
    El algoritmo que permite calcularlos es:  H(n) = n · (2n - 1)
    La serie obtenida es: 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, etc.
    Imaginemos un hexágono de 6 puntos, uno por arista, dentro de uno mayor de 2 puntos por arista (comparten algunos puntos en común) contenido en el interior de uno de 3 puntos por arista, etc.

SERIE DE FIBONACCI

    Leonardo de Pisa, hijo de Bonacci, y más conocido por Fibonacci, matemático del siglo XIII publicó la serie numérica que lleva su nombre y que, comenzando por 1, 1, se genera sumando los dos números anteriores de la serie:

1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13, etc.Estos son los primeros veintiún términos de la serie de Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4081, 6665, 10746
DEMOSTRACIONES
DEMOSTRACIÓN de los TRIÁNGULOS GENERADOS por NÚMEROS PRIMOS

    Si utilizamos la expresión general de las diversas cifras del triángulo aritmético en función de los números combinatorios veremos más clara esta cuestión.
    Cada término del triángulo se puede expresar como el resultado del número combinatorio:

    número de combinaciones posibles de un conjunto de n elementos tomados en grupos de m elementos. En el triángulo aritmético n es, también, el número de la fila y m el número de la columna. 
    Cuando hablamos de las filas de los números primeros, la n representa esta cifra y sabemos, en este caso, que no es divisible por ningún factor del denominador, (sólo por ny por 1). 
    Teniendo en cuenta que el resultado de los números combinatorios es siempre un número natural, deducimos que el denominador (m – n)! · m! ha de ser divisor de (n - 1)!, dado que de n no puede serlo, por tratarse de un número primero, para todos los valores de m , es a decir, tota la fila completa. 
    Esto implica que (n - 1)! / (m – n)! · m! = p  ( dónde p es un valor entero necesariamente) 
    Por tanto, y dado que n! = n·(n - 1)!, obtenemos que n! / (m – n)! · m! = p·n 
    O sea, todos los números de una fila n, dónde n es un número primero, son múltiples de este número primero. Y todos los valores inferiores del triángulo generados por la suma de dos múltiples de n también lo serán, la cual genera el triángulo invertido de los números primeros dentro del triángulo.
DEMOSTRACIÓN DE LA SERIE DE NÚMEROS AL CUADRADO DE LA CUARTA DIAGONAL

    Para  hacer esta demostración expresaré los valores de la diagonal en forma de números combinatorios (n sobre m), la cual me permitirá operar y simplificar rápidamente.
    Observamos que en esta diagonal para cada valor n, tenemos que m = n – 3, por ejemplo,
el 4 es n = 4, m = 1, el 10 es n = 5, m = 2, o el 20 es n = 6, m = 3, etc.
    Si restamos dos términos de esta diagonal separados por dos saltos y expresados en forma de números combinatorios, obtenemos:

Operando el numerador queda: n·(n² + 3n + 2) – [n(n² - 3n + 2)] = n · 6n = 6n²
Dado que 3! = 6, entonces queda 6n² / 6 = n²     Es a decir, restando a un valor de la diagonal el antepenúltimo, queda un número al cuadrado como se quería demostrar.
DEMOSTRACIÓN de la APARICIÓN de la SUMA de los CUADRADOS MÁGICOS
en la QUINTA DIAGONAL del TRIÁNGULO ARITMÉTICO

    Como hemos visto en el capítulo sobre los cuadrados mágicos, el algoritmo para obtener la suma mágica S(x) de files, columnas y diagonales de un cuadrado mágico de orden n, compuesto por n² números naturales, es:

S(x) =  n·(n² + 1) / 2

    Para  hacer esta demostración expresaré los valores de la diagonal en forma de números combinatorios (n sobre m), la cual me permitirá operar y simplificar rápidamente.
    Observemos que en esta diagonal para cada valor n, tenemos que m = n – 4, por ejemplo, el 5 es n = 5, m = 1, el 15 es n = 6, m = 2, o el 35 es n = 7, m = 3, etc.
    Si restamos dos términos de esta diagonal separados por tres lugares o saltos obtendremos:

Operando el numerador: n·(n³ + 6n² + 11n + 6) – [n·(n³ - 6n² + 11n - 6)] = n(12n² + 12)
como que 4! = 24, el resultado del cociente será:
n·(n² + 1) / 2
Resultado que coincide con el algoritmo de la suma mágica. DEMOSTRACIÓN DEL LÍMITE DE LA RELACIÓN ENTRE VALORES CENTRALES

    Los valores centrales de un fila n cualquiera ocupen el lugar n / 2, para simplificar la demostración asignaré al número de fila el valor 2n i, por tanto, al término central la posición n.
    La razón entre los dos números centrales de dos filas de orden par consecutivas, en forma de números combinatorios, es:

C_2n,n : C_2n-2,n-1 = (2n! / n!²) : [(2n – 2)! / (n - 1)!²] = 2n! · (n – 1)!² / n!² · (2n – 2)! =     Simplificando los factoriales obtenemos: = 2n · (2n – 1) / n²  = 2 · (2n – 1) / n     Finalmente aplicando el límite cuando n tiende a infinito, hallamos que:
TOMADO DE: http://www.xtec.cat/~bfiguera/curioso8.html#demquadrat

Una ilusión matemática

Permítanme que comience haciéndoles una pregunta: de los dos segmentos que aparecen en la figura de la derecha, ¿cuál es el más largo?

A primera vista parece que el segmento mayor es el B, pero si prestan atención y se fijan bien podrán comprobar como por muchas vueltas que le den el segmento B sigue pareciendo mayor que el A.

Sin embargo, por extraño que les parezca, lo que está llegando a sus ojos es una imagen en la que aparecen dos segmentos que tienen exactamente la misma longitud (compruébenlo aquí),  aunque por culpa de las flechas dibujadas en los extremos lo que vemos es que el segmento de arriba es menor que el de abajo. Y lo más curioso es que seguiremos viéndolo así aunque sepamos que estamos equivocados.

Este conocido ejemplo de ilusión óptica viene como anillo al dedo para ilustrar un curioso problema que nuestro cerebro no es capaz de interpretar correctamente, por lo que podríamos decir que se trata de una especie de ilusión matemática.

Se trata de comparar el tamaño de dos conjuntos muy concretos, en el sentido de averiguar cuál de ellos tiene más elementos. El primer conjunto será N, el de los números naturales, que son aquellos con los que podemos contar cosas: 1, 2, 3, 4, … , que como supongo que sabrán tiene una cantidad infinita de elementos. El segundo conjunto es el formado por todas las parejas de números naturales que podamos hacer, es decir, el (1,1), el (1,2), o el (84,123312) por ejemplo, que obviamente también es un conjunto infinito y que llamaremos NxN. ¿Cuál de los dos conjuntos tiene más elementos?

Veamos que nos dice la intuición. Si llamamos ω al número de elementos del conjunto de los números naturales, como cada número natural aparece en NxN emparejado con todos los demás parece lógico pensar que este segundo conjunto tiene bastantes más elementos que el primero, tantos como resulte de multiplicar ωxω. Es decir, nuestro cerebro nos dice que NxN debe tener ω veces más elementos que N, y por tanto tiene que ser muchísimo mayor.

Sin embargo podemos demostrar fácilmente no sólo que esto no es cierto, sino que ademásambos conjuntos tienen exactamente el mismo número de elementos. Si ordenamos los elementos de NxN en una tabla donde en la primera fila aparezcan los elementos que empiezan con el 1, en la segunda los que lo hacen con el 2, etcétera; y disponemos las columnas de la misma manera, podemos escoger los elementos de NxN siguiendo el orden que indican las flechas:

 

Comprobamos entonces cómo los elementos de NxN pueden ordenarse de tal forma que (1,1) es el 1º, (2,1) es el 2º, (1,2) es el tercero, (1,3) el cuarto y así sucesivamente. Esto significa quepodemos contar todos elementos de NxN, y como contar es asignar números naturales, a cada elemento de NxN se le puede asignar otro de N. Por tanto, al contrario de lo que pensábamos, ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos, o dicho de otro modo ωxω=ω.

Así, aunque nuestro cerebro nos dice que ambos conjuntos no son iguales, la lógica nos demuestra que lo son. Y por mucho que intenten convencerse de ello, no es posible hacerse una imagen en la cabeza de cómo pueden tener los mismos elementos dos conjuntos cuando uno de ellos se construye a partir de los ladrillos del otro, aunque sí se pueda comprender la lógica de la demostración.

En definitiva este problema nos muestra que el cerebro humano es imperfecto, hasta el punto de que nuestra imaginación sí tiene límites. Y si no se lo creen, fíjense en las películas que ha sacado Hollywood en los últimos diez años y después me cuentan.

Javier Oribe

TOMADO DE: http://www.hablandodeciencia.com/articulos/2011/10/07/una-ilusion-matematica/

PRODUCTO NOTABLE (+lista de reproducción)

Los Puntazos de Pitágoras

por Miguel Olvera

Pitágoras (siglo VI a .C.) es conocido por todos por el famoso teorema que lleva su nombre (en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos) pero, pese a llevar su nombre, no fue él quien lo descubrió, pues ya era conocido por los babilonios.

En la escuela pitagórica fundada por Pitágoras en Crotona (Italia) se dedicaban por igual a la ciencia, a la filosofía, a la mística y a la política; Pitágoras además era sacerdote de ritos arcaicos y su escuela puede clasificarse como secta. Los pitagóricos convirtieron al “número” en esencia de todas las cosas; toda forma, estructura y, por lo tanto, todo objeto natural, tenía que poseer su propio número característico. El mismo Dios era numérico. Este misticismo que daban los pitagóricos a los números se vino abajo cuando descubrieron la existencia de números irracionales, es decir, la existencia de números que no eran enteros ni fraccionarios, únicos números que conocían. Parece ser que el descubrimiento se ocultó. Pero sin entrar más en dicha faceta, lo cierto es que se les puede atribuir el nacimiento de la matemática como ciencia deductiva.

Los pitagóricos no se interesaban por los métodos de cálculo, sino que cultivaban la parte más teórica o artística. A ellos se les debe la clasificación de los números (hablamos sólo de números enteros y positivos), según diversos criterios, en pares e impares, perfectos, amigos, triangulares, pentagonales, poligonales…

* Par: un número que es divisible entre 2

* Impar: el que no es par

* Perfecto: aquel número que es la suma de sus divisores excluyendo al propio número. Te damos aquí algunos números perfectos, pero tú puedes buscar dos menores que treinta que también lo son.

496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +...+ 30 + 31

8128 = 1 + 2 + 3 +...+ 126 + 127

El número 2²¹⁶⁰⁹⁰· (2²¹⁶⁰⁹¹ - 1) es perfecto, y tiene mas de cien mil dígitos

* Amigos: dos números se llaman amigos cuando cada uno de ellos es igual a la suma de los divisores del otro, sin incluir a los mismos números entre dichosdivisores. No son fáciles de hallar ya que entre los números hay bastantes problemillas y es complicado encontrar dos que se lleven bien. Fuera bromas tepresentaremos algunos:

Los números 220 y 284 son amigos. Los divisores de 220 son: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 y 220, si los sumamos (excluyendo 220) da 284. Los divisores de 284 son: 1, 2, 4, 71, 142 y 284, si los sumamos (excluyendo 284) da 220. Este par de números amigos era conocido por los griegos. Otros números amigos son 17296 y 18416; y 9363584 y 9437056.

Para entender mejor otras clasificaciones representaremos los números mediante puntos, como ellos hacían, y así, tenemos otras tipos de números entre las que destacamos:

 Oblongo: si  es el producto de dos números distintos: 6 = 2 × 3

 Cuadrado: si es el producto de dos números iguales: 9 = 3 × 3

Triangular:

Sólido: si es producto de tres números: 30 = 5 × 2 × 3

Cubo: si es producto de tres factores iguales: 8 = 2 × 2 × 2

Piramidal: es la suma de una serie de números cuadrados: 5 = 1 + 4



Pues bien, esta representación de los números mediante puntos en disposiciones adecuadas, que nos puede parecer una sandez, les permitió descubrir muchas propiedades de los números, las cuales no nos parecerán bobadas:

1.- El cuadrado de un número n es la suma de los n primeros impares. El siguiente gráfico pone de manifiesto la propiedad, pues son números cuadrados que se obtienen al sumar los números representados en cada escuadra; en el último, las escuadras representan al 1, 3, 5, y 7 respectivamente, que son los cuatro primeros números impares, y su suma es el cuadrado de 4.

2.- El cuadrado de un número par es par, y el cuadrado de un impar es impar.

Es consecuencia de la anterior propiedad. Si n es par, su cuadrado es la suma de un número par (n) de impares y por tanto par. Si n es impar su cuadrado es la suma de un número impar (n) de impares y por tanto impar.

3.- La suma de los primeros n números pares sucesivos es el producto de este número n, por el siguiente. En la última representación del siguiente gráfico se ve que al sumar los números 2, 4, 6, y 8, que son los cuatro primeros pares, se obtiene el área del rectángulo que es base por altura, es decir, 4 × 5.

4.- La suma de los primeros n números naturales es el semiproducto de ese número por el sucesivo (1 + 2 + 3 +….+ n = n · (n + 1)/2, por ejemplo, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 7 · 8/2 = 28) Esto se ve fácilmente en las siguientes representaciones, el área de los triángulos que se obtiene al dividir los rectángulos en dos, se puede obtener de dos formas:

- Sumando los números que se representan verticalmente con puntos, en el último 1 + 2 + 3 + 4 = 10

- Haciendo la mitad del área del rectángulo, en el último (4 × 5)/2 = 10

TOMADO DE: http://www.oocities.org/es/matesbueno/articulos/los_puntazos_de_pitagoras.htm

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS 2

¿Qué pasaría si...

...rodeáramos a la tierra con una cinta formando un círculo concéntrico con el ecuador pero

 un metro más largo? ¿Cuál sería la separación entre el ecuador y la cinta? Si en cambio 

rodeáramos de la misma manera a una guinda, ¿cuál sería la separación?

Respuesta: En ambos casos la separación sería de unos quince centímetros. Es 

sorprendente, ¿verdad? Veamos los cálculos, por cierto muy sencillos, que justifican esta

 respuesta.

Vamos a suponer que tanto la Tierra como la guinda son una esfera perfecta de radio 

 medido en metros, y que la cinta es una circunferencia de radio , también medido en

 metros. Si miramos a la esfera desde encima del polo norte, veremos al ecuador y a la cinta,

 como muestra la Figura 2.

Figura 2.

La longitud del ecuador es  metros. Esto significa que la 

longitud de la circunferencia de radio  debe verificar la

 ecuación  O sea

de donde la diferencia  resulta ser el número , o alrededor

 de quince centímetros, independientemente de si estamos 

considerando una esfera enorme como la Tierra o una pequeñita como la guinda.

Sea como fuere, este resultado es en verdad sorprendente. ¿Por qué es que nuestra

 intuición se rebela? Quizá sea porque el dibujo que hemos hecho no se ajusta a la realidad 

en ninguno de los dos casos, bastante extremos, que estamos considerando. En el caso de 

la Tierra, si tenemos en cuenta que el radio es aproximadamente  millones de metros, la

 separación entre la Tierra y la cinta resulta ser  del radio de la Tierra. En

 cambio, si pensamos que la guinda es una esfera de un centímetro de radio, la separación

 será  del radio de la guinda.

De los cálculos que hemos hecho resulta que cualquiera sea la cantidad en que alarguemos 

el ecuador, la separación no dependerá del tamaño de la esfera, aunque por supuesto 

dependerá de cuánto hemos agregado.

La manera en que hemos llegado a esta respuesta puede parecer muy teórica. Otra manera 

más natural pudiera ser el considerar cada caso por separado, usando los números 

apropiados. Si hacemos esto con la guinda, obtenemos sin dificultad que la separación debe

 ser de casi  centímetros, lo cual concuerda con la respuesta que ya sabemos. En el caso

 de la Tierra nos aparece una complicación interesante: sabiendo que la longitud del

 ecuador es de unos  metros, tenemos que encontrar el radio de una

 circunferencia con longitud  metros. La calculadora nos dirá que ese radio es igual

 a  metros, o sea  metros. Pero la misma calculadora nos dirá también

 que el radio del ecuador es de ¡ metros! ¿Qué ha pasado? La diferencia de un 

metro entre la longitud de las dos enormes circunferencias se pierde en los redondeos

 internos de la calculadora. Las operaciones con letras producen en cambio respuestas mu

y “limpias”, sin las complicaciones numéricas que acabamos de notar.

Sobre la autora
	Josefina (Lolina) Álvarez es Professor of Mathematics en New Mexico State University (USA). Especialista en análisis armónico y funcional, se doctoró en Matemáticas por la Universidad de Buenos Aires (Argentina),

TOMADO DE:  http://www.matematicalia.net/index.php?option=com_content&task=view&id=174&Itemid=129