Conceptos de Precálculo I; Trigonometría, Discovery

NÚMEROS TRANSFINITOS

NÚMEROS TRANSFINITOS

George Cantor conceptuó a un conjunto de la siguiente manera: “Es una colección de objetos concretos o abstractos definibles y distinguibles considerada como un todo”. A la definición le falta la formalidad necesaria para poder construir el verdadero edificio de la Teoría de Conjuntos, esta falencia lo hicieron ver, en su tiempo, muchos matemáticos notables, enfatizando la generalidad de la idea de conjunto y las inexactitudes que tenía para ser considerada como una verdadera definición.

Cantor tenía una obsesión por el infinito, y buscó la manera de poder demostrar que los diferentes conjuntos de números infinitos tenían la misma cantidad de elementos y también demostró que el conjunto de los números reales no es numerable; la base para él fue el conjunto de los enteros positivos con el cual pudo comparar los demás conjuntos: pares, impares, ´primos, etc. A esa comparación se le conoce como correspondencia biunívoca, es decir, uno a uno, elemento a elemento y tuvo como antecedente lo que había pensado Galileo, al encontrar esa correspondencia entre los números enteros positivos y sus cuadrados.

Ese inicio sirvió a Cantor para definir el conjunto infinito: “…es aquel que se puede poner en correspondencia uno a uno con alguna de sus partes”, claramente nos damos cuenta que esta definición entra en contradicción con el axioma de Euclides: “El todo es más grande que sus partes”, para Cantor este axioma no afectaba a las cantidades infinitas.

La forma de realizar esta comparación es la siguiente:

Primero: Números naturales y números pares

Números Naturales	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	…..
Números Pares	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	…..

Segundo: Números naturales y números enteros

Números Naturales	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	…..
Números Enteros	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8	-9	-10	-11	…..

Tercero: Números naturales y números primos

Números Naturales	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	…..
Números Pares	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	…..

En el caso de los números racionales, la demostración fue más que ingeniosa

Se desdoblan las fracciones siguiendo las flechas y considerando solo una de las que son equivalentes (1/1; 2/2; 3/3; ….)

Números Naturales	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	…..
Números racionales	1/1	2/1	1/2	1/3	3/1	4/1	3/2	2/3	1/4	1/5	5/1	6/1	5/2	4/3	3/4	…..

Para demostrar que los reales no son numerables Cantor uso un método muy ingenioso para lo cual acotó la demostración en un intervalo <0> y ordeno en forma aleatoria, es decir, al azar. Para hacerlo ejemplar tomaremos los decimales sin orden estricto:

Cantor para realizar su demostración formó un número decimal haciendo lo siguiente:

Tomó el primer decimal del primer número decimal, luego el segundo decimal del segundo número decimal, después el tercer decimal del tercer número decimal, y así sucesivamente. Las cifras decimales consideradas para formar este nuevo número decimal se encuentran encerradas en círculos en la tabla anterior.

Entonces el número decimal formado sería: 0,20187631…. pero, como podemos asegurar que no se encuentra en la lista, sería imposible. La solución que encontró Cantor a este problema fue así: modificando cada cifra del número formado para que no coincida con ninguno de los números anteriores y lo hizo muy sencillo aumentado aumentó en uno el valor de cada cifra (en caso que sea 9 se cambiaría a 0) aplicando se obtendría: 0,31298742…, con lo cual al compararlo con el primer número de la lista no sería igual porque hemos modificado la primera cifra, también no sería igual al segundo porque la segunda ha sido modificada, y así con la tercera, con la cuarta, etc. Y se llegaría a demostrar que el número obtenido no estaría en la lista.

El Hotel Infinito

IMPORTANCIA DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS

La teoría de conjuntos es resultado de las ideas de George Cantor, sabiendo que estas ideas partieron de una obra titulada: “Paradojas de lo infinito” de Bernhard Bolzano. Si bien las ideas de cantor eran afines a la relación entre los conjuntos numéricos y su característica infinita, llegando a conclusiones que lo llevó a ser reconocido posteriormente o mejor dicho después de la dura oposición por parte del matemático Kronecker, la “Teoría de Conjuntos” tiene muchos usos en diversos problemas.

Pero lo relevante es la aplicación común y corriente que se le da a la teoría de conjuntos. Si consideramos los problemas planteados en la escuela, donde los problemas se refieren: ¿a cuántos les gusta jugar fútbol o básquet? o ¿cuántos solo realizan solo una de las dos actividades?, veremos que solo se trata de una parte de todo lo que la “Teoría de Conjuntos”, ayuda a la solución de problemas en distintas áreas de la ciencia:

            a)       En LÓGICA de PREDICADOS: 

                    Los silogismos son formas de razonamiento que se basan en la deducción que es un método inferencial, es decir, de ciertas premisas se llega a una conclusión o a una premisa de mayor categoría. Pero esos silogismos necesitan ser validados y los diagramas de VENN ayudan a validar gráficamente éstos silogismos, vemos la presencia de conjuntos que representan en dibujo lo más importante de los silogismos.

                 

                   Ejemplo:

   Premisa 1:   Todos los vegetarianos son pacíficos.

   Premisa 2:   Todos los habitantes del Perú son pacíficos.

   Conclusión: Todos los vegetarianos viven en el Perú.

 La solución se la dejamos, el gráfico permite determinar si la conclusión es verdadera o falsa, y esto gracias a los diagramas de Venn que permiten representar con curvas cerradas a los diversos conjuntos que intervienen en los enunciados. 

             b)     En PROBABILIDADES: 

                     La “Teoría de Conjuntos “es importante en esta rama de las matemáticas porque los sucesos son representados formalmente utilizando la notación de conjuntos, es decir, denotar los elementos separados por comas y encerrados entre signos de colección, frecuentemente las llaves {}. El espacio muestral se representa mediante el conjunto universo y el experimento imposible de realizarse o que no puede darse según las condiciones establecidas se representa con el conjunto vacío.

Estos sucesos según su característica también se relacionan usando las operaciones de unión, intersección, diferencia y/o complemento.

                  Ejemplo:

                  En el experimento "lanzar un dado de seis caras" sean los eventos:
                  A = sale par, B = sale primo.
                  El evento "A ó B" = A   B: "sale par o primo" se describe:

       

           Este es un sencillo ejemplo de la aplicación de los diagramas de Venn y de las operaciones entre conjuntos, se puede ahondar en el tema y conocer toda la importancia que tiene este tema en la teoría de probabilidades.

         c)     En la TEORÍA DE FUNCIONES:  

                      Sabemos lo importante que son las funciones en el desarrollo de la ciencia sobre todo al relacionar magnitudes y modelarlas usando las matemáticas. Pero esto no sería posible sin antes conocer los conjuntos acotados que son consecuencia de conocer inicialmente las definiciones de cotas superiores e inferiores, finalmente llegamos a los intervalos que permiten establecer de una forma más sencilla el dominio y el rango. Además, los intervalos también se pueden simplificar haciendo uso de las operaciones de unión, intersección, diferencia, complemento o diferencia simétrica, dependiendo de las condiciones que se presenten en el problema.

                      Ejemplo:

           Determinar Dominio y Rango de:

                   

           

            

            

                      Dom f(x)= R – 8 = <- span="">∞; 8> U <8> 

    He tratado de mencionar en forma muy simple y solo describiendo algunos aspectos muy básicos en los cuales  vemos la aplicación de tan importante teoría. Consideremos que al ahondar un tanto más veríamos el alcance tan amplio que tiene y como auxilia de una forma imprescindible tantas áreas de la ciencia y sobre todo de la matemática.

PAPIROFLEXIA

TOMADO DE:http://piziadas.com/2011/05/flotille-detalle-papiroflexia.html

Karl Weierstrass

(Ostenfelde, actual Alemania, 1815-Berlín, 1897) Matemático alemán. Hijo de un oficial a las órdenes de Napoleón, Karl era el mayor de cuatro hermanos. Más tarde, su padre ingresó en el servicio de recaudación de impuestos en Prusia, lo que obligó a la familia a trasladarse constantemente.

Karl Weierstrass

Con catorce años, Karl fue aceptado en la escuela católica de enseñanza secundaria de Paderborn. Ganó algunos premios antes de graduarse, y en 1834, siguiendo los deseos de su padre, ingresó en la Universidad de Bonn para estudiar comercio y finanzas. Sin embargo, estas materias no le interesaban y pasó la mayor parte del tiempo bebiendo, practicando esgrima y leyendo libros de matemáticas.

En 1839 fue aceptado en la Academia de Teología y Filosofía de Münster, donde encontró la inspiración matemática de manos de Christof Guderman. Éste le introdujo en la teoría de las series de potencias, que más tarde serían la base de todo su trabajo. Su primer escrito importante, publicado en 1841, fue un ensayo sobre funciones elípticas.

Durante los quince años siguientes se dedicó a dar clase en una escuela de enseñanza secundaria. En 1854 envió un trabajo sobre funciones abelianas a una publicación matemática de prestigio, y sorprendió a la comunidad matemática con su genio. Por este trabajo recibió el doctorado honorífico de la Universidad de Königsberg y en 1856 fue aceptado como profesor asociado en la Universidad de Berlín.

Abrumado por las enormes responsabilidades de su nuevo cargo, sufrió una crisis nerviosa en 1861, que le apartó de las aulas dos años. A pesar de ello, en 1864 fue ascendido a profesor, cargo que ostentó el resto de su vida. Desafortunadamente, tras los ataques públicos de Kronecker por su apoyo a las ideas de Cantor, y la muerte de su amiga Sonja Kovalevsky, se hundió mentalmente y pasó el resto de su vida en una silla de ruedas hasta que murió víctima de una neumonía.

TOMADO DE:http://www.biografiasyvidas.com/biografia/w/weierstrass.htm

A VER SI PUEDEN