CHISTE N° 55

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PROBLEMAS PARA CONCURSO CON CLAVES

tomado DE:http://www.sociedadpuigadam.es/primavera/index1.php?ano=2003&fase=primera&activado=1&id_boton=103&menu=1&Submit=Enviar

Los chinos cuentan más rápido que los españoles

Se encuentran en un bar un inglés, un chino y un español. No, no es el principio de un chiste. Es un experimento para demostrar cuán influyente es una lengua en nuestra arquitectura mental y nuestras capacidades y costumbres.

Y también en nuestras habilidades con la asignatura de matemáticas.

Imaginad que le pedimos al chino y al inglés que lean en voz alta esta serie de números: 4, 8, 5, 3, 9, 7, 6. Y que luego aparten la vista y se pasen 20 segundos memorizando al secuencia antes de repetirla en voz alta otra vez.

El resultado es sorprendente. El angloparlante tendría el 50 % de probabilidades de recordar la secuencia perfectamente. Pero el chino se acercara al 100 %. La razón de ello es que el cerebro humano almacena dígitos en un lapso de memoria que dura unos 2 segundos.

Es decir, que es más fácil memorizar lo que podemos decir o leer dentro de dicho lapso de 2 segundos.

Como habréis deducido, el chino, a diferencia del inglés, permite encajar estos 7 números en 2 segundos.

Como refiere Sanislas Dehaene en su libro The Number Sense:

Los numerales de la lengua china son notablemente breves. La mayor parte de ellos pueden pronunciarse en menos de un cuarto de segundo. Por ejemplo: 4 es si; y 7, qi. Sus equivalentes ingleses (four, seven) son más largos: su pronunciación lleva aproximadamente un tercio de segundo. El hueco de memoria entre el inglés y el chino obedece a esta diferencia de longitud. En lenguas tan diversas como el galés, el árabe, el chino, el inglés y el hebreo, hay una correlación reproducible entre el tiempo necesario para pronunciar los números en una lengua dada y el lapso de memoria de sus hablantes. En este dominio, la palma a la eficacia se la lleva el dialecto cantonés del chino, cuya brevedad otorga a los residentes en Hong Kong un lapso de memoria de 10 dígitos aproximadamente.

Por si esto fuera poco, también hay una gran diferencia en cómo se construyen los numerales en las lenguas occidentales y las asiáticas. En español, por ejemplo, se dice: dieciséis, diecisiete, dieciocho… pero también se dice once, doce, trece… Es decir, no hay mucha lógica lingüística.

En China, Japón y Corea todo es más sencillo. Allí tienen una manera de contar más lógica. 11 esdieciuno. Doce, diecidós. 24 es dosdiecescuatro.

Esta diferencia significa que los niños asiáticos aprenden a contar mucho más rápido que los occidentales. Los niños chinos de cuatro años saben contar, por regla general, hasta cuarenta. Los niños estadounidenses de esa edad sólo saben contar hasta quince, y la mayoría no alcanza a contar cuarenta hasta cumplir cinco años. En otras palabras, a los cinco años, los niños estadounidenses ya se han rezagado un año respecto de los asiáticos en la más fundamental de las habilidades matemáticas.

Estas estructuras lingüísticas provocan que el sistema asiático sea más transparente, lo que determina una actitud distinta hacia las matemáticas: en vez de ser una materia que sólo se puede estudiar de memoria, presenta un modelo inteligible y, por tanto, más fácil de afrontar:

La regularidad de su sistema numeral también significa que los niños asiáticos pueden realizar operaciones básicas, como la suma, con mucha más facilidad. Si uno pide a una niña hispanohablante de siete años que sume mentalmente treinta y siete más veintidós, tendrá que convertir las palabras a números (37 + 22) antes de efectuar la operación: 2 + 7 = 9; y 30 + 20 = 50, lo que hace un total de 59. Pero si uno pide a un niño asiático que sume tresdiecesiete y dosdiecesdós, éste no necesita visualizar nada: ya tiene delante la ecuación necesaria, encajada en la oración. No necesita ninguna traducción a cifras para calcular que tresdiecesiete más dosciedesdós es igual a cincodiecesnueve.

Así no es extraño observar, sumándole otras ventajas que ya comentamos en otro artículo, que los estudiantes de China, Corea del Sur y Japón (y los hijos de inmigrantes recientes que proceden de aquellos países) hayan superado considerablemente a sus colegas occidentales en matemáticas.

TOMADO DE:http://www.xatakaciencia.com/matematicas/los-chinos-cuentan-mas-rapido-que-los-espanoles

Los adoradores del número 12

Para muchos, a lo largo de la historia, el número más importante ha sido el 12. Incluso por encima del 10. Hasta existen organizaciones formadas para proteger el 12. Pero ¿qué tiene el número 12 de especial en una sociedad construida alrededor de la base 10? ¿Duodecimal o decimal?

El 12 ha estado ligado durante miles de años a la medición del tiempo. Relojes y calendarios se organizan en base 12. 12 meses. 24 horas. División de la hora en 5 × 12 minutos. Y del minuto en 5 × 12 segundos. La graduación usual de la circunferencia es también 360º = 12 × 30º.

A pesar de que el sistema de numeración de base 10 no tardó en imponerse sobre el 12, lo cierto es que se conservó en algunas áreas, como en los pesos, longitudes o capacidades, porque el 12, a diferencia del 10, permite las operaciones de dividir por mitades o por terceras partes. Si una vara de medir se divide en 12 partes, quedan marcadas en la vara las fracciones ¼, ½, ¾, 1/3, 2/3.

Por esa razón, muchas personas han intentado proteger al 12 de diversas maneras. Platón, por ejemplo, era un ferviente admirador de este número. Y Herbert Spencer o H. G. Wells. O el escritor norteamericano F. Emerson Andrews, que fundó The Duodecimal Society el 5 de abril de 1944 con el propósito de

dirigir investigación y educación pública en la ciencia matemática, con especial dedicación al uso de la Base Doce de numeración, en matemáticas, pesos y medidas.

Incluso publicaban periódicamente el The Duodecimal Bulletin para difundir artículos que vindicaran el número 12. Algunos de los artículos defendían el retorno a la base 12:

Para escribir en base 10 los números precisan 10 dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y para hacerlo en base 12 se precisan 12, es decir, añadir dos más. Se debe a Andrews la propuesta de usar como dígitos de la base 12: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X, E. Como buen hombre de letras, a Mr. Andrews le fascinó su descubrimiento de cómo escribir y operar números en base 12.

Actualmente también existen sociedades de preservación y revitalización del 12. La The Dozenal Society of America, o su homóloga europea The Dozenal Society of Great Britain, fundada en 1959 por Brian Bishop.

En 1943, Velizar Godjevatz propuso una nueva notación musical duocedimal; una idea que incluso fue apoyada por George Bernard Shaw. Su argumento era:

en un piano, por ejemplo, la sorprendentemente llamada octava tiene doce, no ocho tonos, producidos por siete teclas blancas y cinco teclas negras.

El 12 continúa teniendo bastante vigencia en pulgadas y millas, además de las horas, y también en muchos productos que se venden o embalan por docenas o medias docenas.

Basta recordar que durante siglos fueron vigentes las medidas de longitud: 1 vara = 3 pies = 4 palmos, 1 pie = 12 pulgadas = 16 dedos; 1 palmo = 12 dedos; 1 pulgada = 12 líneas; 1 línea = 12 puntos (…) También en superficies aparecen porciones duodecimales (1 fanega = 2 almudes = 12 celemines) y en medidas de capacidad de áridos (1 cahíz = 12 fanegas, 1 fanega = 12 celemines). Y no podemos dejar de recordar la docena de fraile que tenía dos valores: 11 cuando se trataba de pagar y 13 cuando se trataba de cobrar.

TOMADO DE:http://www.xatakaciencia.com/matematicas/los-adoradores-del-numero-12

CHISTE N° 54

TOMADO DE: centros5.pntic.mec.es

PROBLEMA DE GEOMETRÍA DE CONCURSO TOTALMENTE SOLUCIONADO

TOMADO DE:http://www.oei.es/oim/revistaoim/numero7/Problema5.PDF

LA CUCHILLA DEL ZAPATERO

TOMADO DE:http://www.oei.es/oim/revistaoim/numero6/Arbelos.pdf

Problema de Malfatti

El problema de Malfatti consiste en inscribir tres círculos en un triángulo, de manera que los círculos sean todos tangentes entre sí y también sean tangentes cada uno de ellos a dos lados del triángulo:

Este problema fue propuesto por Gian Francesco Malfatti (1731-1807) y resuelto en el décimo volumen de Memorie di Matematica e di Fisica della Società italiana delle Scienze..

A continuación se muestra una forma, algo complicada, de resolver el problema de Malfatti:

• Las rectas azules son las bisectrices interiores del triángulo dado, que se cortan en el incentro de dicho triángulo.
• Si llamamos I a dicho incentro, que en la figura aparece como un punto azul gordo, hemos llamado U, V y W a los incentros de los triángulos ABI, BCI y CAI, respectivamente.
• Con lineas grises, están unidos los puntos U, V y W.
• La bisectriz (azul) que pasa por A corta a la recta VW en P.
• La recta roja que pasa por P se obtiene de la siguiente manera: Se traza la perpendicular a WV que pasa por P y se hace la simetría de la bisectriz que por A respecto de esta perpendicular. De forma similar se obtienen las rectas rojas por Q y R. Las tres rectas rojas son concurrentes en un punto M, que en la figura aparece como un punto rojo gordo.
• La recta roja que es simétrica de la bisectriz que pasa por A corta al lado opuesto en D. De forma análoga, las otras rectas rojas cortan a los lados correspondientes en E y F.
• Los cuadriláteros AFME, FBDM y MDCE son circunscriptibles: tienen la propiedad de poder inscribir un círculo en cada uno de ellos y esos son los círculos que buscamos.

Los círculos obtenidos se llaman círculos de Malfatti.

Puntos de Malfatti

Los círculos de Malfatti cumplen la siguiente propiedad: las rectas que unen los vértices con los puntos de tangencia de los círculos se cortan en un punto, que se llama primer punto de Malfatti.

Otra propiedad de estos círculos puede verse en la siguiente figura:
Al unir los puntos de intersección de los tres círculos de Malfatti con los correspondientes excentros del triángulo original, se obtienen rectas que son concurrentes, llamándose el punto común segundo punto de Malfatti.

TOMADO DE:http://garciacapitan.99on.com/bella/htm/malfatti.htm

Teorema de Pascal

El teorema de Pascal, descubierto por Blaise Pascal (1623-1662) a la edad de dieciseís años se refiere a puntos alineados:

Si los seis vértices de un exágono están situados en una cónica y los tres pares de lados opuestos se cortan, entonces los puntos de intersección están alineados.

A la recta que contiene los tres puntos de intersección se la conoce como recta de Pascal.

A continuación vemos cómo se cumple el teorema de Pascal en una elipse y en una parábola.

Este teorema puede demostrarse usando el teorema de Menelao. El teorema dual del teorema de Pascal es el teorema de Brianchon.

El teorema de Pascal no acaba aquí. Porque dados seis puntos,  no podemos hablar sólo de una recta de Pascal.

A partir de 6 puntos es posible considerar 60 exágonos diferentes, que por el Teorema de Pascal dan lugar a 60 rectas de Pascal. Estas rectas pasan tres a tres por 20 puntos, llamados puntos de Steiner. A su vez, estos 20 puntos están cuatro a cuatro en 15 rectas llamadas rectas de Plücker.

Las rectas de Pascal también se cortan tres a tres en otro conjunto de puntos, llamados puntos de Kirkman, de los que hay 60. Asociado a cada punto de Steiner hay tres puntos de Kirkman tales que los cuatro están en una recta, llamada recta de Cayley. En total hay 20 rectas de Cayley, que concurren cuatro a cuatro en 15 puntos, llamados puntos de Salmon.

Casos límite

El teorema de Pascal admite casos límite haciendo coincidir dos vértices contiguos del exágono y sustituyendo el lado correspondiente por la recta tangente por el punto correspondiente.

Por ejemplo,

En todo pentágono inscrito en una cónica, el punto común a la tangente por un vértice y el lado opuesto y los puntos de intersecciòn de los otros lados no consecutivos, son tres puntos alineados.

En la figura, la recta tangente (en color rojo) a uno de los puntos ha sustituido a uno de los lados del exágono.

Para un cuadrilátero podemos expresar

En todo cuadrilátero inscrito en una cónica, si se trazan tangentes en vértices extremos de un lado, el punto de intersección de este con su opuesto y los puntos de intersección de cada una de las tangentes con el lado que pasa por el punto de contacto de la otra, son tres puntos en línea recta.

O también

En todo cuadrilátero inscrito en una cónica, los puntos de intersección de los lados opuestos y los de intersección de tangentes en vértices opuestos son cuatro puntos en línea recta.

Por último, para un triángulo

En todo triángulo inscrito en una cónica, los puntos de intersección de los lados con las tangentes trazadas en los vértices opuestos son tres puntos en línea recta.

TOMADO DE:http://garciacapitan.99on.com/bella/htm/pascal.htm

Teorema de Ceva Y Teorema de Menelao

Sean X, Y, Z puntos de los lados BC, CA y AB respectivamente de un triángulo ABC. Los segmentos AX, BY y CZ se denominan cevianas, término que procede del matemático italiano Giovanni Ceva (1647-1734).

Aquí podemos ver tres cevianas de un triángulo cumpliendo el teorema de Ceva.

El teorema de Ceva afirma:

Si las tres cevianas AX, BY y CZ son concurrentes, entonces

Demostración del teorema

La siguiente demostración se basa en que las áreas de los triángulos con alturas iguales son proporcionales a las bases de los triángulos. Supongamos que las tres cevianas AX, BY y CX se cortan en un punto P.

Entonces

De la misma forma, se obtiene que

Multiplicando,

El recíproco del teorema de Ceva es también cierto. Es decir, se cumple que

Supongamos que las tres cevianas AX, BY y CZ cumplen 
Entonces las tres cevianas son concurrentes.

El teorema Ceva, un teorema de concurrencia tiene un correspondiente teorema de alineación: el teorema de Menelao.

Teorema de Menelao

El teorema de Menelao (Menelao de Alejandría, sobre 70-130 d.C.) proporciona un criterio de alineación, lo mismo que el teorema de Ceva proporciona un criterio de concurrencia.

Sean X, Y y Z puntos respectivamente sobre los lados BC, AC y AB (o sus prolongaciones). Entonces, una condición necesaria y suficiente para que los puntos X, Y, Z estén alineados es que

Considerando signos en las medidas de los segmentos, de manera que, en general,   la igualdad anterior la podemos expresar así:

El teorema de Menelao se puede usar para demostrar el teorema de Pascal y otras muchas propiedades relacionadas con la alineación de puntos.

TOMADO DE: http://garciacapitan.99on.com/bella/htm/menelao.htm

CHISTE N° 53

TOMADO DE:www.superchistosos.com

UN CUESTIONARIO Y ESTRATEGIAS SOBRE LOS PROMEDIOS

TOMADO DE:http://jagcruz.webs.ull.es/Articulos/FPIEM_2005.pdf

LAS MATEMÁTICAS DE LUCAS PACIOLI

TOMADO DE:http://jagcruz.webs.ull.es/Articulos/pacioli.pdf

Una involución de Dirichlet

“Permíteme, querido amigo, volver un instante sobre la conversación que hemos tenido últimamente sobre el bello teorema de Jacobi relativo al número de descomposiciones de un entero en cuatro cuadrados, teorema que el iluste geómetra ha deducido primero de sus series elípticas y del que ha dado después una demostración aritmética….”

Así comienza el extracto de la carta de Lejeune-Dirichlet a Liouville, que éste publicó en su Journal de Mathematiques en 1856, y donde Dirichlet presenta una involución del conjunto de soluciones de , para un  par dado, con  impares positivos y .

Representamos una solución  de la ecuación , con  impares positivos y , como en la figura adjunta. donde tenemos representada la solución .

Como  son impares,  y  serán pares.

Transformamos una solución reflejando primero su figura sobre una recta vertical y dividiéndola en tantas partes de anchura  como podamos, de forma que tendremos una parte (1) de anchura , y, según la anchura del resto, ninguna o varias partes (2) y finalmente una parte (3) con un resto no vacío porque la anchura total de la figura es impar y  es par.
Separamos las partes, todas de anchura  menos la última con anchura menor, manteniendo su orden, y giramos cada parte .
Uniendo las partes una vez giradas tendremos la figura

que representa otra solución  de la ecuación , en este caso .

Es claro, por el procedimiento de transformación de  en  que

•  son impares positivos y   .
•    y   .
• Aplicando la misma transformación a la solución  volvemos a obtener la solución original .

Entonces la transformación que acabamos de describir es una involución del conjunto de soluciones impares positivas  de , con , que intercambia los valores de  y .

Soluciones impares, con a>c,
  de a·b+c·d = 

 a x  b +  c x  d   a-c   b+d

 3 x  1 +  1 x 21     2    22
 5 x  1 +  1 x 19     4    20
 7 x  1 +  1 x 17     6    18
 3 x  3 +  1 x 15     2    18
 9 x  1 +  1 x 15     8    16
 9 x  1 +  3 x  5     6     6
 9 x  1 +  5 x  3     4     4
11 x  1 +  1 x 13    10    14
13 x  1 +  1 x 11    12    12
13 x  1 + 11 x  1     2     2
 3 x  5 +  1 x  9     2    14
 5 x  3 +  1 x  9     4    12
 5 x  3 +  3 x  3     2     6
15 x  1 +  1 x  9    14    10
15 x  1 +  3 x  3    12     4
15 x  1 +  9 x  1     6     2
17 x  1 +  1 x  7    16     8
17 x  1 +  7 x  1    10     2
19 x  1 +  1 x  5    18     6
19 x  1 +  5 x  1    14     2
 3 x  7 +  1 x  3     2    10
 7 x  3 +  1 x  3     6     6
 7 x  3 +  3 x  1     4     4
21 x  1 +  1 x  3    20     4
21 x  1 +  3 x  1    18     2
23 x  1 +  1 x  1    22     2

Para un  par dado, que se puede modificar, en el recuadro aparecen todas las soluciones , con  impares positivos y de la ecuación , y dos columnas adicionales con los valores de  y .

Por la involución descrita las columnas  y  contienen los mismos valores con las mismas repeticiones, y para cada par  de la misma fila existe una fila en que aparece ese par invertido.

Si  no es múltiplo de 4, uno de los dos valores pares ,    es múltiplo de 4 y el otro no lo es. Porque si ,    son los dos múltiplos de 4,  y , y  sería múltiplo de 4. Si ninguno de esos valores es múltiplo de 4, en los pares  uno de los términos es de la forma  y el otro de la forma , y entonces  y, y  sería múltiplo de 4.

De donde se concluye que si  no es múltiplo de 4, en la columna  (o  ) el número de elementos que son múltiplos de 4 es igual al número de elementos que no lo son.
En la siguiente entrada usamos este resultado para obtener, siguiendo a Dirichlet, el número de soluciones impares de la ecuación , para un impar dado.

TOMADO DE:http://apolonio.es/guirnalda/una-involucion-de-dirichlet/#more-2730