TEOREMA DE FERMAT

El enigma del teorema de Fermat

Antes, refresquemos un poco la memoria. Es sabido que el teorema de Pitágoras fue formulado allá por el año 500 antes de Cristo. Todos recordamos su famoso enunciado: “En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (x²+y²=z²)”.
Más tarde, en el año 300, también antes de Cristo, fue Euclides quien planteó una mejora adicional al citado teorema cuando descubrió que “un número perfecto siempre es un múltiplo de dos números, donde uno de ellos es una potencia de 2 y el otro es el resultado de la diferencia que hay entre la siguiente potencia de 2 y 1”. Por si se nos ha olvidado, recordar que un número perfecto es aquel número entero igual a la suma de los divisores positivos menores que él mismo. Es decir:
• 6 = 1+2+3 = 2¹ x (2² – 1)
• 28 = 1+2+4+7+14 = 2² x (2³ – 1)
• 496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496= 2³ x (2⁴ – 1)
Se puede comprobar que 6 es un número perfecto porque sus divisores propios son 1, 2 y 3, y por tanto 6 = 1+2+ 3.  Lo mismo sucede con los números perfectos siguientes: 28, 496, 8128, y así hasta el infinito, sin encontrar ningún otro que incumpla esta regla.
Tanto Pitágoras como Euclides fueron en cierta manera los precursores del célebre “teorema de Fermat”, un paso muy importante en toda la serie de grandes demostraciones. Fermatplanteó un enigma que iba mucho más allá, con el que sacó de sus casillas a todos los matemáticos durante casi cuatrocientos años, hasta que un inglés llamado Andrew Wiles, no hace mucho tiempo, en el año 1993, consiguió resolver su famoso rompecabezas.
El teorema de Fermat es un problema engañosamente sencillo.
En la década de 1630 ya había aparecido la traducción francesa de los famosos libros de la Arithmética de Diofanto, gran matemático griego, que contenían la relación completa de las teorías numéricas formuladas por Pitágoras, Euclides y otros matemáticos de la Antigüedad. Fue entonces cuando Fermat, al estudiar el teorema de Pitágoras, en un ataque de genialidad, planteó su inmortal problema al formular una variante del mismo cambiando el cuadrado por un cubo, es decir:
x³+y³=z³
Y a continuación escribió el siguiente enunciado:
“En todo el infinito universo de los números no existe un número entero donde un cubo pueda definirse como la suma de dos cubos”. Y no solo eso, sino que lo hizo extensible a todos los números cuya potencia fuera mayor de 2. O lo que es lo mismo xⁿ+yⁿ=zⁿ donde n > 2
Lo que Fermat hizo fue convertir, mediante un pequeño cambio teórico, una fórmula que ofrecía infinita cantidad de soluciones perfectas, como el teorema de Pitágoras (x²+y²=z²), en otra que conducía a un callejón sin salida como (x³+y³=z³), sin solución posible para números enteros.

Los grandes matemáticos de la época no tardaron en admitir que, en efecto, así era. Mediante el clásico método “prueba-error”comprobaron que era imposible encontrar un número que pusiera en contradicción lo afirmado porFermat, pero además con un problema añadido: no lo podían demostrar; la cantidad de números existentes es infinita y es imposible contrastar todos ellos uno a uno. De ahí que, al no estar seguros al cien por cien de que pudiese aparecer algún otro número que echara por tierra el teorema, éste no se podía considerar demostrable. Un principio de las Matemáticas es que los supuestos siempre deben ser comprobables matemáticamente no solo por una fórmula universal sino también con una base científica correcta. Cualquier matemático para validar un teorema debe ser capaz de iniciar su afirmación con la siguiente frase:“Es así porque ……” y a continuación exponer su argumento. Y eso no se ha conseguido con el teorema de Fermat hasta hace muy poco tiempo.
Fermat, que tenía por costumbre burlarse siempre que podía de sus colegas, no dejó nada escrito sobre la demostración de su teorema, con lo que su resolución pronto se convirtió en un verdadero enigma. Incluso se permitió el lujo de anotar en la portada de uno de los libros de la Arithmética de Diofanto, concretamente el nº 6, además del planteamiento, solo una pequeña frase que decía:
“Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet”,
palabras que pasaron a ser inmortales y que significaban: “Tengo una prueba verdaderamente maravillosa para esta afirmación, pero el margen es demasiado estrecho para contenerla”. Y así quedó escrito para siempre. Menos mal que su hijo Clément- Samuel, aún comprendiendo la afición de su padre por no aportar datos concretos en la demostración de sus teoremas, al morir éste, intentó evitar que el mundo perdiera parte de sus descubrimientos. Gracias a sus esfuerzos se ha podido saber algo más sobre sus teorías. Clément-Samuel se pasó cinco años recopilando las anotaciones y cartas de su padre y examinando las notas que solía escribir en los márgenes de los libros de laArithmética. En 1670 publicó la “Arithmetica de Diofanto con anotaciones de P. de Fermat”, que incluye hasta 48 observaciones que su padre había hecho, aunque por desgracia ninguna de ellas correspondía a la demostración de sus teoremas.
Si la intención de Fermat era que sus compañeros matemáticos montaran en cólera, lo logró a las mil maravillas. Desde 1637, cualquier matemático que se preciara dedicó gran parte de su tiempo, a veces demasiado, a hallar la prueba deFermat. Generaciones enteras de pensadores fracasaron, y solo Andrew Wiles , en 1993, dio con la solución, después de 25 años intentando resolver el enigma, los diez últimos casi a tiempo completo.
Pierre de Fermat nació en 1601 en Beaumont-de-Lomagne, en el suroeste de Francia, y por irónico que pueda parecer no era matemático, sino un funcionario que tenía como hobby el estudio de las Matemáticas en su tiempo libre. En 1631 fue nombrado conseiller au Parlament de Toulouse, una especie de concejal de la cámara de peticiones. Su labor consistía en servir de contacto entre los súbditos locales y la monarquía, y asegurarse de que se aplicaran en todos los lugares los decretos reales dictados desde París. Aunque su labor le exigía bastante tiempo, el poco que le quedaba libre lo dedicó a las Matemáticas. No debemos olvidar que en aquellos tiempos, a los jueces se les pedía que evitaran la vida social con el fin de no dar la sensación que favorecían a sus amigos y conocidos en la Corte.
Fermat siempre se mostró reacio a revelar sus demostraciones. La publicación y el reconocimiento no significaban nada para él, y se sentía más que satisfecho con el simple hecho de crear nuevos teoremas. Pero el genio tenía un rasgo muy característico: solía combinar su discreción con la alegría de molestar al resto de sus colegas cuando se veía obligado a comunicarse con ellos. Les solía escribir cartas enunciando sus más recientes demostraciones, al mismo tiempo no les facilitaba información alguna, retándoles a encontrarla la solución si es que podían. En una de esas ocasiones fue cuando escribió en el borde del libro de Diofantosu famosa frase a la que ya hemos hecho referencia. De sus palabras parecía que conocía la verdadera solución, y que no tenía ninguna intención de escribirla en detalle, ni por supuesto de publicarla. Hay quien dice que era porque no había logrado dar con la solución completa, pero es un hecho cierto que, a medida que pasaba el tiempo, todas sus observaciones fueron demostradas una por una, siendo su famoso teorema el más obstinado en rendirse.
Fermat, considerado como uno de los mayores genios dotados para las Matemáticas, tenía una formación totalmente autodidacta. El filósofo y también matemático Rene Descartes se refería a él siempre de forma despectiva, y otro de sus estudiosos, el insigne matemático inglés John Wallis, lo llamaba “ese maldito francés”.
Una muestra del interés que siempre han despertado Fermat y sus teoremas se refleja en lo manifestado en una reciente entrevista por Andrew Wiles, decía: “No hay otro problema que pueda justificar lo mismo para mí. Fue la ilusión de mi infancia. Nada puede reemplazar eso. Lo he resuelto. Intentaré resolver otros problemas, estoy seguro. Algunos serán muy difíciles y tendré una sensación de realización otra vez, pero no hay ningún problema matemático que me pueda cautivar como lo hizo Fermat”. Dado que Wiles utilizó más de 100 páginas y modernas técnicas matemáticas para exponer su demostración, con el apoyo de uno de los programas informáticos más avanzado del mundo, en la práctica es imposible que ésta sea la misma que insinuó Fermat.
Fermat no solo fue un genio de las matemáticas sino que además fue un gran provocador de muchos de sus contemporáneos.
TOMADO DE: http://eltrasterodepalacio.wordpress.com/2011/07/04/el-enigma-del-teorema-de-fermat/

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Encontremos las raíces de una cuadrática by Juan Carlos Pérez Pérez

HISTORIA DE LOS NÚMEROS

HISTORIA DE LOS NÚMEROS from JUANCA

BIOGRAFÍA DE GASPARD MONGE

Monge, Gaspard (1746-1818).

Gaspard Monge.

Matemático francés fundador de la geometría descriptiva, y creador junto con Euler y Jean-Baptiste Meusnier de los primeros teoremas de geometría diferencial, nacido el 9 de mayo de 1746 en Beaune (Francia), donde su padre poseía una mercería.

Inicia sus estudios en Beaune, después en el Collège de la Trinité de Lyon y más tarde en la escuela del cuerpo de ingenieros militares de Mézières, cuyo alumnado era por lo general de origen noble; consiguió ingresar en ella invitado por el segundo comandante de esta escuela que vió el plano de la villa de Beaune que Monge había dibujado, pero, debido a su origen humilde, se le emplea como dibujante en el taller de la escuela. Allí imparte matemáticas a los jóvenes que se preparan para trabajos subalternos en el servicio de fortificaciones. Utilizando la biblioteca de la escuela se inicia en las matemáticas superiores y resuelve el problema de la desenfilada, un problema clásico en las fortificaciones, mediante un método gráfico.

En 1766, en la escuela de ingenieros, fue ayudante y, poco después, profesor. Allí impartió clases de matemáticas, física y topografía hasta 1784.

Presentó diversas investigaciones a la Academia de Ciencias Francesa, y en 1772 fue nombrado correspondiente de la misma y en 1780 geómetra asociado.

Se interesó por la metalurgia del hierro, tanto por la fabricación en sí misma como por la teoría metalúrgica, y en 1785, junto con Berthollet y Vandermonde, publicó la primera teoría de la fundición del acero según al doctrina de Lavoisier.

En 1783, el ministro de Marina Pache, le nombra "examinador de guardias de pabellón, de guardias de la marina y aspirantes", y empieza a adoptar actitudes políticas cada vez más radicales, hasta el punto que, cuando triunfa la Revolución Francesa, al día siguiente, el 10 de agosto de 1789, es nombrado ministro de Marina, cargo en el que permanece ocho meses y en el que no tuvo demasiado éxito; dimite el 8 de abril de 1793.

Monge vuelve a la Academia y a la docencia, pero cuando en 1793 la Convección decreta la movilización general, se involucra rápidamente en toda su organización; crea la fábrica de armas de París; trabaja en las oficinas del Comité de Salvación Pública, donde se interesa por la fabricación de cañones; es instructor de la Escuela de Armas, donde difunde métodos de refino de salitre y de fabricación de pólvora y, finalmente, supervisa la construcción de una gran fábrica de pólvora, que termina explotando causando mas de 1000 victimas, lo que provoca su renuncia.

El proyecto de creación de la futura Escuela Politécnica, le absorbe y entusiasma, y consigue imponer sus criterios sobre educación científica: la nueva escuela sería enciclopédica y en ella impartirían docencia los mejores científicos e ingenieros de la época. Aparecen dos disciplinas de especial importancia para él, la geometría descriptiva y la nueva química de Lavoisier. En el proyecto docente incluye que los alumnos, además de recibir lecciones magistrales, realicen prácticas de laboratorio y proyectos dirigidos. Este proyecto ve la luz a finales de 1794 y Monge imparte cursos de geometría descriptiva.

Vuelve a la actividad política y acepta una misión en Italia donde conoce a Napoleón Bonaparte; después se une a una expedición para Egipto y en El Cairo organiza el Instituto de Egipto. A su vuelta a París continúa su actividad docente hasta 1809. Es nombrado senador y en 1808 Napoleón le nombra conde de Péluse. Muere el 28 de julio de 1818.

Obra científica

Desarrolla una original concepción de las matemáticas, que jamás separa de la invención técnica, de hecho, su geometría descriptiva es un procedimiento de dibujo técnico. Además y como consecuencia de toda su labor docente y como puede apreciarse en sus obras "Géométrie descriptive", 1799 y "Application de l´analyse a la géométrie", 1807, es un convencido de que los métodos de dibujo deben ser el lenguaje universal de las ciencias mecánicas. Acuña el término geometría descriptiva que parece por primera vez en septiembre de 1793.

Sin embargo, Monge no empleaba figuras en su geometría, sino que intentaba explicarla mediante la representación mental, apoyándose en la concepción original de las figuras en el espacio según su forma de generarse, y en su experiencia en la práctica técnica. Esto lo generalizaba para cualquier familia de superficies, a las que definía por su forma de generación; así por ejemplo considera:

1- familia de las superficies regladas: engendradas por el movimiento de una recta en el espacio, como son:

. superficies alabeadas: como los conoides, cuyas superficies son engendradas por el desplazamiento de una recta a lo largo de otra recta y de una curva cualquiera que no está contenida en el mismo plano.

. el plano: superficie engendrada por el desplazamiento de una recta paralelamente a sí misma a lo largo de otra recta concurrente.

2- familia de superficies de revolución: engendradas por la rotación de una curva cualquiera alrededor de un eje.

3- familia de las envolventes de superficies dependientes de un parámetro: engendradas por las características de las envueltas, es decir, por las curvas de intersección de las envueltas con una envuelta infinitamente próxima.

El estudio de las envolventes lleva a Monge a importantes conclusiones relativas a la teoría de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, al asociar estas ecuaciones con una familia de superficies. Monge parte de los estudios relativos a las curvas de doble curvatura de Clairaut, y en una memoria enviada a la Academia de Ciencias Francesa en 1771 define la recta polar de un punto como la intersección de un plano normal a la curva en ese punto con un plano normal infinitamente próximo a él; el centro de la curvatura será por tanto el pie de la perpendicular trazada desde el punto a su recta polar. A continuación construye la envolvente de los planos normales a la curva, obteniendo una superficie desarrollable que denomina superficie polar. Demuestra que una curva en el espacio admite infinidad de evolutas, que constituyen una familia de líneas geodésicas sobre la superficie polar.

En 1775, cuando Euler ya ha encontrado analíticamente las condiciones que debe verificar una superficie para que sea desarrollable, envía otra memoria a la Academia en la que describe la ecuación en derivadas parciales de las superficies desarrollables, muestra la diferencia entre éstas y las superficies alabeadas y demuestra que las desarrollables son equivalentes a las superficies engendradas por el movimiento de una recta constantemente tangente a una curva alabeada dada.

En 1776 presenta una nueva memoria sobre desmontes y terraplenes donde realiza una aplicación de las superficies desarrollables al estudiar las líneas de curvatura de las superficies, estudio iniciado ya por Euler en 1760, con el denominado teorema de Euler. En 1774, orienta a su discípulo Meusnier en el estudio de este teorema quien le completa relacionando la expresión de la curvatura de una sección oblicua a la de una sección normal, relación hoy conocida como teorema de Meusnier.

Monge sigue trabajando y elabora su teoría de las líneas de curvatura, basada en que las líneas de curvatura son curvas sobre la superficie, tangentes en cada uno de sus puntos a una de las direcciones principales; de esta manera, estas curvas forman sobre la superficie dos familias de curvas ortogonales correspondientes a las curvaturas máxima y mínima; demuestra que las normales a la superficie a lo largo de las líneas de curvatura engendran dos familias de desarrollables ortogonales. Posteriormente empleó esta teoría para resolver el problema de los desmontes y terraplenes.

TOMADO DE: http://www.mcnbiografias.com/app-bio/do/show?key=monge-gaspard

CHISTE MATEMÁTICO 5

CHISTE MATEMÁTICO 4

EUCLIDES Y LOS ELEMENTOS

EUCLIDES Y LOS ELEMENTOS

Realmente se tiene poca información relacionada con la vida de los grandes matemáticos griegos y Euclides no es la excepción. Prácticamente todo lo que se conoce de él está contenido en unas pocas líneas del sumario deProclos. De estas notas se concluye que Euclides nació a finales del siglo IV a.C.; que estudió en la "Academia'', un centro de estudios fundado por Platón en el año 380 a.C.; y que enseñó en la Universidad de Alejandría, en la ciudad con ese mismo nombre, fundada por Alejandro Magno en el año 332 a.C. en Egipto, en la desembocadura del río Nilo.

Se sabe que escribió sobre música y óptica, y tiene una obra titulada "Sofismas'', que se suponía era para "ejercitar la inteligencia''. Sin embargo, se le conoce más que todo por su obra Elementos, que por más de veinte siglos fue considerada un modelo deductivo perfecto, el cual influyó en la manera de pensar y enseñar los conocimientos matemáticos; aún hoy día, mejoras de esta teoría, son fundamentales en los cursos básicos de geometría.

No se conocen copias originales de los Elementos, sin embargo, las ediciones que se conocen están basadas en una revisión preparada por Theon de Alejandría, casi 700 años después de que el trabajo original fue escrito. Vale mencionar que a principios del siglo XIX, en la Biblioteca del Vaticano, se encontró una copia de los Elementos de Euclides con muy pocas diferencias a la escrita por Theon.

En general los Elementos tratan sobre diversos temas de la matemática. Además de geometría, tienen bastante sobre teoría de números y álgebra elemental. Aun cuando en su mayor parte son una compilación y arreglo sistemático de trabajos anteriores, no hay duda de que algunas de las proposiciones y sus demostraciones fueron hechas por el propio Euclides.

Probablemente la intención de Euclides en los Elementos era dar un desarrollo lógico de la geometría, de manera tal que todo teorema o proposición fuese rigurosamente deducido de verdades evidentes, explícitamente establecidas al inicio. La mayor importancia dada a losElementos y la razón para la profunda influencia que ha tenido en el pensamiento matemático subsecuente, no es tanto por sus contenidos sino por la metodología utilizada para presentarlos. El mayor mérito de losElementos de Euclides radica en la selección y ordenamiento lógico de los resultados que presenta, de hecho los Elementos son el prototipo de forma de la matemática moderna. Este enfoque o patrón de pensamiento axiomático-deductivo fue concebido por Pitágoras, pero fue Euclides el primero, de quien se tiene referencia, en plasmarlo en una teoría.

A modo de descripción, el libro I contiene definiciones, postulados y axiomas preliminares básicos. Las 48 proposiciones que contiene, están divididas en tres grupos: las primeras 26 tienen que ver con las propiedades de los triángulos, incluyendo congruencias; desde la 27 a la 32 establece la teoría de paralelas y prueba que la suma de las medidas de los ángulos internos en cualquier triángulo es igual a dos ángulos rectos; el resto de este grupo de proposiciones tienen que ver con paralelogramos, triángulos y cuadrados y con referencias especiales a las relaciones de sus áreas; la proposición 47 es el teorema de Pitágoras con su demostración universal creada por el mismo Euclides, se supone; y la proposición 48 es el recíproco del teorema de Pitágoras.

El libro II trata sobre las transformaciones de áreas y el álgebra geométrica de la Escuela Pitagórica. En este libro es donde se encuentran las equivalencias geométricas con las identidades algebraicas numéricas.

El libro III contiene teoremas sobre círculos, cuerdas, tangentes y las medidas de ángulos asociadas con estos. A pesar de que en el trabajo de los Pitagóricos se encuentra poco sobre la geometría de los círculos, se cree que el material sobre esta parte fue basado en el trabajo de los Sofistas y en las investigaciones realizadas sobre tres problemas famosos:

1. La duplicación de un cubo: construir las aristas de un cubo que tenga el doble del volumen de un cubo dado.
2. La trisección de un ángulo: dividir un ángulo en tres ángulos congruentes.
3. La cuadratura del círculo: construir un cuadrado cuya área sea igual a la de un círculo dado.

En realidad la importancia de estos problemas no radicó en que no se pudieran realizar dichas construcciones usando sólo regla y compás, sino en que la búsqueda de la solución de estos problemas influyó en el desarrollo de la geometría griega y llevó a nuevos descubrimientos importantes como: secciones cónicas, curvas cúbicas y de cuarto grado, números algebraicos y la teoría de grupos entre otras. La imposibilidad de resolver estos problemas utilizando solo regla y compás fue establecida hasta el siglo XIX, más de 2000 años después de que los problemas fueron concebidos.

En el libro IV se encuentran discusiones sobre construcciones geométricas con regla y compás de polígonos regulares de tres, cuatro, cinco, seis y quince lados. También por una bisección sucesiva de ángulos o arcos se puede lograr, con las herramientas Euclideanas, la construcción de polígonos regulares que tienen    y  lados.

No fue sino hasta el siglo XIX cuando se conoció que ningún otro polígono regular se podía construir con estas herramientas. Más tarde el eminente matemático alemán Carl Friedrich Gauss desarrolló una teoría para demostrar que un polígono regular con un número primo de lados podía ser construido, con herramientas Euclídeas, si y solo sí el número de lados es de la forma Para  y  los valores de  son todos ellos números primos. Los griegos no sabían que polígonos de 17, 257 y 65537 lados se podían construir. Aparte de los valores de  citados no se conocen otros para los cuales  sea primo.
En el libro V se expone la teoría de proporciones de Eudoxos. Esta teoría era tan aplicable a lo medible como a lo no medible y vino a resolver una especie de escándalo lógico creado por el descubrimiento de los números irracionales de los Pitagóricos, pues toda la teoría de proporcionalidad Pitagórica asumía que todo par de magnitudes eran conmensurables y el descubrimiento de los irracionales derribaba esta suposición.

En el libro VI aparece la aplicación de la teoría de Eudoxos a la geometría Plana. En éste se encuentran los teoremas fundamentales de semejanza de triángulos, construcciones usando la proporcionalidad, solución geométrica de ecuaciones de grado dos, la proposición de que el bisector de un ángulo divide el lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados, una generalización del teorema de Pitágoras y muchos otros teoremas. Probablemente todos los teoremas de este libro eran conocidos para los primeros Pitagóricos, pero las demostraciones de los pre-Eudoxos fallaron por basarse en una teoría incompleta sobre proporciones.

Los libros VII-VIII-IX contienen un total de 110 proposiciones que tienen que ver con la teoría elemental de números. En el libro VII se describe el proceso para encontrar el mayor entero divisor de dos o más enteros y se usa esto como prueba para encontrar primos relativos enteros. El libro VIII tiene que ver extensamente con proporciones y progresiones geométricas. En el libro IX se encuentran proposiciones muy importantes, tal como la proposición 14 cuya importancia es equivalente a la del teorema fundamental de la aritmética. En la proposición 36 se expone la extraordinaria fórmula para números perfectos; y como modelo de la elegancia, según muchos matemáticos, la demostración de la proposición 20: "El número de enteros primos es infinito''.

El libro X tiene que ver con irracionales, esto es segmentos de línea recta no medibles con respecto a segmentos de línea recta medibles. Este libro es considerado por muchos como el más extraordinario, aún cuando la mayoría de los aspectos tratados aquí datan de la época de Tahetetus. Lo extraordinariamente completo, la clasificación y acabado se le atribuyen a Euclides.

Los restantes libros XI-XII-XIII tienen que ver con sólidos geométricos. Las definiciones, los teoremas sobre líneas y planos en el espacio y los teoremas concernientes a paralelepípedos se encuentran en el libro XI. El método exhaustivo juega un papel importante en la presentación de volúmenes en el libro XII.

Se estudia otro problema famoso y elegante, en el libro XIII que es la construcción de poliedros regulares. Estos poliedros son sólidos simples cuya superficie consiste en un número de caras poligonales congruentes y ángulos sólidos en los vértices congruentes. Hay cinco poliedros regulares y reciben su nombre por el número de caras regulares que tienen: El tetraedro (cuatro caras triangulares), el hexaedro o cubo (seis caras cuadradas), el octaedro (ocho caras triangulares), el dodecaedro (doce caras pentagonales) y el icosaedro (veinte caras triangulares). Platón y sus seguidores estudiaron estos poliedros por eso algunas veces se les llama "sólidos Platónicos".

TOMADO DE: 

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/GeometriaInteractiva/GEOMETRIA_Sandra_Schmidt/Capitulo1/node1.html