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MATEMÁTICA PARA TODOS
lunes, 28 de julio de 2014
John Lennon y su inexplicable relación con el número 9
El nueve de octubre John Lennon habría cumplido 72 años. En su caso y al igual que sucede con el resto de sus compañeros Beatles, una serie de mitos y leyendas urbanas rondan por Internet.
Fue un 11 de mayo de 2011 memorable e inolvidable para muchos de nosotros. En un Estadio Nacional repleto se presentaba nada menos que Paul McCartney, pero para muchos quien cantaba clásicos eternos de The Beatles no era nadie más que William Campbell, un imitador del otrora bajista de la banda sesentera.
Así como el insostenible mito de que Sir Paul McCartney está muerto desde 1966, existen otras muchas leyendas en torno a los integrantes de la banda más importante del siglo XX. Cierta relación con lo anterior tiene una serie de coincidencias en torno al número nueve, el favorito de John Lennon.
Muchas cosas llaman la atención cuando uno visita la casa de infancia de John Lennon en Liverpool, sin embargo, uno de los objetos más llamativos es un pequeño cuadro colgado en alguna pared del segundo piso, en donde se describe la extraña relación y presencia del número nueve a lo largo de toda la vida del líder de The Beatles.
John Lennon nació a las 6:30pm (6+3=9) del9 de octubre de 1940. 35 años después, el mismo día 9 de octubre, nace su hijo Sean.
Brian Epstein, famoso y legendario mánager de The Beatles, vio a John Lennon y al resto de la banda en el Cavern Club un nueve de noviembre de 1961, y él mismo aseguró el contrato de grabación con EMI el nueve de mayo del año siguiente.
John Lennon conoció a Yoko Ono el nuevede noviembre de 1966.
El bus que debía tomar Lennon todas las mañanas para asistir a clases en Liverpool era el 72 (7+2=9). En el colegio él debió rendir nueve exámenes para conseguir su certificado final. Los reprobó todos.
Quizás en el evento más traumático de la vida de John Lennon, la muerte de su madre, el número nueve también se hace presente: la patente del automóvil que atropelló a su madre era la LKF 630 (6+3+0=9) e iba conducida por el policía cuya placa era número 126 (1+2+6=9).
En 1974, Lennon lanza su álbum solista “Walls and Bridges”, este disco tiene una carátula muy particular ya que en ella aparece un dibujo realizado por John a la edad de 11 años, donde aparecen varios jugadores de fútbol pero un solo número, por supuesto, el número nueve. Además, el dibujo tiene otra gran particularidad, y es que uno de los jugadores dibujados por Lennon es el chileno Jorge Robledo.
Varias canciones de Lennon incluían el número nueve, por ejemplo, “Revolution 9”, #9 Dream”, entre otras.
Finalmente y en ese fatídico 8 de diciembre de 1980 las coincidencias no se detuvieron. Las cinco horas de diferencia horaria resultaron en que en Inglaterra ya era nueve de diciembre. Además, su cuerpo fue llevado al hotel Roosevelt, en la novena avenida de Manhattan, donde fue declarado muerto a las 11:07 pm (1+1+7=9).
TOMADO DE:http://www.guioteca.com/musica-pop/john-lennon-y-su-inexplicable-relacion-con-el-numero-9/
La multiplicación de los campesinos rusos: demostración
Algunos de nuestros lectores reclaman la demostración matemática del algoritmo de los campesinos rusos que publicamos ayer.
En realidad, lo que estamos haciendo es descomponer el número de la derecha en potencias de dos. En el ejemplo de ayer, teníamos 105×68. Si descomponemos 68 en potencias de dos, tenemos que 68 = 64 + 4 = 2^6 + 2^2. Como la multiplicación es distributiva, está claro que 105×68 = 105×(64+4) = 105×64 + 105×4.
¿Cómo se conecta esto con el algoritmo? Comencemos por la columna de la derecha. En la primera fila, si el número de la derecha es par, quiere decir que a la hora de descomponerlo en potencias de dos, no aparecerá 2^0 = 1, por eso lo tachamos. (En caso de que el número de la derecha fuese impar, sí que aparecería el 1 en su descomposición. Por ejemplo, 5 = 4 + 1 = 2^2 + 2^0).
Ahora pasamos a la segunda fila. A la derecha, hemos dividido todo por 2. Sigamos con nuestro ejemplo: si 68 = 2^6 + 2^2, al dividir por dos tenemos 34 = 2^5 + 2. Ahora llega el paso clave: si el sumando 2^0 = 1 apareciese al descomponer el número de la segunda fila, equivaldría a que el sumando 2^1 = 2 apareciese en la primera fila (donde tenemos el número original).
En nuestro ejemplo, 34 vuelve a ser par. Esto quiere decir que 2^0 no aparece al descomponer 34 en potencias de dos. Si multiplicamos por dos, equivale a decir que 2^1 no aparece al descomponer 68 (nuestro número original) en potencias de dos.
¿Seguís el hilo? bien, pasemos a la tercera fila. En este caso tenemos 17 = 2^4 + 2^0. Si deshacemos el camino andado y multiplicamos por 4, tenemos que 68 = 2^6 + 2^2. Es decir, como el sumando 1 aparece al descomponer 17, esto equivale a que el sumando 4 aparezca al descomponer 68 = 17×4.
A la hora de dividir por dos nuevamente, como ya hemos contado la influencia del sumando 1, lo restamos: 17 – 1 = 16, 16 / 2 = 8. Por eso se redondea a la baja. 8 vuelve a ser par, tachamos la fila. En la siguiente iteración, 4 es par, tachamos la fila. Una vez más, 2 es par, tachamos la fila. Al final del todo, en la sexta iteración, obtenemos 1, que es impar, lo cual quiere decir que en nuestro número original aparecerá 2^6 en su descomposición.
Ya hemos acabado con la columna de la derecha. En ella, hemos visto como 68 se descompone en 2^6 + 2^2, y por tanto nuestra multiplicación original se descompone de la siguiente forma: 105×68 = 105×(64+4) = 105×64 + 105×4 = 105×(2^6) + 105×(2^2).
¿Y qué hemos hecho en la columna de la izquierda? Pues precisamente ir multiplicando nuestro número original (105) sucesivamente por 2^0 = 1, 2^1 = 2, 2^2 = 4, etc. De modo que al final, cuando hemos descartado las filas que no nos interesan, precisamente nos ha quedado 105×(2^2) y 105×(2^6). Haciendo la suma, obtenemos el valor de la multiplicación original 105×68.
Demostración genérica
Para los que queráis una demostración matemática estricta, usaremos el principio de inducción (si no sabes lo que es, puedes dejar de leer aquí ;)). Denotemos A×B el producto de dos números naturales A y B usando el algoritmo habitual (la multiplicación de toda la vida con todas sus propiedades asociadas), y A*B el producto de dos números A y B usando el método de los campesinos rusos (sobre el cual a priori conocemos su ‘mecanismo’, pero no sus propiedades). Para B = 1, comprobamos que se cumple A×B = A*B, independientemente de cual sea el número A. Vamos a aplicar el principio de inducción sobre la variable B.
Supongamos la hipótesis de que para un B natural cualquiera se cumple 2A×[B/2] = 2A*[B/2]. ([n] denota la parte entera redondeando a la baja). Entonces, aplicando el algoritmo de los campesinos rusos, tenemos que
A*B = 2A*[B/2] + x, siendo x = A si B es impar, x = 0 si B es impar (!!).
Por otro lado, por las propias características de la multiplicación habitual, es inmediato que
A×B = 2A×[B/2] + x, siendo x = A si B es impar, x = 0 si B es par.
Como hemos supuesto 2A×[B/2] = 2A*[B/2], podemos extender nuestra hipótesis a que A×B = A*B.
Veamos ahora que si nuestra hipótesis es cierta para B, también lo es para B+1:
A*(B+1) = 2A*[(B+1)/2] + x, siendo x = A si B+1 es impar (es decir, si B es par) y x = 0 si B+1 es par (es decir, si B es impar).
Y aquí hemos hecho una pirueta muy interesante, atención: si B es par, resulta que al hacer A*B tenemos que x = 0, de modo que A*B = 2A*[B/2]. Ahora, al hacer A*(B+1) tenemos que x = A… ¡pero [(B+1)/2] = [B/2]! (ya que estamos redondeando a la baja). Es decir, que
A*(B+1) = A*B + A.
Por otro lado,
A×(B+1) = A×B + A.
Aquí no tenemos que demostrar nada ya que en la multiplicación tradicional damos por sentada la propiedad distributiva. Como en un principio hicimos la hipótesis A×B = A*B, resulta que
A*(B+1) = A*B + A = A×B + A = A×(B+1).
Aplicando el principio de inducción, hemos demostrado que para cualquier número natural par B, A×B = A*B, es decir, el algoritmo ruso es totalmente equivalente al tradicional. Para los B impares, la demostración es totalmente análoga, a partir de la ‘pirueta’ simplemente hay que considerar B impar y los resultados salen igual. Os lo dejo como ejercicio ;)
Y como no hemos impuesto restricciones sobre A, queda demostrado que para cualquier pareja de números naturales, el algoritmo de los campesinos rusos (al que hemos denotado como A*B) es totalmente equivalente a la operación tradicional de multiplicación, denotada por A×B.
Actualización: me acabo de dar cuenta de que la igualdad marcada con (!!) no es ni mucho menos inmediata y también requiere una explicación, ¿alguien se anima?. Recordad que el asterisco (*) no denota el producto habitual, sino el producto dado por el algoritmo de los campesinos rusos, de la que a priori no sabemos sus propiedades (precisamente el objetivo de la demostración es probar que en realidad la operación que hemos denotado como (*) equivale al producto de toda la vida).
TOMADO DE:http://www.xatakaciencia.com/matematicas/la-multiplicacion-de-los-campesinos-rusos-demostracion
domingo, 27 de julio de 2014
La fórmula divina
Pero qué tiene de especial ese número? ¿Por qué no es como los demás? Del mismo modo que el número Pi (3,141592...) representa el cuerpo geométrico más perfecto, la esfera, 1,618033... es el número de la belleza. El monje del siglo XV Luca Pacioli, quizá influido por la idea de que los nuevos conocimientos debían adaptarse a las creencias de la Iglesia, lo llamó La Divina Pro porción e indicó: "Tiene una correspondencia con la Santísima Trinidad, es decir, así como hay una misma sustancia entre tres personas -Padre, Hijo y Espíritu Santo-, de igual modo una misma proporción se encontrará siempre entre tres términos, y nunca de más o de menos". Lo que se esconde tras esta esotérica frase, más propia de alquimistas y ocultistas que de matemáticos, es ese número, el cual se cree que fue bautizado por Leonardo da Vinci con el nombre de número áureo. Siglos más tarde el matemático estadounidense Mark Barr le asignó la letra griega fi, en honor al escultor Fidias, que lo usó en sus obras.
La sorprendente belleza de un número irracional
El número áureo pertenece al conjunto de los número irracionales, esto es, aquellos que no pueden expresarse como cociente de dos número enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de dos es irracional -un descubrimiento que incomodó de tal modo a los pitagóricos que lo ocultaron al mundo-. En nuestro caso, el número áureo lo podemos computar con una calculadora si seguimos estas sencillas instrucciones: primero, calculamos la raíz cuadrada de 5; luego sumamos 1 al resultado y el total lo dividimos por 2. Si sabemos programar un ordenador, podemos intentar batir el récord del mayor número de decimales calculados: en el año 2000 y con menos de 3 horas de computación, se encontraron los primeros 1.500 millones de cifras decimales.
Matemáticamente hablando, podemos definir el número áureo como aquél que si le sumamos uno sale el mismo resultado que si lo elevamos al cuadrado. Así, si el 4 fuera el número áureo, para calcular su cuadrado no haría falta hacer la operación de 4 por 4, que sale 16, sino que simplemente bastaría con sumarle 1. Y es que en realidad existen dos números aúreos, uno positivo (1,618033...) y otro negativo (-1,618033...), pero es el primero el que se ha llevado toda la gloria.
El humanista que puso nombre al 1,618033...
Hasta aquí todo esto puede parecernos pura numerología. Es como si alguien, con muy poco trabajo y mucho tiempo libre, se hubiera tomado la molestia de empezar a buscar relaciones curiosas con los números. Sin embargo, lo verdaderamente misterioso es que ese número tan extraño lo encontramos en el crecimiento de las plantas, en las piñas, en la distribución de las hojas en un tallo o en la formación de las caracolas. También en el carné de identidad, las tarjetas de crédito, gran parte de las tarjetas de presentación y en casi todas las cajetillas de tabaco. O en el Partenón. O en el ejemplo clásico de lo que es un cuerpo armonioso: el Hombre de Vitrubio de Leonardo da Vinci.
Siguiendo los pasos de quienes más le influyeron, el humanista Leon Battista Alberti y el escultor Antonio Filarete, Leonardo creía que la anatomía y la arquitectura estaban relacionadas. Fue en la década de 1480, mientras trataba de ganarse al duque de Milán y a los arquitectos de la corte, cuando profundizó en esta relación que expresó en su famoso dibujo de 1487, basado claramente en la descripción del arquitecto Marcus Vitruvius Pollio.
En ella, Pollio afirma: "En el cuerpo humano, la parte central es el ombligo. Pues si un hombre se tumba boca arriba, con los brazos y las piernas extendidas, y se centran un par de compases en el ombligo, los dedos de las manos y los pies tocarán la circunferencia descrita a partir de ese centro. Y también puede inscribirse en una figura cuadrada". Si dividimos el lado del cuadrado (la altura del ser humano) por el radio de la circunferencia (la distancia del ombligo a la punta de los dedos) tendremos el número áureo. Así, si el lector quiere saber si es bellamente perfecto, sólo tiene que coger una regla.
Poco a poco Leonardo se fue obsesionando con la búsqueda de pautas que relacionaran no sólo la anatomía con la arquitectura, sino con la estructura armónica de la música y con la propia naturaleza. Su búsqueda de proporciones en el mundo que le rodeaba, al igual que su intento de relacionar la circunferencia de las copas de los árboles con la longitud de sus ramas, fue intensa pero vana. No obstante, no era una idea errónea, porque mirando la naturaleza podemos encontrar el número áureo en diferentes contextos. Pero antes debemos echar la vista atrás y prestar atención a un matemático italiano del siglo XIII que tenía una pasión un tanto oscura por los conejos y su tasa reproductiva.
En 1202, Leonardo Fibonacci se preguntaba acerca de cuán rápido se expandirían los conejos por la Tierra en condiciones ideales. Supongamos, se dijo, que tenemos una única pareja, que ambos miembros están preparados para procrear al mes de existencia y que dan a luz a una nueva pareja tras un mes de gestación.
¿Cuántas parejas habrá al cabo de un año? Al final del primer mes la pareja original está dispuesta a procrear, pero sigue habiendo una única pareja. Al final del segundo mes tendremos la original y su primera pareja-hija. Al finalizar el tercero habrá en el campo la original, la primera pareja, que ya está a punto para procrear, y una segunda pareja-hija. Al terminar el cuarto mes tendremos la original y su tercera pareja-hija, la primera pareja y su primera pareja-hija, y la segunda pareja-hija, que ya está dispuesta para procrear. En definitiva, la sucesión de parejas de conejos es: 1, 1, 2, 3, 5.
¿Es capaz de adivinar el lector el patrón que se esconde tras esa sucesión? Si la alargamos un poco resulta más fácil: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...
En efecto, la llamada sucesión de Fibonacci, también denominada números de Fibonacci, se obtiene sumando los dos previos para obtener el siguiente.
Ahora bien, ¿qué tiene que ver esta sucesión de números con el número áureo?
Haga el siguiente experimento: coja una calculadora y divida uno
cualquiera por su inmediato anterior.
A medida que progrese en la sucesión, el cociente se irá acercando
más y más al número áureo.
En términos matemáticos, esto quiere decir que la sucesión de números
creada dividiendo un número de Fibonacci por su inmediato anterior tiende, o tiene como límite, el número áureo. Esto es, esta sucesión infinita de números termina, en el infinito, en el número áureo.
Convirtamos ahora los números en cuadrados. Pongamos dos iguales, uno junto a otro, de cualquier tamaño, cuyos lados tomaremos como unidad.
Encima de ellos, dibujemos otro cuyo lado sea el doble de los anteriores. A la derecha, añadamos otro más, con el triple de lado. Debajo, el correspondiente a 5, y así sucesivamente, de modo que cada nuevo cuadrado tenga de lado la suma de los dos cuadrados anteriores.
Si ahora dibujamos un cuarto de circunferencia dentro de cada cuadrado
(empezando por el primero), como en la fotografía de la caracola del
comienzo del reportaje, tendremos una espiral logarítmica que es,
justamente, la que presenta la concha del nautilo.
Ahora coja un lápiz y trace una línea que vaya desde el centro al exterior. Fíjese en dos puntos en los que esta línea corte a la concha, con la única condición de que la espiral haya dado una vuelta completa entre ambos. Comprobará que el más exterior está 1,618 veces más lejos del centro que el del interior. Esto quiere decir que el factor de crecimiento de la concha es el número áureo. Los números de Fibonacci también los encontramos en el número de espirales a la izquierda y a la derecha que podemos contar en las semillas de los girasoles y en las piñas de los pinos; en el número de pétalos de las flores (3 el iris; 5 o bien 8 en algunos ranúnculos; las margaritas y girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 ó 85...) y en el número de flores en las espirales de la coliflor y del brécol. De hecho, cada uno de ellos es una diminuta coliflor en sí misma. Si cuenta las espirales en ambas direcciones que salen de esas miniflores, ¿qué número le sale? Puede buscar así mismo números de Fibonacci en el plátano y en la manzana. Incluso las hojas alrededor del tallo siguen este orden.
(de filius Bonacci, hijo de Bonacci). Nacido en el norte de Italia, pero educado en el norte de África, pasó toda su juventud viajando por el Mediterráneo, pues su padre era
el representante de los comerciantes de la República de Pisa.
Miguel Ángel Sabadell
TOMADO DE:
Muy Interesante
La sorprendente belleza de un número irracional
El número áureo pertenece al conjunto de los número irracionales, esto es, aquellos que no pueden expresarse como cociente de dos número enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de dos es irracional -un descubrimiento que incomodó de tal modo a los pitagóricos que lo ocultaron al mundo-. En nuestro caso, el número áureo lo podemos computar con una calculadora si seguimos estas sencillas instrucciones: primero, calculamos la raíz cuadrada de 5; luego sumamos 1 al resultado y el total lo dividimos por 2. Si sabemos programar un ordenador, podemos intentar batir el récord del mayor número de decimales calculados: en el año 2000 y con menos de 3 horas de computación, se encontraron los primeros 1.500 millones de cifras decimales.
Matemáticamente hablando, podemos definir el número áureo como aquél que si le sumamos uno sale el mismo resultado que si lo elevamos al cuadrado. Así, si el 4 fuera el número áureo, para calcular su cuadrado no haría falta hacer la operación de 4 por 4, que sale 16, sino que simplemente bastaría con sumarle 1. Y es que en realidad existen dos números aúreos, uno positivo (1,618033...) y otro negativo (-1,618033...), pero es el primero el que se ha llevado toda la gloria.
El humanista que puso nombre al 1,618033...
Hasta aquí todo esto puede parecernos pura numerología. Es como si alguien, con muy poco trabajo y mucho tiempo libre, se hubiera tomado la molestia de empezar a buscar relaciones curiosas con los números. Sin embargo, lo verdaderamente misterioso es que ese número tan extraño lo encontramos en el crecimiento de las plantas, en las piñas, en la distribución de las hojas en un tallo o en la formación de las caracolas. También en el carné de identidad, las tarjetas de crédito, gran parte de las tarjetas de presentación y en casi todas las cajetillas de tabaco. O en el Partenón. O en el ejemplo clásico de lo que es un cuerpo armonioso: el Hombre de Vitrubio de Leonardo da Vinci.
Siguiendo los pasos de quienes más le influyeron, el humanista Leon Battista Alberti y el escultor Antonio Filarete, Leonardo creía que la anatomía y la arquitectura estaban relacionadas. Fue en la década de 1480, mientras trataba de ganarse al duque de Milán y a los arquitectos de la corte, cuando profundizó en esta relación que expresó en su famoso dibujo de 1487, basado claramente en la descripción del arquitecto Marcus Vitruvius Pollio.
La perfección anatómica es la perfección áurea
Poco a poco Leonardo se fue obsesionando con la búsqueda de pautas que relacionaran no sólo la anatomía con la arquitectura, sino con la estructura armónica de la música y con la propia naturaleza. Su búsqueda de proporciones en el mundo que le rodeaba, al igual que su intento de relacionar la circunferencia de las copas de los árboles con la longitud de sus ramas, fue intensa pero vana. No obstante, no era una idea errónea, porque mirando la naturaleza podemos encontrar el número áureo en diferentes contextos. Pero antes debemos echar la vista atrás y prestar atención a un matemático italiano del siglo XIII que tenía una pasión un tanto oscura por los conejos y su tasa reproductiva.
El número más bello en una madriguera de conejos
En 1202, Leonardo Fibonacci se preguntaba acerca de cuán rápido se expandirían los conejos por la Tierra en condiciones ideales. Supongamos, se dijo, que tenemos una única pareja, que ambos miembros están preparados para procrear al mes de existencia y que dan a luz a una nueva pareja tras un mes de gestación.
¿Cuántas parejas habrá al cabo de un año? Al final del primer mes la pareja original está dispuesta a procrear, pero sigue habiendo una única pareja. Al final del segundo mes tendremos la original y su primera pareja-hija. Al finalizar el tercero habrá en el campo la original, la primera pareja, que ya está a punto para procrear, y una segunda pareja-hija. Al terminar el cuarto mes tendremos la original y su tercera pareja-hija, la primera pareja y su primera pareja-hija, y la segunda pareja-hija, que ya está dispuesta para procrear. En definitiva, la sucesión de parejas de conejos es: 1, 1, 2, 3, 5.
¿Es capaz de adivinar el lector el patrón que se esconde tras esa sucesión? Si la alargamos un poco resulta más fácil: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...
En efecto, la llamada sucesión de Fibonacci, también denominada números de Fibonacci, se obtiene sumando los dos previos para obtener el siguiente.
Ahora bien, ¿qué tiene que ver esta sucesión de números con el número áureo?
Haga el siguiente experimento: coja una calculadora y divida uno
cualquiera por su inmediato anterior.
A medida que progrese en la sucesión, el cociente se irá acercando
más y más al número áureo.
En términos matemáticos, esto quiere decir que la sucesión de números
creada dividiendo un número de Fibonacci por su inmediato anterior tiende, o tiene como límite, el número áureo. Esto es, esta sucesión infinita de números termina, en el infinito, en el número áureo.
El pedigrí del zángano sigue un modelo matemático
El problema con los conejos de Fibonacci es que son ideales. ¿Existe algún ejemplo más realista de que esta sucesión áurea se encuentre en la naturaleza? Sí, por ejemplo en el árbol familiar de cualquier zángano de un panal. Éste nace del huevo no fertilizado de la reina, luego tiene una madre, pero no tiene padre. Por el contrario, tanto la reina (la única que puede poner huevos) como las obreras nacen del huevo fertilizado por un macho. Tienen, por tanto, padre y madre. Teniendo esto en mente, el árbol familiar de un zángano queda como sigue: tiene 1 madre, 2 abuelos (macho y hembra), 3 bisabuelos (dos de la familia de la abuela y uno de la del abuelo), 5 tatarabuelos, 8 tataratatarabuelos... ¡El árbol genealógico del zángano es una sucesión de Fibonacci! Y no sólo eso. En 1966, Doug Yanega, del Museo de Investigación Entomológica de la Universidad de California, descubrió que la relación que existe entre abejas hembras y machos en una comunidad es cercana al número áureo.
La espiral logarítmica de la concha del nautilo
Convirtamos ahora los números en cuadrados. Pongamos dos iguales, uno junto a otro, de cualquier tamaño, cuyos lados tomaremos como unidad.
Encima de ellos, dibujemos otro cuyo lado sea el doble de los anteriores. A la derecha, añadamos otro más, con el triple de lado. Debajo, el correspondiente a 5, y así sucesivamente, de modo que cada nuevo cuadrado tenga de lado la suma de los dos cuadrados anteriores.
Si ahora dibujamos un cuarto de circunferencia dentro de cada cuadrado
(empezando por el primero), como en la fotografía de la caracola del
comienzo del reportaje, tendremos una espiral logarítmica que es,
justamente, la que presenta la concha del nautilo.
Ahora coja un lápiz y trace una línea que vaya desde el centro al exterior. Fíjese en dos puntos en los que esta línea corte a la concha, con la única condición de que la espiral haya dado una vuelta completa entre ambos. Comprobará que el más exterior está 1,618 veces más lejos del centro que el del interior. Esto quiere decir que el factor de crecimiento de la concha es el número áureo. Los números de Fibonacci también los encontramos en el número de espirales a la izquierda y a la derecha que podemos contar en las semillas de los girasoles y en las piñas de los pinos; en el número de pétalos de las flores (3 el iris; 5 o bien 8 en algunos ranúnculos; las margaritas y girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 ó 85...) y en el número de flores en las espirales de la coliflor y del brécol. De hecho, cada uno de ellos es una diminuta coliflor en sí misma. Si cuenta las espirales en ambas direcciones que salen de esas miniflores, ¿qué número le sale? Puede buscar así mismo números de Fibonacci en el plátano y en la manzana. Incluso las hojas alrededor del tallo siguen este orden.
El mejor sistema de ordenación posible
¿Por qué este gusto de la naturaleza por la sucesión de Fibonacci?
Hojas, pétalos y semillas se ordenan en las plantas siguiendo un ángulo fijo
porque éste es el mejor sistema de empaquetamiento aunque la planta crezca.
Si colocamos el número áureo de hojas por vuelta en el tallo obtenemos el mejor empaquetamiento para que reciban todas ellas el máximo de luz sin que unas
se oculten a otras y, en el caso de las flores, la mejor exposición paras atraer a los insectos polinizadores.
Los números de Fibonacci son la mejor aproximación que existe al número áureo.
Visto todo esto, no resulta sorprendente que el Partenón pueda enmarcarse
en un rectángulo áureo -aquél en el que el cociente de su longitud por su altura
sale el número áureo-. Igual sucede con las tarjetas de crédito.
¿Acaso hay algo más bello que una Visa sin límite de gasto?
Hojas, pétalos y semillas se ordenan en las plantas siguiendo un ángulo fijo
porque éste es el mejor sistema de empaquetamiento aunque la planta crezca.
Si colocamos el número áureo de hojas por vuelta en el tallo obtenemos el mejor empaquetamiento para que reciban todas ellas el máximo de luz sin que unas
se oculten a otras y, en el caso de las flores, la mejor exposición paras atraer a los insectos polinizadores.
Los números de Fibonacci son la mejor aproximación que existe al número áureo.
Visto todo esto, no resulta sorprendente que el Partenón pueda enmarcarse
en un rectángulo áureo -aquél en el que el cociente de su longitud por su altura
sale el número áureo-. Igual sucede con las tarjetas de crédito.
¿Acaso hay algo más bello que una Visa sin límite de gasto?
La arquitectura de la Divina Proporción
El Partenón de Atenas -bajo estas líneas- es un buen ejemplo de belleza arquitectónica
griega y, como tal, se puede enmarcar dentro de un rectángulo áureo.
Algunos matemáticos han pretendido ver el número áureo en la Gran Pirámide de Keops
-a la derecha-.
Así, si se divide la distancia que hay desde la base de una de las caras de la pirámide
hasta el vértice superior por la altura de la pirámide se obtiene 1,6.
¿Se trata quizá de algo intencionado? Algunos piensan que sí, pero lo cierto
es que no hay base alguna para pensar en ello.
El papiro Rhind (1650 a. de C.), uno de los trabajos matemáticos más antiguos
que se conservan, no menciona el número áureo, a pesar de que resuelve
algunos problemas relacionados con la construcción de pirámides.
griega y, como tal, se puede enmarcar dentro de un rectángulo áureo.
Algunos matemáticos han pretendido ver el número áureo en la Gran Pirámide de Keops
-a la derecha-.
Así, si se divide la distancia que hay desde la base de una de las caras de la pirámide
hasta el vértice superior por la altura de la pirámide se obtiene 1,6.
¿Se trata quizá de algo intencionado? Algunos piensan que sí, pero lo cierto
es que no hay base alguna para pensar en ello.
El papiro Rhind (1650 a. de C.), uno de los trabajos matemáticos más antiguos
que se conservan, no menciona el número áureo, a pesar de que resuelve
algunos problemas relacionados con la construcción de pirámides.
Fibonacci, el hombre de los conejos
Leonardo de Pisa es mejor conocido por su apodo, Fibonacci(de filius Bonacci, hijo de Bonacci). Nacido en el norte de Italia, pero educado en el norte de África, pasó toda su juventud viajando por el Mediterráneo, pues su padre era
el representante de los comerciantes de la República de Pisa.
Fue uno de los primeros en introducir el sistema de numeración decimal en Europa.
En 1202 publicó su Liber abacci (Libro de Calcular), donde explicaba cómo sumar,
restar, dividir y multiplicar con este nuevo sistema.
Fue aquí donde aparece la que hoy es su famosa sucesión.
Lo curioso es que fue presentado como un problema planteado para
que los lectores aprendieran a usar el sistema decimal, y no como consecuencia de sus reflexiones sobre aritmética.
En 1202 publicó su Liber abacci (Libro de Calcular), donde explicaba cómo sumar,
restar, dividir y multiplicar con este nuevo sistema.
Fue aquí donde aparece la que hoy es su famosa sucesión.
Lo curioso es que fue presentado como un problema planteado para
que los lectores aprendieran a usar el sistema decimal, y no como consecuencia de sus reflexiones sobre aritmética.
Miguel Ángel Sabadell
TOMADO DE:
Muy Interesante
Geometría Sagrada
| Artículo #12.4 Análisis geométrico de construcciones antiguas | ||||||||||
| Extracto del libro "El Poder de la Vida en la Geometría Sagrada y la Arquitetura Biológica de Arturo Ponce de León y Ninón Fregoso" Adquierelo aquí | ||||||||||
| ® COPYRIGHT. Todos los derechos reservados. Autor del documento: Arturo Ponce de León. Colaboración: Ninón Fregoso. Se autoriza la reproducción del material contenido en este sitio siempre y cuando se cite la fuente y se respete la integridad del texto. | ||||||||||
La adjudicación de valores numéricos a letras y su análisis metódico es conocido como gematría. La gematría es un método y una metátesis (alternación del orden de las letras en una palabra) que depende del hecho de que cada letra tiene un valor numérico y, cuando la suma de los números de los caracteres que componen una palabra da el mismo resultado que la suma de los caracteres de otra palabra, se establece una analogía entre ellas.
Como lo resalta el matemático y geómetra M. Schneider, en Egipto, Grecia, India, África, China, Tibet, América y en muchas otras partes del mundo, la sociedad estaba organizada de acuerdo a los cánones de la estructura de la Naturaleza. La proporción de los templos siempre estuvo diseñada, situada y construida de acuerdo a los números y las forma simbólicas que representan la deidad del templo. La gematría, asociando valores numéricos a letras, la encontramos en el alfabeto griego, hebreo, árabe, sirio y egipcio. Los nombres, títulos y atributos de las deidades revelan a los iniciados en el código, el papel y función en el proceso de construcción. Por ejemplo, el siete era conocido como el número de la “virgen” porque ningún otro número sumado o multiplicado debajo de su valor nos da siete. Así que por gematría, las letras griegas del nombre de la diosa Athena suman 77, dándonos el estándar para medir la longitud y distancia del templo dedicado a ella, el Partenón. Las letras de su apelativo parthenos (virgen) suman 515 y no es coincidencia que el ángulo de 51.5º es extremadamente cercano al ángulo de un heptágono regular. Cada deidad representa un grupo de principios arquetípicos que se hacían comprensibles por el uso de patrones matemáticos en la longitud, en el área, en el volumen, en el peso, en la duración y en la música relacionada con la arquitectura y la orientación ritual de la deidad a la que está enfocada la construcción. Desde una antigua concepción, la astronomía mapeaba las estrellas, mientras que la astrología interpretaba la influencia de los astros en la vida orgánica, y la religión buscaba venerar los dioses o diosas asociadas con tal o cual estrella. En la antigüedad, los principios arquitectónicos que hemos visto eran aplicados en construcciones dedicadas a lo sagrado. Todas las estructuras sustentables o lo que también se conoce como Arquitectura “Sagrada” están construidas con las bases de un capacitor biológico. La catedral de Notre Dame incorpora la razón áurea en la altura de sus entrepisos y en la distancia entre las dos torres; las pagodas japonesas, como la Pagoda del Templo de Yakushiji, está espaciada en proporción dorada y hecha con capas alternas de madera de grano cerrado y teja; el círculo de piedras azules, a razón del círculo de piedras externas paganas, tiene razón dorada en Stonehenge: sus monolitos formaban una circuito que almacenaba el campo de ondas escalares del área. La fachada del Partenón Griego está basada en √3, mientras que su planta de conjunto tiene base de doble cuadrado (√5). Esto con el fin de reflejar una fuerza atractiva desde el exterior pero que mantuviera el biocampo en el interior. Sobra decir que en la época medieval, las abadías, iglesias y templos eran construidos como capacitores biológicos. Ese chispazo eléctrico que podemos llegar a experimentar cuando entramos a una iglesia antigua es producto de que ésta ha sido construida siguiendo estos antiquísimos principios de la Geometría Sagrada.
En la cámara del rey, en la Gran Pirámide, encontramos cinco lozas enormes de granito que funciona como conductor, alternadas con capas de aire como aislante y rematando en dos lozas de piedra caliza dispuestas en forma de “v” invertida. Aquí se buscaba vaciar el cuerpo electromagnético del iniciado y proyectarlo al cosmos, entrenándolo para regresar de la muerte con mayor coherencia en el campo electromagnético y gravitatorio. Hace miles de años, cuando la Gran Pirámide estaba activa, el riesgo que una persona no preparada para ello podía correr al posicionarse en lugares geométricos estratégicos era enorme, equiparable a abrir una ventana en un jet que corre a miles de kilómetros por hora; si nuestros cuerpos sutiles no están entrenados para ello simplemente no puedes ordenar tal cantidad de ondas, de experiencias. La geometría pentagonal debía imperar, así como el amor incondicional, la apertura total y ordenada en resonancia con la vida y la Naturaleza, que eran condiciones primarias para poder desdoblarse y ser succionado por el Gran Toroide del Cosmos al que estaba dirigido la Pirámide: el corazón de la nebulosa de Orión.
En la época antigua y en la moderna, algunos arquitectos sensibles a la vida diseñan con algunos de los principios del capacitor biológico. Le Corbusier diseñó el edificio de las Naciones Unidas con su base en tres rectángulos áureos, uno sobre el otro, aunque cabe decir que ésta construcción no satisface los tres principios de la Arquitectura Biológica, pues únicamente
Podemos ver cómo los principios de la Geometría Sustentable se han usado deliberada e intuitivamente en distintas construcciones. La inclinación de los pisos de la pirámide del Sol, en Teotihuacán, tiene la misma inclinación que el cerro que se encuentra a la llegada de la Calzada de los Muertos. La poco conocida cámara interior de esta pirámide tiene la finalidad de ayudar al desdoblamiento fractal de la conciencia en México. Está situada en la latitud 19.5º al Norte del planeta, que corresponde al ángulo de corte de circunscribir un tetraedro en la Tierra. Sobre esta latitud, emerge la conciencia sexual, la fuerza magmática del mundo. En Tenochtitlan, en el México prehispanico, se localiza un punto de implosión donde se construyó una ciudad con capas alternas de tierra y agua para elevar la fuerza de capacitancia del espacio y sus habitantes.
En el Taj Mahal, en la India, la forma de sus ventanas, en rectángulo dorado, se remata con cortes de vesica piscis, coronados por una gran cúpula en el centro que busca contener el biocampo que se genera por el espejo de agua que amplifica las líneas electromagnéticas que son proyectadas por los obeliscos que están a su alrededor. Visto desde un satélite, la forma que tiene la Iglesia de San Pedro, en el Vaticano, es de una cruz en corte áureo, en cuyo centro se ubica una cúpula donde implota la fuerza “crística”. La plaza de San Pedro, en forma de óvalo áureo, imita las proporciones del rostro humano, y en su centro encontramos un obelisco que proyecta o explota el biocampo de los creyentes que asisten a ese lugar, para luego implotarlo en la cúpula donde, intencionalmente, se encuentran ubicadas las reliquias de oro, uno de los metales de mayor fractalidad.
El Domo de la Roca (en árabe, Qubbat al-Sakhra) es una de las glorias arquitectónicas del mundo y el único santuario islámico temprano que ha sobrevivido intacto. El plan de la construcción es básicamente bizantino: dobles ambulatorios octogonales que rodean la Roca Sagrada. Es un santuario y no una mezquita, es el tercer lugar sagrado del Islam después de la Cava, en La Meca y la Mezquita del Profeta, en Medina. El Domo de la Roca es la expresión arquitectónica de la supremacía del Islam. Los mosaicos interiores de vidrio en el recinto circular y en la cúpula contienen representaciones de las joyas imperiales bizantinas y una de las inscripciones ornamentales afirma que Dios es Uno y no tres, y que Jesús fue apóstol de Dios y de Su Palabra, y no su Hijo.
El santuario se encuentra sobre o cerca del lugar en el que estuviera el Templo Judío. También se ha sugerido que el edifico del Templo se encontraba unos 80 mts. más al Norte, en el lugar del pequeño santuario del siglo XVI, Qubbat al-Arwah (en árabe, ‘el Domo de los Vientos’ o ‘de los Espíritus’), en un eje este-oeste con respecto a la actual Puerta Dorada.
El Domo de la Roca en Jerusalén, diseñado por el arquitecto Humillad Caliph ‘Abd al-Malik, tiene, como base, una plantilla de doble cuadrado que forma un octágono (similar al bagua chino) y en su centro, una cúpula semicircular cuyo fin es implotar y contener la mayor cantidad de ondas electromagnéticas. Su cúpula forrada con láminas de oro y sus delicados tallados y finos bajorrelieves reflejan el elevado índice de fractalidad que posee el lugar a fin de convertirlo en un lugar “sagrado”, o si se prefiere, con alto índice de interferencia constructiva de ondas. Simplemente un espacio sustentable para la vida orgánica.
La Alhambra es una ciudad palatina andalusí situada en Granada, España. Se trata de un rico complejo palaciego y una fortaleza que alojaban al monarca y a la corte del Reino de Granada nazarí. Su verdadero atractivo, como en otras obras musulmanas de la época, son los interiores, cuya decoración está entre las cumbres del arte islámico. Vemos materiales de alto nivel de fractalidad, detalles fractales y Geometría Sagrada que crean un vacío y un recogimiento espiritual. Incluso Gaudí utilizó magistralmente expresiones de Geometría Sagrada y algunos materiales fractales, aunque no siempre relacionó las plantillas cosmotelúricas con la construcción.
El Banco Nacional de China, creado por el arquitecto chino I. Pei, tiene como base un cubo de donde se apoyan triángulos derivados de la proporción argentum. El sentido de ser de un banco, como hemos visto, es la acumulación y por ello utilizan un cubo como estructura arquitectónica, para contener las ondas, los eventos, el dinero, las ganancias, los clientes. Los bancos al ser el brazo accionario del sistema neoliberal de mercado, buscan maximizar las ganancias con el menor riesgo, ¡qué mejor que un cubo para lograrlo! Estructuras cúbicas, como ya lo mencionamos, generan pensamiento de colmena, jerarquización de las relaciones y superficialidad en el contacto. Hoy en día, estos conceptos son sinónimo de productividad. Construido con acero, hormigón y espejos, busca ser una caja cerrada sobre sí misma tal como las ciudades contemporáneas.
En Washington, Estados Unidos, la planeación de la ciudad tuvo lugar por masones. El obelisco proyecta la energía del entorno hacia la Casa Blanca, que por su forma de cúpula y forro interno de oro, la contiene. El Pentágono, ubicado en uno de los vértices de la plantilla dodecaédrica terrestre, es base de operaciones militares pues busca controlar la conciencia de la vida orgánica en el planeta.
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sábado, 26 de julio de 2014
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