ILUSIONES ÓPTICAS

Vaquero joven o viejo.

Joven saxofonista.

Esquimal o indio.

TOMADOS DE: http://www.juegosdelogica.com/neuronas/ilusiones.htm

QUÉ OBSERVAS? ( UN NIÑO)

RANA O CABALLO?

TOMADO DE: https://josmapell.wordpress.com/category/ilusiones-opticas/

TRIÁNGULOS - IGUALDAD

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS 4

NUMEROLOGIA CARROLLIANA: EL 55

El 55 es un número compuesto. Es:
● El décimo triangular (55 = 1 + 2 + 3 + … + 10). Con el 66 y el 666 son los únicos números de
menos de 30 dígitos que son triangulares y formados por un solo dígito repetido.
● Es también el quinto número piramidal cuadrado, es decir, el correspondiente a esferas
apiladas formado una pirámide de base cuadrada. La fórmula general para estos números es Pn
= n(n+1)(2n+1)/6. O, lo que es lo mismo, es el quinto holopotencial de segundo orden:

         2     2    2    2    2
55 = 1  + 2 + 3 + 4 + 5.
● El décimo en la serie de Fibonacci (un = un-1 + un-2; ui
 = { 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…} ).
Los únicos números que son a la vez triangulares y de Fibonacci son el 1, el 3, el 21 y el 55.
● Es el tercer decatópico (suma de los tres primeros eneatópicos). Tras los números triangulares
vienen los tetraédricos (suma de los n primeros triangulares), tetratópicos (suma de los n

primeros tetraédricos)… y decatópìcos, suma de los primeros eneatópicos. Su fórmula general

es:

           n+8

Dn =  (      )

          ...9

● Es el cuarto número de Kaprekar. Son números de Kaprekar los que una vez elevados al 

cuadrado, la suma de la mitad izquierda y la derecha de éste reproducen el número (v. gr., 297, 

             2

pues 297  = 88209, y 88 + 209 = 297. Los primeros números de Kaprekar son 1, 9, 45, 55, 

297, 703…

● Es un cúbico con recurrencia digital invariante. Es decir:

  3    3

5 + 5 = 250

  3   3     3

2 + 5 + 0 = 133

  3    3   3

1 + 3 + 3 = 55

Cualquier número mayor de 55 es la suma de primos distintos de la forma 4n + 3.

● Es uno de los protagonistas de la siguiente curiosidad aritmética:

                                  2   2

        8 - 3 = 5            8 - 3  = 55

                                   2     2

        78 - 23 = 55      78 - 23   = 555

                                       2       2

        778 - 223 = 555    778 - 223  = 5555

                                           2          2

      7778 - 2223 = 5555   7778 - 2223  = 55555

TOMADO DE:http://www.mensa.es/carrollia/c55.pdf

TRUCO DE SUMA RÁPIDA

ARITMÉTICA - COMPLEMENTO ARITMÉTICO

La magia de llegar a la tabla del 12

Rob Eastaway

Autor y matemático, especial para la BBC

 Domingo, 28 de julio de 2013

Ir más allá de la tabla del 10 también tiene algo de juego.

No se trata de aprender a memorizar, sino de disfrutar de la profusión de patrones que se revelan cuando aprendemos a multiplicar, asegura el escritor y matemático Rob Eastaway.

Hubo una época, hace varias décadas, en la que muchos niños del mundo tenían una razón obvia para aprenderse la tabla del 12. Todos los países que usaban las medidas imperiales británicas calculaban en pies y pulgadas y pagaban en chelines y peniques.

Multiplicar por 12 era una experiencia cotidiana.

Pero eso es historia antigua, aunque los huevos aún se venden en docenas, y mucha gente -incluidos los estadounidenses- todavía midan en pulgadas.

Nada de eso justifica pasar horas repitiendo esas tablas extra.

Y sin embargo, sigue habiendo una razón para aprenderse "la del doce". Algo que tiene más que ver con el descubrimiento de patrones y con tener confianza al manejar números.

Apenas los niños se empiezan a sentir cómodos multiplicando números más grandes que 10, comienzan a entender las multiplicaciones largas.

Saberse las tablas del 11 y del 12 puede introducir patrones intrigantes de los que podrían perderse si paran en la del 10.

Lo divertido del 11

Mucho de la tabla de multiplicar por 11 es fácil de aprender: 2 x 11 es 22, 8 veces 11 es 88. Y cuando uno pasa de 12, hay patrones simpáticos para descubrir.

¿Quiere multiplicar 11 x 23? Simplemente tome los dos dígitos -2 y 3-, súmelos (da 5) y ponga ese número en la mitad: 253. ¡Tadaaaa!

¿Qué tal 36 x 11? De nuevo, separe el 3 del 6 y ponga su suma en la mitad: 396. Maravilloso.

¡Pero cuidado! Si los dos dígitos suman más de 9, este genial truco no funciona tan bien.

58 x 11... pues 5 + 8 = 13, pero la respuesta no es 5138. Ese "1" del 13 realmente representa a un 10, por lo que tiene que ser añadido al 5 para que dé la respuesta correcta: 638.

Hay otro patrón que empieza con 11 x 11.

Multiplique esos dos número y le da 121.

¿Y 111 x 111? La respuesta es 12321.

¿Puede adivinar cuánto es 1111 x 1111? 1234321.

El 12

Multiplicar por 12, por su lado, es más simple cuando uno se da cuenta de que es lo mismo que multiplicar un número por 10 y añadir el doble del primer número.

Entonces, 12 x 12 es 10 x 12 (=120), y luego se le añade 2 x 12 (=24), lo que da 120 + 24 = 144.

Esa regla no se limita a la tabla de multiplicar, que se suspendería en 12 x 12.

12 x 61 es lo mismo que 10 x 61 (=610) más 2 x 61 (=122) y si puede sumar 610 + 122 en su mente, tendrá la respuesta correcta: 732.

¿Es necesario memorizar la respuesta de 12 x 12? Realmente no. Mientras se acuerde de la estrategia para hacer los cálculos, llegará a la respuesta con casi la misma rapidez.

Pero claro, al hacerlo a menudo, se queda en la memoria, lo que agiliza el proceso en esos momentos en los que necesita un resultado pronto.

¿Seguir hasta 20?

¿Por qué parar en la tabla del 12? Se podría seguir con la del 13, 14... hasta la del 20, como se hace en algunos países.

Lo que pasa es que si uno entiende las tablas de multiplicar básicas hasta el 10, tiene las herramientas necesarias para llegar al resultado de, digamos, 19 x 14.

Y si uno pasa demasiado tiempo memorizando las respuestas a esas preguntas, no va a tener tiempo para entender cómo funcionan los números.

De lo que realmente se tratan las matemáticas es de entender patrones y resolver problemas.

Rob Eastaway es coautor del libro "Mateméticas para mamás y papás".

TOMADO DE:http://www.bbc.co.uk/mundo/noticias/2013/07/130705_tablas_multiplicar_defensa_finde.shtml

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS 3

¿Qué pasaría si...

.quisiéramos calcular la longitud de la “hipotenusa” en este “triángulo” rectángulo?

¿Qué fórmula obtendríamos?

 Respuesta: La longitud de la “hipotenusa” es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados. Aquí va la justificación.

Indiquemos las tres longitudes con a, b, c, como se ve en la Figura 1:

Figura 1.

Independientemente de cómo construyamos los escalones que forman el “lado” c, la suma de las longitudes de todos los segmentos verticales debe ser igual a b; de la misma manera, las longitudes de todos los segmentos horizontales debe darnos a. ¡O sea que

c = a + b !

Observemos que esto no puede cumplirse en ningún triángulo rectángulo (Figura 2),

Figura 2.

pues por una parte tendríamos  a + b = c, mientras que el teorema de Pitágoras nos diría que

a² + b² = c².

 O sea,

a² + b² = a² + 2ab + b²,

lo cual implicaría que 2ab = 0 ó que uno de los lados, a ó b,  debe tener longitud cero. Es decir, que no tendríamos un verdadero triángulo.

Recordemos que lo que sí es verdad en cualquier triángulo, rectángulo o no, es que la longitud de cada lado no puede ser mayor que la suma de las longitudes de los otros dos lados. Es decir (Figura 3),

c ≤  a + b.

Figura 3.

Podemos preguntarnos si habrá algún triángulo para el cual esta desigualdad se convertirá en una igualdad. La respuesta es que no, si queremos tener un verdadero triángulo. Efectivamente, el teorema del coseno (Figura 4) nos dice:

c² = a² + b² – 2ab cos θ.

Figura 4.

 Si fuera  c = a + b, tendríamos

a² + 2ab + b² =  a² + b² – 2ab cos θ .

O sea,

ab  =  – ab cos θ .

Como las longitudes a y b son ambas mayores que cero debe ser cos θ = – 1, de donde resulta que el ángulo θ  tiene que valer 180º. Es decir, que el triángulo tiene que reducirse a:

Figura 5.

	Sobre la autora
	Josefina (Lolina) Álvarez es Professor of Mathematics en New Mexico State University (USA). Especialista en análisis armónico y funcional, se doctoró en Matemáticas por la Universidad de Buenos Aires (Argentina) TOMADO DE: http://www.matematicalia.net/index.php?option=com_content&task=view&id=387&Itemid=234